давление непосредственно под выпуклой поверхностью жидкости больше давления под плоской поверхностью жидкости, а давление под вогнутой поверхностью жидкости меньше давления, чем под плоской поверхностью.

Расчет давления под сферической поверхностью жидкости

Она представляет из себя тонкий слой воды, который имеет две ограничивающие поверхности: внутреннюю и внешнюю. Радиусы кривизны этих поверхностей можно считать одинаковыми, так как толщина пленки в тысячи раз меньше радиуса пузыря. Вода из этого слоя постепенно стекает, слой утончается и, наконец, рвется. Так что пузыри по воде плавают не очень долго: от долей секунды до десятка секунд. Надо отметить, что по мере утончения водяной пленки размер пузыря практически не меняется.

Рассчитаем избыточное давление в таком пузыре. Для простоты рассмотрим однослойную полусферу радиуса r, располагающуюся на горизонтальной поверхности, будем так же считать, что снаружи воздуха нет. Пленка удерживается на заштрихованной поверхности за счет смачивания (рис. 2.3). При этом на нее вдоль границы контакта с поверхностью действует сила поверхностного натяжения, равная

где - коэффициент поверхностного натяжения жидкости,

Длина границы раздела пленка-поверхность равная .

Т. е. имеем:

.

Эта сила, действующая на пленку, а через нее и на воздух, направлена перпендикулярно поверхности (см. рис 2.3). Так что давление воздуха на поверхность и, следовательно, внутри пузыря можно рассчитать так:

Где F - сила поверхностного натяжения, равная ,

S - площадь поверхности: .

Подставляя значение силы F и площади S в формулу расчета давления получим:

и окончательно .

В нашем примере с воздушным пузырем на поверхности воды пленка двойная и, следовательно, избыточное давление равно .

На рисунке 2.4 приведены примеры однослойных сферических поверхностей, которые могут образоваться на поверхности жидкости. Над жидкостью находится газ, имеющий давление .

Капилля́рность (от лат. capillaris - волосяной), капиллярный эффект - физическое явление, заключающееся в способности жидкостей изменять уровень в трубках, узких каналах произвольной формы, пористых телах. Поднятие жидкости происходит в случаях смачивания каналов жидкостями, например воды в стеклянных трубках, песке, грунте и т. п. Понижение жидкости происходит в трубках и каналах, не смачиваемых жидкостью, например ртуть в стеклянной трубке.

На основе капиллярности основана жизнедеятельность животных и растений, химические технологии, бытовые явления (например, подъём керосина по фитилю в керосиновой лампе, вытирание рук полотенцем). Капиллярность почвы определяется скоростью, с которой вода поднимается в почве и зависит от размера промежутков между почвенными частицами.

Формула Лапласа

Рассмотрим тонкую жидкую плёнку, толщиной которой можно пренебречь. Стремясь минимизировать свою свободную энергию, плёнка создаёт разность давления с разных сторон. Этим объясняется существование мыльных пузырей: плёнка сжимается до тех пор, пока давление внутри пузыря не будет превышать атмосферное на величину добавочного давления плёнки. Добавочное давление в точке поверхности зависит от средней кривизны в этой точке и даётся формулой Лапласа:

Здесь R 1,2 - радиусы главных кривизн в точке. Они имеют одинаковый знак, если соответствующие центры кривизны лежат по одну сторону от касательной плоскости в точке, и разный знак - если по разную cторону. Например, для сферы центры кривизны в любой точке поверхности совпадают с центром сферы, поэтому

Для случая поверхности кругового цилиндра радиуса R имеем

Радиус кривизны выпуклой поверхности можно рассчитать по следующей формуле:

где: T1 - радиус кривизны выпуклой поверхности, мм;

T2 - радиус кривизны оптической зоны вогнутой поверхности, мм;

D - вершинная рефракция линзы, в диоптриях; n - показатель преломления материала линзы; t - толщина в центре линзы по ее оси, мм.

Ha предварительно нагретую сферическую оправку с радиусом, соответствующим радиусу оптической зоны полуфабриката, наносят наклеечный воск и приклеивают полуфабрикат со стороны обработанной вогнутой поверхности. Центровку проводят на специальном центрирующем устройстве с точностью 0,02-0,04 мм.

После остывания оправка вместе с отцентрированным на ней полуфабрикатом устанавливается на посадочный конус сферотокарного станка для обработки выпуклой поверхности.

Рассчитанный радиус устанавливают по индикатору, расположенному на поворотном суппорте. C помощью другого индикатора, установленного на шпинделе станка, определяют толщину слоя материала, снимаемого при обработке. Точение выпуклой поверхности производится за несколько проходов (аналогично обработке вогнутой поверхности) до тех пор, пока в центре линзы будет достигнута заданная толщина.

Полирование выпуклой поверхности проводят специальным полировальником, смоченным полирующей суспензией, на полировальном автомате (одно- или многошпиндельном). Время полирования - от 2 до 5 минут (в зависимости от материала).

Чистоту оптической поверхности линзы контролируют с помощью бинокулярного микроскопа или лупы сразу же после изготовления линзы до снятия ее с оправки с центральным отверстием. Оптическую силу измеряют на диоптриметре. Если в процессе контроля оказывается, что результаты обработки не удовлетворительны, то производится корректировка процесса.

После окончания полирования и контроля оптики линзу снимают с оправки, очищают от наклеечного воска.

При изготовлении наружной поверхности линз отрицательной рефракции сначала протачивают сферическую поверхность с расчетным радиусом кривизны оптической зоны до заданной толщины по центру, а затем протачивают лентикулярную зону с заданной толщиной края до сопряжения с оптической зоной. Радиус кривизны лентикулярной зоны является расчетным и зависит от конструктивных особенностей линзы. При расчете следует иметь в виду, что толщина линзы по краю не должна превышать 0,2 мм, а диаметр оптической зоны наружцой поверхности должен быть не менее 7,5 мм.

При изготовлении наружной поверхности линз положительной рефракции сначала протачивают сферическую поверхность расчетным радиусом до толщины по центру, превышающей требуемую на 0,03 мм. Величина радиуса зависит от толщины линзы по центру и по краю. Затем протачивают лентикулярную зону, начиная от края заготовки до расчетного диаметра оптической зоны наружней поверхности, который выбирается на 0,4-0,5 мм больше диаметра внутренней поверхности. По индикатору устанавливается расчетный радиус оптической зоны. Разворотом суппорта крепления резца и соответствующей подачей заготовки вершина резца совмещается с периферийным участком оптической зоны и производится обработка оптической зоны выпуклой поверхности.

Полирование проводят на полировальном станке с помощью специального полировальника, смоченного суспензией.

Изготовление ГПЖКЛ проводится по той же схеме, но используются менее интенсивные режимы обработки и специальные составы для очистки и полирования этих материалов.

При обработке сфероторических линз сначала протачивается вогнутая сферическая поверхность линзы по методике, рассмотренной выше, а затем для получения торической поверхности на периферии производится ее обработка торическим инструментом (обычно шлифовальником и полировальником) с заданными радиусами кривизны поверхностей в двух взаимно перпендикулярных плоскостях фис. 76). Количество подготавливаемых торических инструментов завцсит от требуемого числа торических поверхностей на зоне уплощения (скольжения).

Для вытачивания шлифовальника используют специальный токарный станок, предназначенный для изготовления торического инструмента. При этом следует придерживаться следующих правил:

1. По разнице между радиусами в главных меридианах устанавливают поперечное смещение шпинделя относительно поворотного суппорта. Контроль перемещения ведут по индикатору часового типа. Например, для торического инструмента с радиусами 8,0/8,5 мм эта величина, называемая торической разностью, будет равна 0,5 мм.

2. Вращением поворотного суппорта протачивают заготовку инструмента на глуби-

Рис. 76. Схема торического полировальника.

ну не более 0,05 мм за каждый проход, до получения заданного радиуса, отсчитываемого по индикатору поворотного суппорта.

Затем изготовленный инструмент устанавливают в специальное приспособление («торическая вилка») полировального станка.

Подложку с проточенной заготовкой жестко закрепляют к поводку торической вилки. Затем поводок устанавливают в пазы вилки так, чтобы вогнутая поверхность заготовки опиралась на рабочую поверхность торического инструмента. Штырьком

верхнего шпинделя полировального станка фиксируют поводок торической вилки. Вертикальным перемещением качающейся головки доводочного станка необходимо добиться такого положения заготовки, чтобы она перемещалась только в центральной части торического инструмента. Шлифование производится шлифовальным порошком M7 и M3 до получения заданного размера оптической зоны. Время шлифования зависит от соотношения радиусов линзы и торической разности инструмента. Контроль получаемого размера оптической зоны проводят с помощью измерительной лупы увеличением 10х.

С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.

Чем отличается этот справочный материал от аналогов?

Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.

Что нужно уметь на данный момент?

Самое элементарное:

Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций ) .

Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?

Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.

Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.

Начинаем!

На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных или уравнением вида (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице) . Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии . Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c :

– уравнение плоскости вида .

– функция плоскости в явном виде .

Давайте с неё и начнём:

Распространенные уравнения плоскостей

Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости . Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.

Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:


Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.

– (левый чертёж) неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;

– (средний чертёж) неравенство задаёт правое полупространство, включая плоскость ;

– (правый чертёж) двойное неравенство задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.

Для самостоятельной разминки:

Пример 1

Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.

Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед . Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.

Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)

Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:

2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;

3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .

Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость) , всегда полезно понимать суть происходящих событий:

Пример 2

Построить плоскость

Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:

Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую , лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую.

Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм:

Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.

Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:

Получено верное неравенство , значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.

Пример 3

Построить плоскости
а) ;
б) .

Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.

На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:

Пример 4

Построить плоскость

Решение : в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.

Перепишем уравнение плоскости в виде из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её построения удобно взять опорные точки .

Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины:

Готово.

Уравнение плоскости в отрезках

Важнейшая прикладная разновидность. Если все коэффициенты общего уравнения плоскости отличны от нуля , то оно представимо в виде , который называется уравнением плоскости в отрезках . Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:

Пример 5

Построить плоскость

Решение : сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:

Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна :

Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром . Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).

Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .

Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.

В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность :

Пример 8

Построить поверхность, заданную уравнением

Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».

Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими цилиндра):

Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.

Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.

Пример 9

Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость

Перепишем уравнение в виде из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает круговой цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:

На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.

Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.

Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).

Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.

А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса , с которой мы начинали построение.

Пример 10

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости

Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.

Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:

(по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка ) – цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.

Параболические цилиндры

Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола .

Пример 11

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.

Не мог удержаться от этого примера =)

Решение : идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра ):

Напоминаю полезный технический приём : если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.

Проекции.

1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра не приводимо к функциональному виду .

2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось

3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .

Пример 12

Построить параболические цилиндры:

а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;

б) на промежутке

В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа;-)

Гиперболические цилиндры

Направляющими таких цилиндров являются гиперболы . Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра :

Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.

Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка , и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:

Эллипсоид. Сфера и шар

Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид , где – положительные числа (полуоси эллипсоида), которые в общем случае различны . Эллипсоидом называют как поверхность , так и тело , ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:

Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае)

1). Типы кривых с.3-4.

2). Число оборотов с.4-6.

3). Выпуклость с.6-7.

4). Самый большой вопрос с.7.

5). Мультфильм Литтла с.8-10.

6). Кривые и уравнения с.11.

7). Примеры с. 12.

8). Список литературы с.13

Сколько на земле кривых?

Этот вопрос кажется странным. Можно нарисовать неописуемой множество разнообразных кривых. Договоримся сначала, какие мы будем рассматривать. Здесь нам должен помочь повседневный опыт. Хорошая упругая верёвка или проволока не имеет острых углов. Поэтому мы будем изучать только гладкие кривые (без каких бы то ни было изломов), начерченные на земной поверхности. Таким кривым разрешается иметь сколько угодно точек самопересечения.

Типы кривых

Кривая – популярный математический объект, имеющий много интересных характеристик: кривизну, длину, число точек самопересечения, перегиба и т. Д. Все они заслуживают изучения. (О некоторых из них рассказано в статье Табачникова «О плоских кривых» в «Кванте» №11 за 1988 г.) А какие важны для нас? Может быть длина? Но кривых одинаковой длины всё равно слишком много. Считать одинаковыми кривые, у которых одинаковая кривизна? Тогда различных кривых будет больше, чем функций, - многовато… Чтобы больше не гадать, забудем сразу обо всех характеристиках кривой.

Будем понимать выражение «кривые не сильно отличаются друг от друга буквально и считать одинаковыми кривые, которые отличаются «малым шевелением». Теперь нам придется считать одинаковыми любые две кривые, которые можно продеформировать (перетянуть) друг в друга так, чтобы они все время оставались гладкими (рис. 1). Ведь такую деформацию можно разбить на серию «малых шевелений». Будем называть такие кривые кривыми одного типа.

Мы отбросили все видимые различия между кривыми. Естественно предположить, что при таком наивном соглашении все кривые - одного типа. Для незамкнутых кривых так оно и есть. Представим себе лежащую на земле веревку, начинающую распрямляться с одного из концов. Такая веревка плавно развернется в прямую линию (рис. 2). Итак, интересно рассматривать только замкнут ые кривые.

Теперь все готово, чтобы сформулировать строгий математический вопрос:

Сколько на Земле различных типов замкнутых кривых?

Этот вопрос имеет много разновидностей и дополнений, приводящие нас в вссьма популярную область современной математики. Об этом речь впереди, а пока давайте считать Землю плоской.

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 3.

Чиcло оборотов

Попробуйте продеформировать «восьмёрку» в нолик». Получилось? Тогда по дороге у вас обязательно возникло острие (рис, 3). А можно ли продеформировать так, чтобы кривая оставалась гладкой? Похоже, что нельзя. Как это строго доказать? Первая мысль - посчитать число самопересечений кривой или число областей, на которые кривая делит плоскость. Но эти числа могут меняться. Мы уже видели на рисунке 1, как кривая типа «восьмерки» потеряла пару точек самопересечения. Это значит, что четн ос ть числа сам о пересечений осталась без изменения. (Правда, в первый момент две точки превратились в одну, но ее следует рассматривать как слившуюся пару.) Точно так же обстоит дело с числом областей: они образуются и исчезают парами. Итак, «восьмерка» и «нолик» относятся к разным типам. Может быть, существует только два типа кривых? Ничего подобного.

На плоскости существует бесконечно много различных типов замкнутых кривых.

Чтобы доказать эту нашу первую теорему, каждой замкнутой кривой на плоскости поставим в соответствие натуральное число. Рассмотрим точку, движущуюся вдоль кривой (вектор ее скорости касается кривой в каждый момент времени). Пусть за некоторое время точка обежит всю кривую и вернется в начальное положение.

Числом оборотов кривой мы будем называть число полных оборотов, которые совершает вектор скорости этой точки. (Неважно, в каком направлении поворачивается вектор. Это зависит от направления движения точки вдоль кривой.)

Число оборотов - инвариант, т. е. оно не меняется при деформации кривой. Ведь это число не может измениться скачком при «малом шевелении» кривой, а деформация - цепочкатаких «шевелений». Следовательно, кривые с разным числом оборотов относятся к разным типам.

Разных чисел бесконечно много, значит, и кривых - тоже. Теорема доказана.

На самом деле, число оборотов - единственный инвариант плоской кривой. Это значит, что две кривые с одинаковыми числами оборотов принадлежат к одному типу. Попробуйте сами придумать доказательство, а если не получится - поэкспериментируйте. В крайнем случае, прочтите «Квант» № 4 за 1983 г. А мы лучше вспомним, что Земля - шар.

И все-таки она вертится...

Поверхность Земли - сфера. Сколько же на ней кривых? Сфера - это плоскость плюс еще одна точка (рис. 4). Рисунок 4 называется стереографической проекцией. Сделаем стереографическую проекцию из точки, не лежащей на кривой. Тогда эта кривая попадет на плоскость. Значит» на сфере столько же типов кривых, сколько на плоскости? Да, недалеко мы ушли от тех, кто и в правду считает Землю плоской. Вот правильный ответ.

На сфере существует ровно два различных типа замкнутых кривых.

Доказательство качнем с картинки (рис. 5). Как видите, число оборотов больше не сохраняется. Вот, что отличает кривые на сфере от кривых на плоскости. «Обернувшись» вокруг сферы, кривая потеряла два оборота. Теперь легко проделать такую же операцию над кривой с любым числом оборотов (надо только дорисовать у кривых на рисунке 5 несколько петелек в любом месте). Мы получили, что любую кривую можно продеформировать в одну из кривых на рисунке 6. В какую именно - зависит от четности числа оборотов.

Но как доказать, что кривые а) и 6) - разных типов не только на плоскости, но и на сфере? Ведь, строго говоря, число оборотов в этом случае вообще не определено. Выручает уже знакомая нам четность числа самопересечении. У кривой б) это число нечетно, а у кривой а) - четко (равно нулю).

Класс 5а, 18 ЙВТО 1ЕКОЕ ЕВИДЕТЕЛЬЕТВО На ИЗО ЕТЕНИ.

ОПИСАНИЕ прибора для определения кривизны скважин.

1930 года (заяв. свид. № 68898).

Уже известны приборы для определения кривизны скважин с применением магнитной стрелки для определения азимута угла отклонения, равно как известно и применение в подобных приборах сферической поверхности с нанесенно" на ней географической сеткой. Настоящий прибор, состоящий из подвешенного на кардановом круге маятникаполушара с нанесенной на нем выпуклой географической сеткой имеет те особенности, что для закрепления полушара а принятом при искривлении скважины положении, применены зажимы действующие от перемещения книзу задвижек с косыми прорезами. а для получения оттиска сФтки на ленте — служит сидящий на оси в вилке кубик, прижимаемый вместе с движущейся между валиками лентой и с подложенной копировальной бумагой к поверхности зажатого полушара. При этом опускание задвижек, нажатие кубика, вращение валиков ленты и раздвижение направляющих крыльев достигается применением болта, поворачиваемого зубчатыми передачами от ролика, вращаемого.цеп.ной передачей с поверхности земли.

На чертеже фиг. 1 изображает вертйкальный разрез прибора по линии С вЂ” Я на фиг. 2; фиг. 2 — горизонтальный разрез по линии А — Б на фиг. 1; фиг. 3 — вид прибора сверху.

Массивнь|й маятник-полушар 1 (фиг.2) с выступающими концами оси 2, входя-. щими, в два противоположные отверстия 4 кольца 3 (фиг. 1), имеющего также отверстия, расположенные к первой паре отверстий под углом 90, в которые входят осевые трубочки 5, прикрепленные, одними концами к стоякам б. В трубочках 5, со вставленными ножками 8 двух вогнутых зажимов 9, имеются продольные прорезы 7. На другом конце ножек 8 имеется сквозной палец10, который своими выступающими концами перемещается вдоль прореза 7 в трубочках 5. Посредством двух задвижек 11, соединенных попеременно

П-образной планкой 22 с косыми прорезами 11, зажимы 9 движутся то в одном направлении к шару 1, то обратно.

Под полушаром 1 (фиг. 1) расположен третий-зажим 14 с вогнутой поверх-. ностью, обращенной к тому же полушару 1. Зажим 14 своей ножкой 16 свободно движется в трубочке 17, привинченной к диску 18 с расположенными! на нем рычажками 15, поворотными шарнирно на упорах 15 . Рычажки 15 . при нажиме на один их конец задвижкой 11, другим своим концом действуют на третий зажим 14, оттягиваемый от полушара 1 пружинами 19. В центре полушара 1 на его усеченную(верхнюю горизонтальную) сторону насажена игла 12, острый конец которой служит опорой. намагниченному и служащему компасом пустотелому полушару 13, наружная выпуклая поверхность которого представляет собою сетку с выпуклыми концентричными к краям компаса линиями и цифрами, обозначающнми градусы и меридианы. Цифры расположены по всей поверхности компаса. На планке 22 в прорезах на осях 23 вращаются валики 24 и 24 с накатанной на них бумажной лентой 25; один валик †принимающий 24 снабжен сбоку желобчатым роликом. На середине, планки 22, снизу, расположен на вилке 27 кубик 28, вращающийся на оси 29, и на той же оси расположены вплотную с кубиком с одной его стороны желобчатый ролик и с другой зубчатка 31, скрепленные с кубиком 28, покрытым с четырех свободных своих сторон резиной для эластичного прилегания к компасу. Поверх резины приклеена копировальная бумага, а поверх ее проходит бумажная лента 25 с одного валика 24 ыа другой, принимающий валик124, прилегая плотно к нижней стороне кубика 28. Желобчатые ролики кубика 28 и принимающего валика 24, для одновременного их вращения, имеют общий бесконечный спирально-пружинный шнур 30, перекинутый через эти ролики. На прикрепленной к левой стойке б планочке 20 насажены собачки 26 с пружинами. Поверх планки 22 имеется скрепленная с ней муфта 32, которая путем вращения болта 33 то отдаляет кубик от компаса, то нажимает им на компас, и движением задвижек 11 то освобождает полушар 1 и компас 13 от зажимов, то ими же зажимает полушар и компас, делая их неподвижными. Болт 33, пропущенный через сальник 34 диска 35 (закрывающего герметически весь описанный механизм), на одном своем конце имеет зубчатое колесо 39 вращаемое винтовою осью 40 в подшипниках в общих стойках б желобчатого ролика 38 с гнездами для отдельных звеньев цепи расположенных по желобку {наподобие колеса от часов с гиревою тягою). Ролик 38 приводится во вращательное движение

s обе стороны, путем натягивания через него цепи, продолженной в оба ее конца шнурами длиной, равной глубине скваж ины. Для приведения корпуса приборе в параллельное к скважине положение. на середине наружного диска 37 имеется ось46 шестерни 42, приводимой во вращение винтовою осью 43 желобчатогэ ролика 44, одинакового действия с желобчатым.роликом 38 и тем же способом посредством протягивания определенной длины цепи, продолженной также в оба свои конца шнурами. На ось 46 (фиг. 3) жестко насажен крестовик 45 четыре конца которого шарнирно сочленены с шатуном 47, и вместе с тем шарнирно связаны с крыльями 42,имеющими вид жолоба, вогнутой стороной прилегающих к наружной цилиндрической стороне корпуса прибора. Крылья однии своим продольным конном шарнирно соединены с корпусом прибора и имеют

Назначение своей выпуклой стороной, отдаляясь от корпуса, плотно прилегать к стенкам скважины s целях придания

1 корпусу прибора параллельного к скважине положения. По корпусу прибора на валиках насажены ролики 49 (фиг.1)„ для устранения трения прибора о стенки скважины.

Действие прибора состоит в следующем. Прибор опускают в скважину на канате, и вытягивается соответствующий конец шнура наружного механизма, чем приводится во вращение ролик 42, при этом крылья 48 расходятся в стороны, упираясь в стенки скважины. Этим действием прибор приводят в неподвижное и параллельное к скважине положение.

Выждав время, необходимое для успокоения компаса, а) тянут на определенную длину другой, протянутый через желобчатый ролик 38, аннур за соответствующий конец его, б) раму (планку22) и задвижки опускают. Зажимы 9 и 14 при этом приводят полушар 1 и компас 13 в неподвижное состояние, кубик 28, зацепившись за собачки 26 зубчаткою 31, делает четверть своего оборота, и при этом нижнею своею стороною плотно придавливает к компасу 13 бумажную ленту 25, на внутренней стороне которой, прилегающей к копировальной бумаге и отпечатается та часть компаса с сеткой и цифрами, которая отклонилась от вертикали, и следовательно, будет отмечен азимут. Затем этот шнур оттягивают за другой его конец, рааа 22 поднимается, освобождаются компас 13 и полушар 1 от зажимов, после чего первый шнур также оттягивают за другой конец и этим самым прибор освобождают от соприкосновения состенками скважины.

Снимок произведен. Это действие можно повторить тут же или, по желанию, опуская или поднимая прибор на желаемую глубину. Таким образом, за один спуск прибора можно произвести целый ряд определений, количество которых будет зависеть только от длины бумажной ленты 25., Предмет изобретения.

Прибор для определения кривизны скважин, кдторый состоит из подвешенного на карда новом круге маятникаполушара с вертикальной иглой, служа щей опорой намагниченного полушара с нанесенйой выпуклой географичесвойсеткой, отличающийся тем, что для закрепления полушара в принятом при искривлении скважины положении применены зажимы 9 — 9 и 14,. действующие от перемещения книзу задвИжек И с косыми прорезами 11, а для получения на ленте оттиска сетки применен сидящий на оси 29 в вилке 27 кубик 28, прижимаемый вместе с движущейся между валиками24 и 24 лентой ис подложенной копировальной бумагой к поверхности зажатого полушара 13, прм чем для опускания задвижек 9 — 9 и 14, нажатия кубика 28, вращения валиков ленты, а также для раздвижения направляющих крыльев 48 служит болт 33,. поворачиваемый через посредство зуб« чатых передач от ролика 38, вращаемого цепной передачей с поверхности земли. (фиг. 2)

Похожие патенты: