Fizički sustav (tijelo) u kojem nastaju i postoje oscilacije odstupanjem od ravnotežnog položaja naziva se oscilatorni sustav.

Razmotrimo najjednostavnije mehaničke oscilatorne sustave: opružno i matematičko njihalo.

Opružno njihalo

• Opružno njihalo je oscilatorni sustav koji se sastoji od materijalne točke mase m i opruge.

razlikovati horizontalna opružni visak (slika 1, a) i vertikalna(Slika 1, b).

Mex-majat-02.swf b Sl. 1.

Period titranja opružnog njihala može se pronaći pomoću formule

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(m)(k)),\)

Gdje k- koeficijent krutosti opruge njihala. Kao što slijedi iz dobivene formule, period titranja opružnog njihala ne ovisi o amplitudi oscilacija (u granicama izvedivosti Hookeovog zakona).

• Svojstvo neovisnosti perioda titranja njihala o amplitudi, koje je otkrio Galileo, naziva se izokroničnost(od grčkih riječi ίσος - jednako i χρόνος - vrijeme).

Matematičko njihalo

Razmotrimo jednostavno njihalo - kuglicu obješenu na dugu jaku nit. Takvo njihalo se zove fizički.

Ako su dimenzije kuglice puno manje od duljine niti, tada se te dimenzije mogu zanemariti i kuglica se može smatrati materijalnom točkom. Rastezanje niti se također može zanemariti, jer je vrlo malo. Ako je masa niti višestruko manja od mase kuglice, tada se može zanemariti i masa niti. U tom slučaju dobivamo model njihala, koji se naziva matematičkim njihalom.

• Matematičko njihalo naziva se materijalna točka mase m, ovješena o bestežinsku neproteznu nit duljine l u polju gravitacije (ili drugih sila) (slika 2).

Mex-majat-03.swf Riža. 2.

Galileo Galilei eksperimentalno je utvrdio da period titranja matematičkog njihala u gravitacijskom polju ne ovisi o njegovoj masi i amplitudi titraja (kutu početnog otklona). Također je utvrdio da je period titranja izravno proporcionalan \(\sqrt(l)\).

Period malih oscilacija matematičkog njihala u Zemljinom gravitacijskom polju određen je Huygensovom formulom:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(l)(g)).\)

Kod kutova otklona matematičkog njihala α< 20° погрешность расчета периода по формуле Гюйгенса не превышает 1%.

U općem slučaju, kada se njihalo nalazi u uniformnim poljima nekoliko sila, tada za određivanje perioda titranja treba unijeti " učinkovito ubrzanje» g*, karakterizirajući rezultirajuće djelovanje ovih polja i razdoblje oscilacije njihala odredit će se formulom

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(l)(g*)).\)

*Izvođenje formula

*Opružno njihalo

Za teret m horizontalno opružno njihalo podložno je sili gravitacije ( m⋅g), sila reakcije tla ( N) i elastična sila opruge ( Fynp) (Sl. 3, prve dvije sile na Sl. A nije specificirano). Zapišimo drugi Newtonov zakon za slučaj prikazan na sl. 3, b

\(m\cdot \vec(a) = \vec(F)_(ynp) + m\cdot \vec(g)+\vec(N),\)

0x\ ili \(m\cdot a_(x) +k\cdot x=0.\)

mex-majat-05.swf a (materijal sa stranice science.up-life.ru)

Riža. 3.

Napišimo ovu jednadžbu u obliku sličnom jednadžbi gibanja harmonijskog oscilatora

\(a_(x) + \frac(k)(m) \cdot x = 0.\)

Usporedba dobivenog izraza s jednadžbom harmonijskog titranja

\(a_(x) (t) + \omega^(2) \cdot x(t) = 0,\)

pronaći cikličku frekvenciju oscilacija opružnog njihala

\(\omega = \sqrt(\frac(k)(m)).\)

Tada će period titranja opružnog njihala biti jednak:

\(T=\frac(2\pi )(\omega ) = 2\pi \cdot \sqrt(\frac(m)(k)).\)

*Matematičko njihalo

Za teret m matematičko njihalo na koje djeluje gravitacija ( m⋅g) i elastična sila niti ( Fynp) (sila napetosti) (slika 4). Os 0 x Usmjerimo ga duž tangente na putanju kretanja prema gore. Zapišimo drugi Newtonov zakon za slučaj prikazan na sl. 4, b

\(m\cdot \vec(a) = \vec(F)_(ynp) + m\cdot \vec(g),\)

Opružno njihalo je materijalna točka s masom vezana za apsolutno elastičnu bestežinsku oprugu s krutošću . Postoje dva najjednostavnija slučaja: horizontalni (sl. 15, A) i okomito (Sl. 15, b) njihala.

A) Horizontalno njihalo(Slika 15, a). Kada se teret kreće
iz ravnotežnog položaja po iznosu djeluje na njega u horizontalnom smjeru vraćanje elastične sile
(Hookeov zakon).

Pretpostavlja se da horizontalni oslonac po kojem klizi teret
tijekom svojih vibracija, apsolutno je glatka (bez trenja).

b) Vertikalno njihalo(Sl. 15, b). Položaj ravnoteže u ovom slučaju karakterizira uvjet:

Gdje - veličina elastične sile koja djeluje na teret
kada je opruga statički rastegnuta za pod utjecajem gravitacije tereta
.

A

Slika 15. Opružno njihalo: A– horizontalno i b– vertikalno

Ako rastegnete oprugu i otpustite teret, ona će početi okomito oscilirati. Ako je pomak u nekom trenutku vremena
, tada će se elastična sila sada pisati kao
.

U oba razmatrana slučaja opružno njihalo izvodi harmonijske oscilacije s periodom

(27)

i cikličku frekvenciju

. (28)

Na primjeru opružnog njihala možemo zaključiti da su harmonijske oscilacije gibanje uzrokovano silom koja raste proporcionalno pomaku . Tako, ako obnavljajuća sila nalikuje Hookeovom zakonu
(dobila je imekvazielastična sila ), tada sustav mora izvoditi harmonijske oscilacije. U trenutku prelaska ravnotežnog položaja na tijelo ne djeluje povratna sila, ali tijelo po inerciji prelazi ravnotežni položaj i povratna sila mijenja smjer u suprotan.

Matematičko njihalo

Slika 16. Matematičko njihalo

Matematičko njihalo je idealizirani sustav u obliku materijalne točke obješene na bestežinsku neproteznu nit duljine , koji pod utjecajem gravitacije pravi male oscilacije (slika 16).

Oscilacije takvog njihala pri malim kutovima otklona
(ne prelazi 5º) može se smatrati harmoničnom, a ciklička frekvencija matematičkog njihala:

, (29)

i razdoblje:

. (30)

2.3. Energija tijela pri harmonijskom titranju

Energija priopćena oscilatornom sustavu tijekom početnog guranja povremeno će se transformirati: potencijalna energija deformirane opruge transformirat će se u kinetičku energiju pokretnog tereta i natrag.

Neka opružno njihalo izvodi harmonijske oscilacije s početnom fazom
, tj.
(Slika 17).

Slika 17. Zakon održanja mehaničke energije

kada opružno njihalo oscilira

Pri najvećem otklonu tereta od ravnotežnog položaja ukupna mehanička energija njihala (energija deformirane opruge s krutošću ) jednako je
. Prilikom prolaska ravnotežnog položaja (
) potencijalna energija opruge postat će jednaka nuli, a ukupna mehanička energija oscilatornog sustava bit će određena kao
.

Na slici 18 prikazani su grafovi ovisnosti kinetičke, potencijalne i ukupne energije u slučajevima kada su harmonijske vibracije opisane trigonometrijskim funkcijama sinusa (isprekidana linija) ili kosinusa (puna linija).

Slika 18. Grafovi vremenske ovisnosti kinetičke

a potencijalna energija tijekom harmonijskih oscilacija

Iz grafikona (slika 18.) proizlazi da je frekvencija promjene kinetičke i potencijalne energije dvostruko veća od vlastite frekvencije harmonijskih oscilacija.

Definicija

Opružno njihalo zove se sustav koji se sastoji od elastične opruge na koju je pričvršćen teret.

Uzmimo da je masa tereta $m$, a koeficijent elastičnosti opruge $k$. Masa opruge u takvom njihalu obično se ne uzima u obzir. Ako uzmemo u obzir vertikalna kretanja tereta (slika 1), onda se on kreće pod utjecajem gravitacije i elastične sile ako je sustav izbačen iz ravnoteže i prepušten sam sebi.

Jednadžbe oscilacija opružnog njihala

Opružno njihalo koje slobodno oscilira primjer je harmonijskog oscilatora. Pretpostavimo da njihalo oscilira duž osi X. Ako su oscilacije male, Hookeov zakon je zadovoljen, tada jednadžba gibanja tereta ima oblik:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\lijevo(1\desno),\]

gdje je $(nu)^2_0=\frac(k)(m)$ ciklička frekvencija oscilacija opružnog njihala. Rješenje jednadžbe (1) je funkcija:

gdje je $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ ciklička frekvencija oscilacija njihala, $A$ je amplituda oscilacija; $((\omega )_0t+\varphi)$ - faza oscilacije; $\varphi $ i $(\varphi )_1$ su početne faze oscilacija.

U eksponencijalnom obliku, oscilacije opružnog njihala mogu se napisati kao:

Formule za period i frekvenciju titranja opružnog njihala

Ako je u elastičnim vibracijama zadovoljen Hookeov zakon, tada se period titranja opružnog njihala izračunava pomoću formule:

Budući da je frekvencija osciliranja ($\nu $) recipročna vrijednost perioda, tada:

\[\nu =\frac(1)(T)=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\lijevo(5\desno).\]

Formule za amplitudu i početnu fazu opružnog njihala

Poznavajući jednadžbu oscilacija opružnog njihala (1 ili 2) i početne uvjete, mogu se u potpunosti opisati harmonijska osciliranja opružnog njihala. Početni uvjeti određeni su amplitudom ($A$) i početnom fazom oscilacija ($\varphi $).

Amplituda se može pronaći kao:

početna faza u ovom slučaju:

gdje je $v_0$ brzina tereta pri $t=0\ c$, kada je koordinata tereta $x_0$.

Energija titranja opružnog njihala

U jednodimenzionalnom gibanju opružnog njihala postoji samo jedan put između dviju točaka njegova gibanja, stoga je zadovoljen uvjet potencijalnosti sile (svaka sila se može smatrati potencijalnom ako ovisi samo o koordinatama). Budući da su sile koje djeluju na opružno njihalo potencijalne, možemo govoriti o potencijalnoj energiji.

Neka opružno njihalo titra u vodoravnoj ravnini (slika 2). Uzmimo položaj njegove ravnoteže kao nultu potencijalnu energiju njihala, gdje postavljamo početak koordinata. Sile trenja ne uzimamo u obzir. Korištenje formule koja povezuje potencijalnu silu i potencijalnu energiju za jednodimenzionalni slučaj:

uzimajući u obzir da je za njihalo s oprugom $F=-kx$,

tada je potencijalna energija ($E_p$) opružnog njihala jednaka:

Zakon o održanju energije opružnog njihala zapisujemo kao:

\[\frac(m(\dot(x))^2)(2)+\frac(m((\omega )_0)^2x^2)(2)=const\ \lijevo(10\desno), \]

gdje je $\dot(x)=v$ brzina tereta; $E_k=\frac(m(\dot(x))^2)(2)$ je kinetička energija njihala.

Iz formule (10) mogu se izvući sljedeći zaključci:

• Najveća kinetička energija njihala jednaka je njegovoj najvećoj potencijalnoj energiji.
• Vremenski prosječna kinetička energija oscilatora jednaka je njegovoj vremenski prosječnoj potencijalnoj energiji.

Primjeri problema s rješenjima

Primjer 1

Vježbajte. Kuglica mase $m=0,36$ kg pričvršćena je na horizontalnu oprugu čiji je koeficijent elastičnosti jednak $k=1600\ \frac(N)(m)$. Koliki je bio početni pomak kuglice iz ravnotežnog položaja ($x_0$), ako kroz njega oscilira brzinom $v=1\ \frac(m)(s)$?

Riješenje. Napravimo crtež.

Prema zakonu održanja mehaničke energije (pošto pretpostavljamo da nema sila trenja) pišemo:

gdje je $E_(pmax)$ potencijalna energija kuglice pri njenom najvećem pomaku od ravnotežnog položaja; $E_(kmax\ )$ je kinetička energija lopte u trenutku prolaska ravnotežnog položaja.

Potencijalna energija jednaka je:

U skladu s (1.1), izjednačimo desne strane (1.2) i (1.3), imamo:

\[\frac(mv^2)(2)=\frac(k(x_0)^2)(2)\lijevo(1,4\desno).\]

Iz (1.4) izražavamo traženu vrijednost:

Izračunajmo početni (maksimalni) pomak tereta iz ravnotežnog položaja:

Odgovor.$x_0=1,5$ mm

Primjer 2

Vježbajte. Opružno njihalo oscilira prema zakonu: $x=A(\cos \left(\omega t\right),\ \ )\ $gdje su $A$ i $\omega $ konstante. Kada povratna sila prvi put dosegne $F_0,$ potencijalna energija opterećenja je $E_(p0)$. U kojem trenutku će se to dogoditi?

Riješenje. Povratna sila opružnog njihala je elastična sila jednaka:

Potencijalnu energiju vibracije tereta nalazimo kao:

U trenutku koji treba pronaći $F=F_0$; $E_p=E_(p0)$, znači:

\[\frac(E_(p0))(F_0)=-\frac(A)(2)(\cos \lijevo(\omega t\desno)\ )\to t=\frac(1)(\omega ) \arc(\cos \lijevo(-\frac(2E_(p0))(AF_0)\desno)\ ).\]

Odgovor.$t=\frac(1)(\omega )\ arc(\cos \lijevo(-\frac(2E_(p0))(AF_0)\desno)\ )$

Definicija

Frekvencija osciliranja($\nu$) je jedan od parametara koji karakteriziraju oscilacije. Ovo je recipročna vrijednost perioda oscilacije ($T$):

\[\nu =\frac(1)(T)\lijevo(1\desno).\]

Dakle, frekvencija oscilacija je fizikalna veličina jednaka broju ponavljanja oscilacija u jedinici vremena.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\lijevo(2\desno),\]

gdje je $N$ broj potpunih oscilatornih gibanja; $\Delta t$ je vrijeme tijekom kojeg su se te oscilacije dogodile.

Frekvencija cikličke oscilacije ($(\omega )_0$) povezana je s frekvencijom $\nu $ formulom:

\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\lijevo(3\desno).\]

Jedinica frekvencije u Međunarodnom sustavu jedinica (SI) je herc ili recipročna sekunda:

\[\lijevo[\nu \desno]=s^(-1)=Hz.\]

Opružno njihalo

Definicija

Opružno njihalo zove se sustav koji se sastoji od elastične opruge na koju je pričvršćen teret.

Uzmimo da je masa tereta $m$, a koeficijent elastičnosti opruge $k$. Masa opruge u takvom njihalu obično se ne uzima u obzir. Ako uzmemo u obzir horizontalna gibanja tereta (slika 1), onda se on kreće pod utjecajem elastične sile ako je sustav izbačen iz ravnoteže i prepušten sam sebi. U ovom slučaju, često se vjeruje da se sile trenja mogu zanemariti.

Jednadžbe oscilacija opružnog njihala

Opružno njihalo koje slobodno oscilira primjer je harmonijskog oscilatora. Neka oscilira duž osi X. Ako su oscilacije male, Hookeov zakon je zadovoljen, tada jednadžbu gibanja tereta zapisujemo kao:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\lijevo(4\desno),\]

gdje je $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ ciklička frekvencija titranja opružnog njihala. Rješenje jednadžbe (4) je sinusna ili kosinusna funkcija oblika:

gdje je $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ ciklička frekvencija oscilacija opružnog njihala, $A$ je amplituda oscilacija; $((\omega )_0t+\varphi)$ - faza oscilacije; $\varphi $ i $(\varphi )_1$ su početne faze oscilacija.

Frekvencija titranja opružnog njihala

Iz formule (3) i $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, slijedi da je frekvencija titranja opružnog njihala jednaka:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \lijevo(6\desno).\]

Formula (6) vrijedi ako:

• opruga u njihalu smatra se bestežinskom;
• teret vezan za oprugu je apsolutno kruto tijelo;
• nema torzijskih vibracija.

Izraz (6) pokazuje da frekvencija titranja opružnog njihala raste sa smanjenjem mase tereta i povećanjem koeficijenta elastičnosti opruge. Frekvencija titranja opružnog njihala ne ovisi o amplitudi. Ako oscilacije nisu male, elastična sila opruge ne poštuje Hookeov zakon, tada se pojavljuje ovisnost frekvencije oscilacija o amplitudi.

Primjeri problema s rješenjima

Primjer 1

Vježbajte. Period titranja opružnog njihala je $T=5\cdot (10)^(-3)s$. Kolika je u tom slučaju frekvencija titranja? Kolika je ciklička frekvencija titranja te mase?

Riješenje. Frekvencija oscilacije je recipročna vrijednost perioda oscilacije, stoga je za rješavanje problema dovoljno koristiti formulu:

\[\nu =\frac(1)(T)\lijevo(1,1\desno).\]

Izračunajmo potrebnu frekvenciju:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \lijevo(Hz\desno).\]

Ciklička frekvencija povezana je s frekvencijom $\nu $ kao:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \lijevo(1.2\desno).\]

Izračunajmo cikličku frekvenciju:

\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\približno 1256\ \lijevo(\frac(rad)(s)\desno).\]

Odgovor.$1)\ \nu =200$ Hz. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(s)$

Primjer 2

Vježbajte. Masa tereta koji visi na elastičnoj opruzi (slika 2) povećava se za $\Delta m$, dok se frekvencija smanjuje za $n$ puta. Kolika je masa prvog tereta?

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \lijevo(2,1\desno).\]

Za prvo opterećenje frekvencija će biti jednaka:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \lijevo(2,2\desno).\]

Za drugo opterećenje:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \lijevo(2,2\desno).\]

Prema uvjetima zadatka $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$ nalazimo relaciju $\frac((\nu )_1)((\nu )_2): \frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac (\Delta m)( m))=n\ \lijevo(2,3\desno).$

Dobijmo iz jednadžbe (2.3) traženu masu tereta. Da bismo to učinili, kvadriramo obje strane izraza (2.3) i izrazimo $m$:

Odgovor.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$