ลงด้วยความไม่แน่นอนหรือวิธีหาความน่าจะเป็น การแปลงค่าสัมประสิทธิ์ความน่าจะเป็นและในทางกลับกัน สูตร ความน่าจะเป็นแสดงออกมาอย่างไร?
การรู้วิธีประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามอัตราต่อรองถือเป็นสิ่งสำคัญในการเลือกเดิมพันที่ถูกต้อง หากคุณไม่เข้าใจวิธีการแปลงอัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทงให้เป็นความน่าจะเป็น คุณจะไม่สามารถระบุได้ว่าอัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทงจะเป็นอย่างไรเมื่อเปรียบเทียบกับอัตราต่อรองที่แท้จริงของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น คุณควรเข้าใจว่าหากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามเจ้ามือรับแทงต่ำกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เดียวกันตามเวอร์ชันของคุณ การเดิมพันในเหตุการณ์นี้จะมีค่า คุณสามารถเปรียบเทียบราคาสำหรับเหตุการณ์ต่างๆ ได้ที่เว็บไซต์ Odds.ru
1.1. ประเภทของอัตราต่อรอง
เจ้ามือรับแทงมักจะเสนอราคาต่อรองสามประเภท ได้แก่ ทศนิยม เศษส่วน และอเมริกัน มาดูแต่ละพันธุ์กัน
1.2. อัตราต่อรองทศนิยม
อัตราต่อรองทศนิยมเมื่อคูณด้วยขนาดการเดิมพันทำให้คุณสามารถคำนวณจำนวนเงินทั้งหมดที่คุณจะได้รับในมือของคุณหากคุณชนะ ตัวอย่างเช่น หากคุณเดิมพัน $1 ที่อัตราต่อรอง 1.80 หากคุณชนะ คุณจะได้รับ $1.80 ($1 คือจำนวนเงินเดิมพันที่คืน 0.80 คือเงินรางวัลจากการเดิมพัน ซึ่งเป็นกำไรสุทธิของคุณด้วย)
นั่นคือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามเจ้ามือรับแทงคือ 55%
1.3. อัตราต่อรองแบบเศษส่วน
อัตราต่อรองแบบเศษส่วนเป็นประเภทอัตราต่อรองแบบดั้งเดิมที่สุด ตัวเศษจะแสดงเงินรางวัลสุทธิที่เป็นไปได้ ตัวส่วนคือจำนวนเงินเดิมพันที่ต้องทำเพื่อให้ได้ชัยชนะ ตัวอย่างเช่น อัตราต่อรอง 7/2 หมายความว่าเพื่อที่จะได้เงินรางวัล $7 คุณจะต้องเดิมพัน $2
ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามค่าสัมประสิทธิ์ทศนิยม คุณควรทำการคำนวณง่ายๆ โดยหารตัวส่วนด้วยผลรวมของทั้งเศษและส่วน สำหรับอัตราต่อรอง 7/2 ข้างต้น การคำนวณจะเป็นดังนี้:
2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22
นั่นคือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามเจ้ามือรับแทงคือ 22%
1.4. อัตราต่อรองแบบอเมริกัน
อัตราต่อรองประเภทนี้เป็นที่นิยมในอเมริกาเหนือ เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนค่อนข้างซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่อย่าตกใจไป การทำความเข้าใจอัตราต่อรองของอเมริกาอาจมีประโยชน์ เช่น เมื่อเล่นในคาสิโนของอเมริกา เพื่อทำความเข้าใจคำพูดที่แสดงในการถ่ายทอดกีฬาในอเมริกาเหนือ มาดูวิธีการประมาณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์โดยอิงจากอัตราต่อรองแบบอเมริกัน
ก่อนอื่น คุณต้องเข้าใจว่าอัตราต่อรองแบบอเมริกันนั้นมีทั้งเชิงบวกและเชิงลบ ค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นลบจะอยู่ในรูปแบบเสมอ เช่น "-150" ซึ่งหมายความว่าในการที่จะได้รับกำไรสุทธิ $100 (เงินรางวัล) คุณต้องเดิมพัน $150
ค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นบวกจะคำนวณในทางกลับกัน ตัวอย่างเช่น เรามีค่าสัมประสิทธิ์ "+120" ซึ่งหมายความว่าในการที่จะได้รับกำไรสุทธิ $120 (เงินรางวัล) คุณต้องเดิมพัน $100
การคำนวณความน่าจะเป็นโดยอิงจากอัตราต่อรองอเมริกันติดลบทำได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:
(-(สัมประสิทธิ์อเมริกันติดลบ)) / ((-(สัมประสิทธิ์อเมริกันติดลบ)) + 100)
(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6
นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้รับค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันติดลบเป็น "-150" คือ 60%
ตอนนี้ให้พิจารณาการคำนวณที่คล้ายกันสำหรับค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นบวก ความน่าจะเป็นในกรณีนี้คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
100 / (สัมประสิทธิ์อเมริกันบวก + 100)
100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45
นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้รับสัมประสิทธิ์อเมริกันเชิงบวกเป็น "+120" คือ 45%
1.5. วิธีการแปลงอัตราต่อรองจากรูปแบบหนึ่งไปเป็นอีกรูปแบบหนึ่ง?
ความสามารถในการแปลงอัตราต่อรองจากรูปแบบหนึ่งไปเป็นอีกรูปแบบหนึ่งสามารถให้บริการคุณได้ดีในภายหลัง น่าแปลกที่ยังมีสำนักงานหลายแห่งที่อัตราต่อรองไม่ถูกแปลงและแสดงในรูปแบบเดียวเท่านั้นซึ่งถือว่าผิดปกติสำหรับเรา ลองดูตัวอย่างวิธีการทำเช่นนี้ แต่ก่อนอื่น เราต้องเรียนรู้วิธีคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามค่าสัมประสิทธิ์ที่เราได้รับ
1.6. จะคำนวณอัตราต่อรองทศนิยมตามความน่าจะเป็นได้อย่างไร?
ทุกอย่างง่ายมากที่นี่ จำเป็นต้องหาร 100 ด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นเปอร์เซ็นต์ นั่นคือ หากความน่าจะเป็นโดยประมาณของเหตุการณ์คือ 60% คุณต้อง:
ด้วยความน่าจะเป็นโดยประมาณของเหตุการณ์ 60% อัตราต่อรองทศนิยมจะเป็น 1.66
1.7. จะคำนวณอัตราต่อรองแบบเศษส่วนตามความน่าจะเป็นได้อย่างไร?
ในกรณีนี้ คุณต้องหาร 100 ด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และลบหนึ่งออกจากผลลัพธ์ที่ได้รับ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 40%:
(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5
นั่นคือ เราได้ค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนเป็น 1.5/1 หรือ 3/2 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ
1.8. จะคำนวณอัตราต่อรองแบบอเมริกันตามผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ได้อย่างไร?
ในที่นี้ส่วนมากจะขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ไม่ว่าจะมากกว่า 50% หรือน้อยกว่าก็ตาม หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มากกว่า 50% การคำนวณจะดำเนินการโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
- ((ความน่าจะเป็น) / (100 - ความน่าจะเป็น)) * 100
ตัวอย่างเช่น หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 80% ดังนั้น:
— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)
ด้วยความน่าจะเป็นโดยประมาณของเหตุการณ์ 80% เราได้รับค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันติดลบเป็น "-400"
หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์น้อยกว่า 50 เปอร์เซ็นต์ สูตรจะเป็นดังนี้:
((100 - ความน่าจะเป็น) / ความน่าจะเป็น) * 100
ตัวอย่างเช่น หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 40% ดังนั้น:
((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150
ด้วยความน่าจะเป็นโดยประมาณของเหตุการณ์ที่ 40% เราได้รับค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นบวกเป็น "+150"
การคำนวณเหล่านี้จะช่วยให้คุณเข้าใจแนวคิดของการเดิมพันและราคาต่อรองได้ดีขึ้น และเรียนรู้วิธีประเมินมูลค่าที่แท้จริงของการเดิมพันนั้นๆ
การเลือกเดิมพันที่เหมาะสมไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับสัญชาตญาณ ความรู้ด้านกีฬา อัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทง แต่ยังขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วย ความสามารถในการคำนวณตัวบ่งชี้ดังกล่าวในการเดิมพันเป็นกุญแจสู่ความสำเร็จในการทำนายเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นซึ่งควรจะวางเดิมพัน
เจ้ามือรับแทงมีอัตราต่อรองสามประเภท (รายละเอียดเพิ่มเติมในบทความ) ประเภทที่กำหนดวิธีคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สำหรับผู้เล่น
อัตราต่อรองทศนิยม
ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะคำนวณโดยใช้สูตร: 1/สัมประสิทธิ์ = vi โดยที่สัมประสิทธิ์ คือสัมประสิทธิ์เหตุการณ์ และ vi คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น เรารับเหตุการณ์คี่ 1.80 ด้วยการเดิมพันหนึ่งดอลลาร์ ดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตามสูตร ผู้เล่นจะได้รับความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตามเจ้ามือรับแทงคือ 0.55 เปอร์เซ็นต์
อัตราต่อรองแบบเศษส่วน
เมื่อใช้อัตราต่อรองแบบเศษส่วน สูตรในการคำนวณความน่าจะเป็นจะแตกต่างออกไป ดังนั้น ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ 7/2 โดยที่ตัวเลขแรกหมายถึงจำนวนกำไรสุทธิที่เป็นไปได้ และตัวเลขที่สองคือขนาดของการเดิมพันที่ต้องการเพื่อให้ได้กำไรนี้ สมการจะมีลักษณะดังนี้: zn.od/ สำหรับผลรวม ของ zn.od และ chs.od = vi. โดยที่ zn.coef เป็นตัวหารของสัมประสิทธิ์ chs.coef เป็นตัวเศษของสัมประสิทธิ์ vi คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ ดังนั้น สำหรับอัตราต่อรองที่เป็นเศษส่วนของ 7/2 สมการจะมีลักษณะดังนี้ 2 / (7+2) = 2/9 = 0.22 ดังนั้น ความน่าจะเป็น 0.22 เปอร์เซ็นต์ของผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตามเจ้ามือรับแทง
อัตราต่อรองแบบอเมริกัน
อัตราต่อรองแบบอเมริกันไม่ได้รับความนิยมมากนักในหมู่ผู้เล่น และตามกฎแล้วจะใช้เฉพาะในสหรัฐอเมริกาเท่านั้น โดยมีโครงสร้างที่ซับซ้อนและสับสน เพื่อตอบคำถาม: “จะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยวิธีนี้ได้อย่างไร” คุณจำเป็นต้องรู้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าวอาจเป็นค่าลบและค่าบวกได้
ค่าสัมประสิทธิ์ที่มีเครื่องหมาย “-” เช่น -150 แสดงว่าผู้เล่นต้องวางเดิมพัน 150 ดอลลาร์เพื่อรับกำไรสุทธิ 100 ดอลลาร์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะคำนวณตามสูตรที่คุณต้องหารค่าสัมประสิทธิ์ลบด้วยผลรวมของค่าสัมประสิทธิ์ลบกับ 100 ดูเหมือนว่าจะใช้ตัวอย่างการเดิมพันที่ -150 ดังนั้น (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0.6 โดยที่ 0.6 คูณด้วย 100 และความน่าจะเป็นผลลัพธ์ของเหตุการณ์คือ 60 เปอร์เซ็นต์ สูตรเดียวกันนี้ยังเหมาะสำหรับอัตราต่อรองแบบอเมริกันที่เป็นบวกอีกด้วย
ในตอนแรก เป็นเพียงการรวบรวมข้อมูลและการสังเกตเชิงประจักษ์เกี่ยวกับเกมลูกเต๋า ทฤษฎีความน่าจะเป็นจึงกลายเป็นวิทยาศาสตร์อย่างละเอียด คนแรกที่ให้กรอบทางคณิตศาสตร์คือแฟร์มาต์และปาสคาล
จากการคิดถึงนิรันดร์สู่ทฤษฎีความน่าจะเป็น
บุคคลสองคนที่ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นหนี้สูตรพื้นฐานหลายประการ ได้แก่ เบลส ปาสคาล และโธมัส เบยส์ เป็นที่รู้จักในนามผู้เคร่งครัดในศาสนา โดยคนหลังเป็นรัฐมนตรีเพรสไบทีเรียน เห็นได้ชัดว่าความปรารถนาของนักวิทยาศาสตร์สองคนนี้ในการพิสูจน์ความคิดเห็นที่ผิดพลาดเกี่ยวกับโชคลาภบางอย่างซึ่งมอบความโชคดีให้กับสิ่งที่เธอโปรดปรานได้ทำให้เกิดแรงผลักดันในการวิจัยในด้านนี้ ท้ายที่สุดแล้วในความเป็นจริงแล้ว การพนันด้วยชัยชนะและความพ่ายแพ้ มันเป็นเพียงการประสานกันของหลักการทางคณิตศาสตร์
ด้วยความหลงใหลใน Chevalier de Mere ซึ่งเป็นนักพนันและเป็นชายที่ไม่แยแสกับวิทยาศาสตร์ ปาสคาลจึงถูกบังคับให้หาวิธีคำนวณความน่าจะเป็น เดอ เมียร์ สนใจคำถามต่อไปนี้: “คุณต้องโยนลูกเต๋าสองลูกเป็นคู่กี่ครั้งจึงจะมีโอกาสได้ 12 แต้มเกิน 50%” คำถามที่สองซึ่งเป็นที่สนใจของสุภาพบุรุษอย่างมาก: “จะแบ่งการเดิมพันระหว่างผู้เข้าร่วมในเกมที่ยังไม่เสร็จได้อย่างไร” แน่นอนว่า ปาสคาลสามารถตอบคำถามทั้งสองข้อของเดอ แมร์ได้สำเร็จ ซึ่งกลายเป็นผู้ริเริ่มการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นโดยไม่รู้ตัว ที่น่าสนใจคือบุคคลของเดอ แมร์ยังคงเป็นที่รู้จักในด้านนี้ ไม่ใช่ในวรรณคดี
ก่อนหน้านี้ ไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดเคยพยายามคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เนื่องจากเชื่อกันว่านี่เป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาในการคาดเดาเท่านั้น เบลส ปาสคาล ให้คำจำกัดความแรกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และแสดงให้เห็นว่าเป็นตัวเลขเฉพาะที่สามารถให้เหตุผลได้ ในทางคณิตศาสตร์- ทฤษฎีความน่าจะเป็นได้กลายเป็นพื้นฐานสำหรับสถิติและมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่
ความบังเอิญคืออะไร
หากเราพิจารณาการทดสอบที่สามารถทำซ้ำได้ไม่จำกัดครั้ง เราก็สามารถกำหนดเหตุการณ์สุ่มได้ นี่เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบ
ประสบการณ์คือการดำเนินการตามการกระทำเฉพาะภายใต้เงื่อนไขคงที่
เพื่อให้สามารถทำงานกับผลลัพธ์ของการทดลองได้ เหตุการณ์มักจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษร A, B, C, D, E...
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม
เพื่อเริ่มต้นส่วนทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น จำเป็นต้องกำหนดส่วนประกอบทั้งหมด
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือการวัดเชิงตัวเลขของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์บางอย่าง (A หรือ B) ที่เกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากประสบการณ์ ความน่าจะเป็นแสดงเป็น P(A) หรือ P(B)
ในทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาแยกแยะ:
- เชื่อถือได้รับประกันว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นจากประสบการณ์ P(Ω) = 1;
- เป็นไปไม่ได้เหตุการณ์นั้นไม่มีทางเกิดขึ้นได้ P(Ø) = 0;
- สุ่มเหตุการณ์อยู่ระหว่างความน่าเชื่อถือและเป็นไปไม่ได้ กล่าวคือ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นนั้นเป็นไปได้ แต่ไม่รับประกัน (ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มจะอยู่ในช่วง 0≤Р(А)≤ 1 เสมอ)
ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์
ทั้งสองเหตุการณ์และผลรวมของเหตุการณ์ A+B จะถูกพิจารณา เมื่อเหตุการณ์ถูกนับเมื่อมีการบรรลุองค์ประกอบ A หรือ B อย่างน้อยหนึ่งรายการ หรือทั้งสองอย่าง A และ B
เหตุการณ์ที่สัมพันธ์กันอาจเป็น:
- เป็นไปได้พอๆ กัน
- เข้ากันได้
- เข้ากันไม่ได้
- ตรงกันข้าม (แยกออกจากกัน)
- ขึ้นอยู่กับ.
หากเหตุการณ์สองเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน เป็นไปได้เท่าเทียมกัน.
หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ไม่ได้ลดความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ B ลงจนเหลือศูนย์ ก็แสดงว่าเกิดขึ้น เข้ากันได้
หากเหตุการณ์ A และ B ไม่เคยเกิดขึ้นพร้อมกันในประสบการณ์เดียวกัน ระบบจะเรียกเหตุการณ์เหล่านั้น เข้ากันไม่ได้- โยนเหรียญ - ตัวอย่างที่ดี: ลักษณะของศีรษะคือการไม่ปรากฏของศีรษะโดยอัตโนมัติ
ความน่าจะเป็นสำหรับผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ดังกล่าวประกอบด้วยผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์:
ป(เอ+บี)=พี(เอ)+พี(บี)
ถ้าการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งทำให้การเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเป็นไปไม่ได้ ก็จะเรียกว่าตรงกันข้าม จากนั้นหนึ่งในนั้นถูกกำหนดให้เป็น A และอีกอัน - Ā (อ่านว่า "ไม่ใช่ A") การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A หมายความว่า Ā ไม่ได้เกิดขึ้น เหตุการณ์ทั้งสองนี้รวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์โดยมีผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับ 1
เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาอาศัยกันมีอิทธิพลซึ่งกันและกัน ลดหรือเพิ่มความน่าจะเป็นของกันและกัน
ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ ตัวอย่าง
การใช้ตัวอย่างช่วยให้เข้าใจหลักการของทฤษฎีความน่าจะเป็นและการรวมกันของเหตุการณ์ได้ง่ายกว่ามาก
การทดลองที่จะดำเนินการประกอบด้วยการนำลูกบอลออกจากกล่องและผลลัพธ์ของการทดลองแต่ละครั้งถือเป็นผลลัพธ์เบื้องต้น
เหตุการณ์เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบ เช่น ลูกบอลสีแดง ลูกบอลสีน้ำเงิน ลูกบอลที่มีหมายเลขหก เป็นต้น
การทดสอบครั้งที่ 1 มีลูกบอลที่เกี่ยวข้อง 6 ลูก โดยสามลูกเป็นสีน้ำเงินและมีเลขคี่ และอีกสามลูกเป็นสีแดงเป็นเลขคู่
การทดสอบหมายเลข 2 มีส่วนร่วม 6 ลูก สีฟ้าด้วยตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงหก
จากตัวอย่างนี้ เราสามารถตั้งชื่อชุดค่าผสมได้:
- เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ในภาษาสเปน อันดับที่ 2 เหตุการณ์ “ได้ลูกบอลสีน้ำเงิน” เชื่อถือได้ เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นมีค่าเท่ากับ 1 เนื่องจากลูกบอลทั้งหมดเป็นสีน้ำเงินและไม่ควรพลาด ในขณะที่กิจกรรม “ได้บอลเลข 1” จะเป็นแบบสุ่ม
- เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ในภาษาสเปน อันดับ 1 ลูกบอลสีน้ำเงินและสีแดง เหตุการณ์ “ได้ลูกบอลสีม่วง” เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นคือ 0
- เหตุการณ์ที่เป็นไปได้พอๆ กันในภาษาสเปน อันดับที่ 1 เหตุการณ์ “ได้บอลเลข 2” และ “ได้บอลเลข 3” เป็นไปได้พอๆ กัน และเหตุการณ์ “ได้บอลเลขคู่” และ “ได้บอลเลข 2” ” มีความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน
- เหตุการณ์ที่เข้ากันได้การได้หกสองครั้งติดต่อกันขณะขว้างลูกเต๋าเป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันได้
- เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ในภาษาสเปนเดียวกัน อันดับที่ 1 เหตุการณ์ “ได้ลูกบอลสีแดง” และ “ได้ลูกบอลที่มีเลขคี่” ไม่สามารถรวมกันในประสบการณ์เดียวกันได้
- เหตุการณ์ตรงกันข้าม.ตัวอย่างที่เด่นชัดที่สุดของเรื่องนี้คือการโยนเหรียญ โดยที่หัวที่วาดนั้นเทียบเท่ากับการไม่วาดก้อย และความน่าจะเป็นรวมจะเป็น 1 เสมอ (ทั้งกลุ่ม)
- เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา- ดังนั้นในภาษาสเปน ลำดับที่ 1 คุณสามารถตั้งเป้าหมายในการจั่วลูกบอลสีแดง 2 ครั้งติดต่อกันได้ การดึงข้อมูลในครั้งแรกหรือไม่จะส่งผลต่อความน่าจะเป็นในการดึงข้อมูลในครั้งที่สอง
จะเห็นได้ว่าเหตุการณ์แรกส่งผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญต่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สอง (40% และ 60%)
สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
การเปลี่ยนจากการทำนายดวงชะตาไปสู่ข้อมูลที่แม่นยำเกิดขึ้นผ่านการแปลหัวข้อเป็นระนาบทางคณิตศาสตร์ นั่นคือ การตัดสินเกี่ยวกับเหตุการณ์สุ่ม เช่น “ความน่าจะเป็นสูง” หรือ “ความน่าจะเป็นน้อยที่สุด” สามารถแปลเป็นข้อมูลตัวเลขเฉพาะได้ อนุญาตให้ประเมิน เปรียบเทียบ และป้อนเนื้อหาดังกล่าวในการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นได้แล้ว
จากมุมมองการคำนวณ การพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์เชิงบวกเบื้องต้นต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากประสบการณ์เกี่ยวกับเหตุการณ์เฉพาะ ความน่าจะเป็นเขียนแทนด้วย P(A) โดยที่ P ย่อมาจากคำว่า "ความน่าจะเป็น" ซึ่งแปลจากภาษาฝรั่งเศสว่า "ความน่าจะเป็น"
ดังนั้น สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ:
โดยที่ m คือจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจสำหรับเหตุการณ์ A และ n คือผลรวมของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับประสบการณ์นี้ ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ:
0 ≤ พี(เอ)≤ 1
การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตัวอย่าง
มาดูภาษาสเปนกันดีกว่า หมายเลข 1 ที่มีลูกบอลซึ่งอธิบายไว้ข้างต้น: ลูกบอลสีน้ำเงิน 3 ลูกที่มีหมายเลข 1/3/5 และลูกบอลสีแดง 3 ลูกที่มีหมายเลข 2/4/6
จากการทดสอบนี้ สามารถพิจารณาปัญหาต่างๆ หลายประการได้:
- เอ - ลูกบอลสีแดงหล่นลงมา มีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและมีทั้งหมด 6 ตัวเลือก ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดโดยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเท่ากับ P(A)=3/6=0.5
- B - การหมุนเลขคู่ มีเลขคู่ 3 ตัว (2,4,6) และจำนวนตัวเลือกตัวเลขที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 6 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ P(B)=3/6=0.5
- C - การเกิดขึ้นของตัวเลขที่มากกว่า 2 มี 4 ตัวเลือกดังกล่าว (3,4,5,6) จากจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 6 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ C เท่ากับ P(C)=4 /6=0.67.
ดังที่เห็นได้จากการคำนวณ เหตุการณ์ C มีความเป็นไปได้สูงกว่า เนื่องจากจำนวนผลลัพธ์เชิงบวกที่เป็นไปได้นั้นสูงกว่าใน A และ B
เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้
เหตุการณ์ดังกล่าวไม่สามารถปรากฏพร้อมกันในประสบการณ์เดียวกันได้ เช่นเดียวกับภาษาสเปน อันดับ 1 เป็นไปไม่ได้ที่จะได้ลูกบอลสีน้ำเงินและสีแดงพร้อมกัน นั่นคือคุณสามารถได้ลูกบอลสีน้ำเงินหรือสีแดง ในทำนองเดียวกัน เลขคู่และเลขคี่ไม่สามารถปรากฏในลูกเต๋าพร้อมกันได้
ความน่าจะเป็นของสองเหตุการณ์ถือเป็นความน่าจะเป็นของผลรวมหรือผลคูณของเหตุการณ์เหล่านั้น ผลรวมของเหตุการณ์ A+B ดังกล่าวถือเป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ A หรือ B และผลคูณของเหตุการณ์ A+B คือการเกิดขึ้นของทั้งสองเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น การปรากฏตัวของสองแต้มพร้อมกันบนใบหน้าของลูกเต๋าสองลูกในการโยนครั้งเดียว
ผลรวมของหลายเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่สันนิษฐานว่าจะมีเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้น การผลิตงานต่างๆ ถือเป็นการเกิดขึ้นร่วมกันทั้งหมด
ตามทฤษฎีความน่าจะเป็น การใช้คำร่วม "และ" หมายถึงผลรวม และการใช้คำร่วม "หรือ" - การคูณ สูตรพร้อมตัวอย่างจะช่วยให้คุณเข้าใจตรรกะของการบวกและการคูณในทฤษฎีความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้
หากพิจารณาถึงความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แล้วความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์จะเท่ากับบวกกับความน่าจะเป็น:
ป(เอ+บี)=พี(เอ)+พี(บี)
ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณความน่าจะเป็นที่เป็นภาษาสเปนกัน หมายเลข 1 ที่มีลูกบอลสีน้ำเงินและสีแดง ตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 4 จะปรากฏขึ้น เราจะไม่คำนวณในการกระทำเดียว แต่ด้วยผลรวมของความน่าจะเป็นขององค์ประกอบเบื้องต้น ดังนั้น ในการทดลองดังกล่าว มีเพียง 6 ลูกหรือ 6 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด จำนวนที่ตรงตามเงื่อนไขคือ 2 และ 3 ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 2 คือ 1/6 ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 3 ก็คือ 1/6 เช่นกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 4 คือ:
ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ของกลุ่มทั้งหมดคือ 1
ดังนั้น หากในการทดลองด้วยลูกบาศก์ เราบวกความน่าจะเป็นของตัวเลขทั้งหมดที่ปรากฏ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นหนึ่ง
สิ่งนี้จะเกิดขึ้นกับเหตุการณ์ตรงกันข้ามด้วย เช่น ในการทดลองกับเหรียญ โดยที่ด้านหนึ่งคือเหตุการณ์ A และอีกด้านเป็นเหตุการณ์ตรงกันข้าม Ā ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้ว
P(A) + P(Ā) = 1
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เกิดขึ้น
การคูณความน่าจะเป็นใช้ในการพิจารณาการเกิดเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ตั้งแต่ 2 เหตุการณ์ขึ้นไปในการสังเกตครั้งเดียว ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A และ B จะปรากฏพร้อมกันนั้นเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นหรือ:
ป(A*B)=ป(A)*P(B)
เช่น ความน่าจะเป็นที่เป็นภาษาสเปน อันดับที่ 1 จากความพยายามสองครั้ง ลูกบอลสีน้ำเงินจะปรากฏขึ้นสองครั้งเท่ากับ
นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเมื่อพยายามดึงลูกบอลสองครั้ง มีเพียงลูกบอลสีน้ำเงินเท่านั้นที่ถูกดึงออกมาคือ 25% เป็นเรื่องง่ายมากที่จะทำการทดลองเชิงปฏิบัติกับปัญหานี้และดูว่าเป็นเช่นนั้นจริงหรือไม่
กิจกรรมร่วมกัน
เหตุการณ์ถือเป็นเหตุการณ์ร่วมกันเมื่อการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งสามารถเกิดขึ้นพร้อมกับการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่งได้ แม้ว่าพวกเขาจะร่วมกัน แต่ก็คำนึงถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ ตัวอย่างเช่น การขว้างลูกเต๋าสองลูกสามารถให้ผลลัพธ์ได้เมื่อหมายเลข 6 ปรากฏบนทั้งคู่ แม้ว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นพร้อมกันและปรากฏพร้อมกัน แต่ก็แยกจากกัน - มีเพียงหกลูกเท่านั้นที่จะหลุดออกไป แต่การตายครั้งที่สองไม่มี มีอิทธิพลต่อมัน
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมถือเป็นความน่าจะเป็นของผลรวม
ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ร่วม ตัวอย่าง
ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ A และ B ซึ่งมีความสัมพันธ์ร่วมกันจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ลบด้วยความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นร่วมกัน (นั่นคือ การเกิดขึ้นร่วมกัน):
ข้อต่ออาร์ (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
สมมติว่าความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยนัดเดียวคือ 0.4 จากนั้นเหตุการณ์ A โจมตีเป้าหมายในความพยายามครั้งแรก B - ในครั้งที่สอง เหตุการณ์เหล่านี้เป็นเหตุการณ์ร่วมกันเนื่องจากเป็นไปได้ที่คุณจะสามารถเข้าถึงเป้าหมายได้ทั้งช็อตแรกและครั้งที่สอง แต่เหตุการณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิงสองนัด (อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) คืออะไร? ตามสูตร:
0,4+0,4-0,4*0,4=0,64
คำตอบสำหรับคำถามคือ “ความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิงสองนัดคือ 64%”
สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้สามารถนำไปใช้กับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ โดยที่ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นร่วมกัน P(AB) = 0 ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษ ของสูตรที่นำเสนอ
เรขาคณิตของความน่าจะเป็นเพื่อความชัดเจน
สิ่งที่น่าสนใจคือความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ร่วมสามารถแสดงเป็นพื้นที่ A และ B สองพื้นที่ซึ่งตัดกัน ดังที่เห็นจากภาพ พื้นที่สหภาพจะเท่ากับพื้นที่ทั้งหมดลบด้วยพื้นที่ทางแยก คำอธิบายทางเรขาคณิตนี้ทำให้สูตรที่ดูไร้เหตุผลสามารถเข้าใจได้ง่ายขึ้น โปรดทราบว่าการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตไม่ใช่เรื่องแปลกในทฤษฎีความน่าจะเป็น
การกำหนดความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ร่วมหลายเหตุการณ์ (มากกว่าสองเหตุการณ์) ค่อนข้างยุ่งยาก ในการคำนวณ คุณต้องใช้สูตรที่ให้ไว้สำหรับกรณีเหล่านี้
เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา
เหตุการณ์จะถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับถ้าการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่ง (A) ส่งผลต่อความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นอีกเหตุการณ์หนึ่ง (B) นอกจากนี้ ยังคำนึงถึงอิทธิพลของทั้งการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A และการไม่เกิดขึ้นด้วย แม้ว่าเหตุการณ์จะถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ แต่มีเหตุการณ์เดียวเท่านั้นที่ขึ้นอยู่กับ (B) ความน่าจะเป็นสามัญแสดงเป็น P(B) หรือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ ในกรณีของเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา มีการนำแนวคิดใหม่มาใช้ - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P A (B) ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นอยู่กับ B ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A (สมมติฐาน) ซึ่งขึ้นอยู่กับ
แต่เหตุการณ์ A ก็เป็นแบบสุ่มเช่นกัน ดังนั้นจึงมีความน่าจะเป็นที่ต้องการและสามารถนำมาพิจารณาในการคำนวณด้วย ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงวิธีการทำงานกับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาและสมมติฐาน
ตัวอย่างการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา
ตัวอย่างที่ดีสำหรับการคำนวณเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาคือสำรับไพ่มาตรฐาน
ใช้สำรับไพ่ 36 ใบเป็นตัวอย่าง มาดูเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพากัน เราจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองที่จั่วมาจากสำรับจะเป็นเพชรหากไพ่ใบแรกที่จั่วคือ:
- บูบโนวายา.
- สีที่แตกต่าง
แน่นอนว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ครั้งที่สองนั้นขึ้นอยู่กับ A ตัวแรก ดังนั้นหากตัวเลือกแรกเป็นจริง มีไพ่น้อยกว่า 1 ใบ (35) และ 1 ไดมอนด์ (8) น้อยกว่าในสำรับ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B:
RA (B) =8/35=0.23
หากตัวเลือกที่สองเป็นจริง แสดงว่าสำรับมีไพ่ 35 ใบ และเพชรจำนวนเต็ม (9) ยังคงอยู่ ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ต่อไปนี้:
RA (B) =9/35=0.26
จะเห็นได้ว่าหากเหตุการณ์ A มีเงื่อนไขว่าไพ่ใบแรกเป็นเพชร ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B จะลดลง และในทางกลับกัน
การคูณเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา
จากบทที่แล้ว เรายอมรับเหตุการณ์แรก (A) ตามความเป็นจริง แต่โดยพื้นฐานแล้ว มันเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นโดยบังเอิญ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือการจั่วเพชรจากสำรับไพ่เท่ากับ:
พี(เอ) = 9/36=1/4
เนื่องจากทฤษฎีนี้ไม่มีอยู่ในตัวของมันเอง แต่มีจุดมุ่งหมายเพื่อใช้ในการปฏิบัติ จึงยุติธรรมที่จะทราบว่าสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุดก็คือความน่าจะเป็นที่จะทำให้เกิดเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพากัน
ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่ขึ้นอยู่กับร่วมกัน A และ B เท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หนึ่งเหตุการณ์ คูณด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B (ขึ้นอยู่กับ A):
P(AB) = P(A) *P A(B)
จากนั้น ในตัวอย่างสำรับ ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่สองใบที่มีชุดเพชรคือ:
9/36*8/35=0.0571 หรือ 5.7%
และความน่าจะเป็นที่จะแยกเพชรไม่ใช่ก่อน แล้วค่อยแยกเพชรก็เท่ากับ:
27/36*9/35=0.19 หรือ 19%
จะเห็นได้ว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นนั้นมีมากกว่าหากจั่วไพ่ใบแรกของไพ่ชุดอื่นที่ไม่ใช่เพชร ผลลัพธ์นี้ค่อนข้างสมเหตุสมผลและเข้าใจได้
ความน่าจะเป็นรวมของเหตุการณ์
เมื่อปัญหาเกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขมีหลายแง่มุม ก็ไม่สามารถคำนวณโดยใช้วิธีทั่วไปได้ เมื่อมีสมมติฐานมากกว่าสองข้อ ได้แก่ A1,A2,…,A n, ..จะเกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์:
- P(A i)>0, i=1,2,…
- A ฉัน ∩ A j =Ø,i≠j
- Σ k A k =Ω
ดังนั้น สูตรสำหรับความน่าจะเป็นรวมของเหตุการณ์ B ที่มีเหตุการณ์สุ่ม A1, A2,..., A n เท่ากับ:
มองไปสู่อนาคต
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มมีความจำเป็นอย่างยิ่งในวิทยาศาสตร์หลายแขนง เช่น เศรษฐมิติ สถิติ ฟิสิกส์ ฯลฯ เนื่องจากกระบวนการบางอย่างไม่สามารถอธิบายได้อย่างกำหนดได้ เนื่องจากกระบวนการเหล่านี้มีความน่าจะเป็นโดยธรรมชาติ จึงจำเป็นต้องใช้วิธีการทำงานพิเศษ ทฤษฎีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สามารถนำมาใช้ในสาขาเทคโนโลยีใดก็ได้เพื่อระบุความเป็นไปได้ที่จะเกิดข้อผิดพลาดหรือการทำงานผิดพลาด
เราสามารถพูดได้ว่าโดยการรับรู้ถึงความน่าจะเป็น เราจะก้าวไปสู่อนาคตทางทฤษฎีในทางใดทางหนึ่ง โดยมองมันผ่านปริซึมของสูตร
เวลาโยนเหรียญก็บอกได้เลยว่าเหรียญหงายหรือหงายขึ้น ความน่าจะเป็น นี่คือ 1/2. แน่นอนว่าไม่ได้หมายความว่าหากโยนเหรียญ 10 ครั้ง เหรียญจะต้องตกหัว 5 ครั้ง ถ้าเหรียญ "ยุติธรรม" และถ้าโยนหลายครั้ง หัวจะตกลงมากครึ่งหนึ่งของเวลา ดังนั้น ความน่าจะเป็นจึงมีอยู่สองประเภท: ทดลอง และ ตามทฤษฎี .
ความน่าจะเป็นเชิงทดลองและเชิงทฤษฎี
ถ้าเราโยนเหรียญหลายๆ ครั้ง เช่น 1,000 ครั้ง และนับจำนวนครั้งที่เหรียญตกหัว เราจะสามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกหัวได้ หากโยนหัว 503 ครั้ง เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่มันจะตกได้:
503/1000 หรือ 0.503
นี้ ทดลอง คำจำกัดความของความน่าจะเป็น คำจำกัดความของความน่าจะเป็นนี้มาจากการสังเกตและการศึกษาข้อมูล ซึ่งค่อนข้างธรรมดาและมีประโยชน์มาก ตัวอย่างเช่น นี่คือความน่าจะเป็นบางส่วนที่ถูกกำหนดโดยการทดลอง:
1. ความน่าจะเป็นที่ผู้หญิงจะเป็นมะเร็งเต้านมคือ 1/11
2. หากคุณจูบคนที่เป็นหวัด ความน่าจะเป็นที่คุณจะเป็นหวัดด้วยคือ 0.07
3. คนที่เพิ่งได้รับการปล่อยตัวออกจากเรือนจำมีโอกาสกลับเข้าเรือนจำถึง 80%
หากเราพิจารณาโยนเหรียญและคำนึงว่าเหรียญจะออกหัวหรือออกก้อยพอๆ กัน เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้หัว: 1/2 นี่คือคำจำกัดความทางทฤษฎีของความน่าจะเป็น ต่อไปนี้เป็นความน่าจะเป็นอื่นๆ ที่ถูกกำหนดในทางทฤษฎีโดยใช้คณิตศาสตร์:
1. ถ้าห้องหนึ่งมีคน 30 คน ความน่าจะเป็นที่คนสองคนมีวันเกิดวันเดียวกัน (ไม่รวมปี) คือ 0.706
2. ระหว่างการเดินทาง คุณพบใครบางคน และในระหว่างการสนทนา คุณพบว่าคุณมีเพื่อนร่วมกัน ปฏิกิริยาทั่วไป: “นี่เป็นไปไม่ได้!” อันที่จริงแล้ว วลีนี้ไม่เหมาะ เนื่องจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวค่อนข้างสูง - เพียงมากกว่า 22%
ดังนั้นความน่าจะเป็นในการทดลองจึงถูกกำหนดโดยการสังเกตและการรวบรวมข้อมูล ความน่าจะเป็นทางทฤษฎีถูกกำหนดโดยใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างของความน่าจะเป็นทางการทดลองและทางทฤษฎี เช่น ที่กล่าวไว้ข้างต้น และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่เราไม่คาดคิด จะนำเราไปสู่ความสำคัญของการศึกษาความน่าจะเป็น คุณอาจถามว่า "ความน่าจะเป็นที่แท้จริงคืออะไร" ในความเป็นจริงไม่มีสิ่งนั้น ความน่าจะเป็นภายในขีดจำกัดที่กำหนดสามารถกำหนดได้จากการทดลอง อาจตรงกับความน่าจะเป็นที่เราได้รับตามทฤษฎีหรือไม่ก็ได้ มีบางสถานการณ์ที่การระบุความน่าจะเป็นประเภทหนึ่งได้ง่ายกว่าประเภทอื่นมาก ตัวอย่างเช่น ก็เพียงพอแล้วที่จะหาความน่าจะเป็นที่จะเป็นหวัดโดยใช้ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี
การคำนวณความน่าจะเป็นเชิงทดลอง
ให้เราพิจารณาคำจำกัดความเชิงทดลองของความน่าจะเป็นก่อน หลักการพื้นฐานที่เราใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นมีดังนี้
หลักการ P (ทดลอง)
ถ้าในการทดลองที่มีการสังเกต n ครั้ง สถานการณ์หรือเหตุการณ์ E เกิดขึ้น m ครั้งในการสังเกต n ครั้ง ความน่าจะเป็นเชิงทดลองของเหตุการณ์ดังกล่าวจะเรียกว่า P (E) = m/n
ตัวอย่างที่ 1 การสำรวจทางสังคมวิทยา ถูกจัดขึ้น การศึกษาทดลองเพื่อกำหนดจำนวนคนถนัดซ้าย คนถนัดขวา และคนที่มีมือทั้งสองข้างเท่ากัน ผลลัพธ์จะแสดงในกราฟ
ก) กำหนดความน่าจะเป็นที่บุคคลนั้นถนัดขวา
b) พิจารณาความน่าจะเป็นที่บุคคลนั้นถนัดซ้าย
c) กำหนดความน่าจะเป็นที่บุคคลหนึ่งจะพูดได้คล่องเท่ากันทั้งสองมือ
d) การแข่งขัน Professional Bowling Association ส่วนใหญ่จำกัดผู้เล่นไว้ที่ 120 คน จากข้อมูลจากการทดลองนี้ มีผู้เล่นที่ถนัดซ้ายได้กี่คน?
สารละลาย
ก) จำนวนคนที่ถนัดขวาคือ 82 คน จำนวนคนที่ถนัดซ้ายคือ 17 คน และจำนวนคนที่ถนัดมือทั้งสองข้างเท่ากันคือ 1 จำนวนการสังเกตทั้งหมดคือ 100 ดังนั้น ความน่าจะเป็น ว่าคนถนัดขวาคือพี
P = 82/100 หรือ 0.82 หรือ 82%
b) ความน่าจะเป็นที่คนถนัดซ้ายคือ P โดยที่
P = 17/100 หรือ 0.17 หรือ 17%
c) ความน่าจะเป็นที่บุคคลจะพูดได้คล่องทั้งสองมือเท่ากันคือ P โดยที่
P = 1/100 หรือ 0.01 หรือ 1%
d) ผู้ขว้าง 120 คน และจาก (b) เราคาดหวังได้ว่า 17% เป็นคนถนัดซ้าย จากที่นี่
17% ของ 120 = 0.17.120 = 20.4,
นั่นคือเราสามารถคาดหวังได้ว่าจะมีผู้เล่นถนัดซ้ายประมาณ 20 คน
ตัวอย่างที่ 2 การควบคุมคุณภาพ
- เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับผู้ผลิตที่จะต้องรักษาคุณภาพของผลิตภัณฑ์ไว้ในระดับสูง ในความเป็นจริง บริษัทต่างๆ จ้างผู้ตรวจสอบการควบคุมคุณภาพเพื่อรับรองกระบวนการนี้ เป้าหมายคือการผลิตผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องให้น้อยที่สุด แต่เนื่องจากบริษัทผลิตสินค้าหลายพันรายการทุกวัน จึงไม่สามารถทดสอบผลิตภัณฑ์ทุกรายการเพื่อดูว่ามีข้อบกพร่องหรือไม่ หากต้องการค้นหาเปอร์เซ็นต์ของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่อง บริษัทจะทดสอบผลิตภัณฑ์น้อยลงมาก
USDA กำหนดให้ 80% ของเมล็ดพันธุ์ที่ผู้ปลูกขายต้องงอก เพื่อกำหนดคุณภาพของเมล็ดพันธุ์ที่บริษัทเกษตรกรรมผลิต จะต้องปลูกเมล็ดพันธุ์ 500 เมล็ดจากเมล็ดพันธุ์ที่ผลิต หลังจากนั้นจึงคำนวณได้ว่ามีเมล็ดงอก 417 เมล็ด
ก) ความน่าจะเป็นที่เมล็ดจะงอกเป็นเท่าใด?
b) เมล็ดพันธุ์เป็นไปตามมาตรฐานของรัฐบาลหรือไม่?
สารละลายก) เรารู้ว่าจากเมล็ดที่ปลูก 500 เมล็ด มีเมล็ดงอก 417 เมล็ด ความน่าจะเป็นของการงอกของเมล็ด P และ
P = 417/500 = 0.834 หรือ 83.4%
b) เนื่องจากเปอร์เซ็นต์ของเมล็ดงอกเกิน 80% ตามที่กำหนด เมล็ดจึงเป็นไปตามมาตรฐานของรัฐบาล
ตัวอย่างที่ 3 เรตติ้งโทรทัศน์. ตามสถิติ มีครัวเรือนที่มีโทรทัศน์จำนวน 105,500,000 ครัวเรือนในสหรัฐอเมริกา ทุกสัปดาห์ข้อมูลเกี่ยวกับการรับชมรายการจะถูกรวบรวมและประมวลผล ในหนึ่งสัปดาห์ มีผู้ชม 7,815,000 ครัวเรือนรับชมซีรีส์ตลกยอดนิยมเรื่อง "Everybody Loves Raymond" ทางช่อง CBS และ 8,302,000 ครัวเรือนได้รับชมซีรีส์ยอดนิยมเรื่อง "Law & Order" ทางช่อง NBC (ที่มา: Nielsen Media Research) ความน่าจะเป็นที่ทีวีของครัวเรือนหนึ่งจะปรับเป็น "Everybody Loves Raymond" ในช่วงสัปดาห์ที่กำหนดเป็นเท่าใด
สารละลายความน่าจะเป็นที่โทรทัศน์ในครัวเรือนหนึ่งจะปรับเป็น "ใครๆ ก็รักเรย์มอนด์" คือ P และ
P = 7,815,000/105,500,000 µ 0.074 µ 7.4%
โอกาสที่ทีวีในครัวเรือนได้รับการปรับเป็น Law & Order คือ P และ
P = 8,302,000/105,500,000 µ 0.079 µ 7.9%
เปอร์เซ็นต์เหล่านี้เรียกว่าการให้คะแนน
ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี
สมมติว่าเรากำลังทำการทดลอง เช่น การขว้างเหรียญหรือปาเป้า การจั่วการ์ดจากสำรับ หรือการตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑ์ในสายการผลิต แต่ละผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดลองดังกล่าวเรียกว่า อพยพ - เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเรียกว่า พื้นที่ผลลัพธ์ . เหตุการณ์ มันเป็นชุดของผลลัพธ์ นั่นคือ เซตย่อยของปริภูมิของผลลัพธ์
ตัวอย่างที่ 4 ขว้างปาเป้า สมมติว่าในการทดลองขว้างปาเป้า ลูกดอกจะโดนเป้าหมาย ค้นหาแต่ละรายการต่อไปนี้:
b) พื้นที่ผลลัพธ์
สารละลาย
a) ผลลัพธ์คือ: กดปุ่มสีดำ (B), กดปุ่มสีแดง (R) และกดปุ่มสีขาว (B)
b) ช่องของผลลัพธ์คือ (ช่องสีดำ ช่องสีแดง ช่องสีขาว) ซึ่งสามารถเขียนง่ายๆ ว่า (H, K, B)
ตัวอย่างที่ 5 การขว้างลูกเต๋า
ลูกเต๋าคือลูกบาศก์ที่มีหกด้าน แต่ละด้านจะมีจุดหนึ่งถึงหกจุดวาดอยู่ 
สมมติว่าเรากำลังขว้างลูกเต๋า หา
ก) ผลลัพธ์
b) พื้นที่ผลลัพธ์
สารละลาย
ก) ผลลัพธ์: 1, 2, 3, 4, 5, 6
b) พื้นที่ผลลัพธ์ (1, 2, 3, 4, 5, 6)
เราแสดงความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ E จะเกิดขึ้นเป็น P(E) ตัวอย่างเช่น “เหรียญจะตกลงบนหัว” สามารถเขียนแทนด้วย H ได้ จากนั้น P(H) แสดงถึงความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกลงบนหัว เมื่อผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดสอบมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นเท่ากัน ก็จะถือว่ามีความน่าจะเป็นเท่ากัน หากต้องการดูความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์ที่มีโอกาสเท่าเทียมกันกับเหตุการณ์ที่ไม่เท่ากัน ให้พิจารณาเป้าหมายที่แสดงด้านล่าง 
สำหรับเป้าหมาย A เหตุการณ์การชนสีดำ แดง และขาวมีความเป็นไปได้พอๆ กัน เนื่องจากส่วนสีดำ แดง และขาวเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม สำหรับเป้าหมาย B โซนที่มีสีเหล่านี้ไม่เหมือนกัน กล่าวคือ การชนนั้นมีโอกาสไม่เท่ากัน
หลักการ P (เชิงทฤษฎี)
ถ้าเหตุการณ์ E สามารถเกิดขึ้นได้เป็น m จาก n ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันจากสเปซผลลัพธ์ S แล้ว ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี
เหตุการณ์ P(E) คือ
P(E) = ม/n
ตัวอย่างที่ 6ความน่าจะเป็นที่จะทอยลูกเต๋าได้ 3 เป็นเท่าไหร่?
สารละลายบน ลูกเต๋ามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้พอๆ กัน 6 รายการ และมีความเป็นไปได้เพียงทางเดียวที่จะโยนเลข 3 ทิ้งไป ความน่าจะเป็น P จะเป็น P(3) = 1/6
ตัวอย่างที่ 7ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลขคู่บนลูกเต๋าเป็นเท่าไหร่?
สารละลายเหตุการณ์คือการขว้างเลขคู่ สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ 3 วิธี (หากคุณหมุน 2, 4 หรือ 6) จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันคือ 6 จากนั้นความน่าจะเป็น P(คู่) = 3/6 หรือ 1/2
เราจะใช้ตัวอย่างจำนวนหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบ สำรับนี้ประกอบด้วยไพ่ที่แสดงในรูปด้านล่าง 
ตัวอย่างที่ 8ความน่าจะเป็นในการจั่วไพ่เอซจากสำรับไพ่ที่สับอย่างดีคือเท่าไร?
สารละลายมีผลลัพธ์ 52 แบบ (จำนวนไพ่ในสำรับ) มีโอกาสเท่ากัน (ถ้าสับสำรับดี) และมีวิธีจั่วเอซได้ 4 วิธี ดังนั้นตามหลักการ P ความน่าจะเป็น
P(จั่วเอซ) = 4/52 หรือ 1/13
ตัวอย่างที่ 9สมมติว่าเราเลือกลูกบอลหนึ่งลูกจากถุงที่มีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและสีเขียว 4 ลูกโดยไม่มอง ความน่าจะเป็นที่จะเลือกลูกบอลสีแดงคือเท่าไร?
สารละลายมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้พอๆ กัน 7 แบบในการจั่วลูกบอล และเนื่องจากจำนวนวิธีในการจับลูกบอลสีแดงคือ 3 เราจึงได้
P(การเลือกลูกบอลสีแดง) = 3/7
ข้อความต่อไปนี้เป็นผลจากหลักการ P
คุณสมบัติของความน่าจะเป็น
ก) ถ้าเหตุการณ์ E ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ดังนั้น P(E) = 0
b) ถ้าเหตุการณ์ E เกิดขึ้นแน่นอน ดังนั้น P(E) = 1
c) ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ E จะเกิดขึ้นคือตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1
ตัวอย่างเช่น ในการโยนเหรียญ เหตุการณ์ที่เหรียญตกขอบนั้นมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวหรือก้อยมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 1
ตัวอย่างที่ 10สมมุติว่าจั่วไพ่ 2 ใบจากสำรับไพ่ 52 ใบ ความน่าจะเป็นที่ทั้งคู่จะถึงจุดสูงสุดเป็นเท่าใด?
สารละลายจำนวนวิธีจั่วไพ่ 2 ใบจากสำรับไพ่ 52 ใบที่สับอย่างดีคือ 52 C 2 เนื่องจากไพ่ 13 ใบจากทั้งหมด 52 ใบเป็นโพดำ จำนวนวิธีที่ m จะจั่วไพ่ 2 โพดำคือ 13 C 2 แล้ว,
P(ดึง 2 ยอด)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17
ตัวอย่างที่ 11สมมติว่าสุ่มเลือกคน 3 คนจากกลุ่มชาย 6 คนและหญิง 4 คน ความน่าจะเป็นที่จะเลือกผู้ชาย 1 คน และผู้หญิง 2 คน เป็นเท่าไหร่?
สารละลายจำนวนวิธีเลือกสามคนจากกลุ่ม 10 คนคือ 10 C 3 ผู้ชายหนึ่งคนสามารถเลือกได้ 6 C 1 วิธี และผู้หญิง 2 คนสามารถเลือกได้ 4 C 2 วิธี ตามหลักการพื้นฐานของการนับ จำนวนวิธีเลือกชาย 1 คนและหญิง 2 คนคือ 6 C 1 4 ซี 2 . จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะเลือกผู้ชาย 1 คน และผู้หญิง 2 คน คือ
ป = 6 ค 1 . 4 ค 2 / 10 ค 3 = 3/10
ตัวอย่างที่ 12 การขว้างลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่จะทอยลูกเต๋าสองลูกได้แต้มรวม 8 แต้มเป็นเท่าใด?
สารละลายลูกเต๋าแต่ละลูกมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 แบบ ผลลัพธ์จะเพิ่มเป็นสองเท่า ซึ่งหมายความว่ามี 6.6 หรือ 36 วิธีที่เป็นไปได้ที่ตัวเลขบนลูกเต๋าสองลูกจะปรากฏ (จะดีกว่าถ้าลูกบาศก์แตกต่างกัน สมมติว่าอันหนึ่งเป็นสีแดงและอีกอันเป็นสีน้ำเงิน ซึ่งจะช่วยให้เห็นภาพผลลัพธ์) 
คู่ตัวเลขที่รวมกันได้ 8 จะแสดงในรูปด้านล่าง มี 5 วิธีที่เป็นไปได้ในการหาผลรวมเท่ากับ 8 ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 5/36
ความน่าจะเป็นคืออะไร?
เจอคำนี้ครั้งแรกก็ไม่เข้าใจว่ามันคืออะไร ดังนั้นผมจะพยายามอธิบายให้ชัดเจน
ความน่าจะเป็นคือโอกาสที่เหตุการณ์ที่เราอยากให้เกิดขึ้น
ตัวอย่างเช่น คุณตัดสินใจไปบ้านเพื่อน คุณจำทางเข้าและแม้แต่ชั้นที่เขาอาศัยอยู่ได้ แต่ฉันลืมหมายเลขและที่ตั้งของอพาร์ตเมนต์ และตอนนี้คุณกำลังยืนอยู่บนบันได และตรงหน้าคุณมีประตูให้เลือก
โอกาส (ความน่าจะเป็น) ที่ถ้าคุณกดกริ่งประตูอันแรกเพื่อนของคุณจะตอบประตูให้คุณคืออะไร? มีเพียงอพาร์ตเมนต์เท่านั้นและเพื่อนคนหนึ่งอาศัยอยู่ด้านหลังเพียงห้องเดียวเท่านั้น ด้วยโอกาสที่เท่าเทียมกันเราสามารถเลือกประตูใดก็ได้
แต่โอกาสนี้คืออะไร?
ประตู ประตูขวา. ความน่าจะเป็นในการทายผลจากการกดกริ่งประตูอันแรก: . นั่นคือหนึ่งในสามที่คุณจะเดาได้อย่างแม่นยำ
เราอยากรู้ว่าโทรไปครั้งเดียวจะเดาประตูได้บ่อยแค่ไหน? ลองดูตัวเลือกทั้งหมด:
- คุณโทรมา ที่ 1ประตู
- คุณโทรมา 2ประตู
- คุณโทรมา 3ประตู
ตอนนี้เรามาดูตัวเลือกทั้งหมดที่เพื่อนอาจเป็นได้:
ก. สำหรับ ที่ 1ประตู
ข. สำหรับ 2ประตู
วี. สำหรับ 3ประตู
ลองเปรียบเทียบตัวเลือกทั้งหมดในรูปแบบตาราง เครื่องหมายถูกระบุตัวเลือกต่างๆ เมื่อตัวเลือกของคุณตรงกับตำแหน่งของเพื่อน เครื่องหมายกากบาท - เมื่อไม่ตรงกัน
เป็นยังไงบ้างคะ มองเห็นทุกอย่าง. อาจจะ ตัวเลือกตำแหน่งของเพื่อนของคุณและการเลือกว่าจะให้เสียงเรียกเข้าประตูไหน
ก ผลลัพธ์อันดีทั้งสิ้น . นั่นคือคุณจะเดาได้หนึ่งครั้งโดยกดกริ่งประตูหนึ่งครั้งนั่นคือ -
นี่คือความน่าจะเป็น - อัตราส่วนของผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ (เมื่อตัวเลือกของคุณตรงกับตำแหน่งของเพื่อนของคุณ) ต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้
คำจำกัดความคือสูตร ความน่าจะเป็นมักจะแสดงด้วย p ดังนั้น:
การเขียนสูตรดังกล่าวไม่สะดวกนัก ดังนั้นเราจึงใช้ - จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ และ - จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด
ความน่าจะเป็นสามารถเขียนเป็นเปอร์เซ็นต์ได้ คุณต้องคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วย:
คำว่า "ผลลัพธ์" อาจดึงดูดสายตาคุณ เนื่องจากนักคณิตศาสตร์เรียกการกระทำต่างๆ (ในกรณีของเรา การกระทำดังกล่าวคือกริ่งประตู) การทดลอง ผลลัพธ์ของการทดลองดังกล่าวจึงมักเรียกว่าผลลัพธ์
มีทั้งผลดีและผลเสีย
กลับไปที่ตัวอย่างของเรากัน สมมติว่าเราส่งเสียงประตูบานหนึ่ง แต่มันเปิดให้เรา คนแปลกหน้า- เราคาดเดาไม่ถูก ความน่าจะเป็นที่ถ้าเรากดกริ่งประตูที่เหลืออีกบานหนึ่ง เพื่อนของเราก็จะเปิดประตูให้เราเป็นเท่าไร?
หากคุณคิดอย่างนั้นแสดงว่านี่คือความผิดพลาด ลองคิดดูสิ
เรามีประตูเหลืออยู่สองประตู ดังนั้นเราจึงมีขั้นตอนที่เป็นไปได้:
1) โทร ที่ 1ประตู
2) โทร 2ประตู
แม้จะทั้งหมดนี้ เพื่อนคนนี้ก็อยู่ข้างหลังหนึ่งในนั้นอย่างแน่นอน (ท้ายที่สุดแล้ว เขาไม่ได้อยู่ข้างหลังคนที่เราโทรหา):
ก) เพื่อนสำหรับ ที่ 1ประตู
b) เพื่อนสำหรับ 2ประตู
มาวาดตารางอีกครั้ง:
อย่างที่คุณเห็นมีเพียงตัวเลือกเท่านั้นที่เป็นประโยชน์ นั่นคือความน่าจะเป็นเท่ากัน
ทำไมไม่?
สถานการณ์ที่เราพิจารณาคือ ตัวอย่างของเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาเหตุการณ์แรกคือกริ่งประตูอันแรก เหตุการณ์ที่สองคือกริ่งประตูที่สอง
และพวกมันถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับเพราะมันมีอิทธิพลต่อการกระทำต่อไปนี้ ท้ายที่สุดแล้ว หากเพื่อนตอบรับกริ่งประตูแรกหลังจากกดกริ่งครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่เขาจะตามหลังอีกคนหนึ่งจากอีกสองคนที่เหลือจะเป็นเท่าใด ขวา, .
แต่หากมีเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาก็ต้องมีเช่นกัน เป็นอิสระ- ถูกต้อง พวกมันเกิดขึ้น
ตัวอย่างหนังสือเรียนคือการโยนเหรียญ
- โยนเหรียญหนึ่งครั้ง เช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวเป็นเท่าใด? ถูกต้อง - เนื่องจากมีตัวเลือกทั้งหมด (ไม่ว่าจะหัวหรือก้อยเราจะละเลยความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกที่ขอบ) แต่มันเหมาะกับเราเท่านั้น
- แต่มันก็ขึ้นมาในหัว โอเค เรามาโยนมันอีกครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวตอนนี้เป็นเท่าไหร่? ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ทุกอย่างยังเหมือนเดิม มีกี่ตัวเลือก? สอง. เรามีความสุขมากแค่ไหน? หนึ่ง.
และปล่อยให้มันขึ้นหัวอย่างน้อยพันครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวในครั้งเดียวจะเท่ากัน มีตัวเลือกอยู่เสมอและตัวเลือกที่ดี
มันง่ายที่จะแยกแยะเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาจากเหตุการณ์อิสระ:
- หากทำการทดลองเพียงครั้งเดียว (โยนเหรียญหนึ่งครั้ง กดกริ่งประตูหนึ่งครั้ง ฯลฯ) เหตุการณ์ต่างๆ จะเป็นอิสระจากกันเสมอ
- หากทำการทดลองหลายครั้ง (โยนเหรียญหนึ่งครั้ง กริ่งประตูดังหลายครั้ง) เหตุการณ์แรกจะเป็นอิสระจากกันเสมอ จากนั้น ถ้าจำนวนผลที่ได้เปรียบหรือจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดเปลี่ยนแปลง เหตุการณ์ต่างๆ จะขึ้นอยู่กับ และถ้าไม่ มันก็จะเป็นอิสระกัน
มาฝึกกำหนดความน่าจะเป็นกันสักหน่อย
ตัวอย่างที่ 1
มีการโยนเหรียญสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกันคือเท่าไร?
สารละลาย:
พิจารณาตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด:
- อินทรีอินทรี
- หัว-ก้อย
- ก้อย-หัว
- ก้อยก้อย
อย่างที่คุณเห็นมีเพียงตัวเลือกเท่านั้น เท่านี้เราก็พอใจแล้ว นั่นคือความน่าจะเป็น:
หากเงื่อนไขขอให้ค้นหาความน่าจะเป็น ก็ควรให้คำตอบอยู่ในแบบฟอร์ม ทศนิยม- หากระบุว่าควรให้คำตอบเป็นเปอร์เซ็นต์ เราก็จะคูณด้วย
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 2
ในกล่องช็อคโกแลต ช็อคโกแลตทั้งหมดจะถูกบรรจุในกระดาษห่อเดียวกัน อย่างไรก็ตามจากของหวาน - กับถั่ว, กับคอนญัก, กับเชอร์รี่, ด้วยคาราเมลและกับตังเม
ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกกวาดหนึ่งลูกแล้วได้ลูกกวาดที่มีถั่วเป็นเท่าไหร่? ให้คำตอบของคุณเป็นเปอร์เซ็นต์
สารละลาย:
มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้กี่แบบ? -
นั่นคือถ้าคุณหยิบขนมมาหนึ่งชิ้น มันจะเป็นหนึ่งในขนมที่มีอยู่ในกล่อง
มีผลดีกี่ประการ?
เพราะในกล่องมีเพียงช็อคโกแลตที่มีถั่วเท่านั้น
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 3
ในกล่องลูกโป่ง ซึ่งมีสีขาวและดำ
- ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวเป็นเท่าไร?
- เราเพิ่มลูกบอลสีดำเข้าไปในกล่อง ตอนนี้ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวเป็นเท่าใด?
สารละลาย:
ก) ในกล่องมีเพียงลูกบอลเท่านั้น ในจำนวนนี้มีสีขาว
ความน่าจะเป็นคือ:
b) ตอนนี้มีลูกมากขึ้นในกล่อง และยังมีคนผิวขาวเหลืออยู่อีกมาก - .
คำตอบ:
ความน่าจะเป็นทั้งหมด
| ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับ () |
สมมติว่ามีลูกบอลสีแดงและเขียวอยู่ในกล่อง ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดงเป็นเท่าไร? ลูกบอลสีเขียว? ลูกบอลสีแดงหรือสีเขียว?
ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดง
ลูกบอลสีเขียว:
ลูกบอลสีแดงหรือสีเขียว:
อย่างที่คุณเห็น ผลรวมของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับ () การเข้าใจประเด็นนี้จะช่วยคุณแก้ปัญหาต่างๆ ได้มากมาย
ตัวอย่างที่ 4
ในกล่องมีเครื่องหมาย: เขียว แดง น้ำเงิน เหลือง ดำ
ความน่าจะเป็นที่จะวาดไม่ใช่เครื่องหมายสีแดงเป็นเท่าใด
สารละลาย:
มานับเลขกัน ผลลัพธ์ที่ดี
ไม่ใช่เครื่องหมายสีแดง นั่นหมายถึงสีเขียว น้ำเงิน เหลือง หรือดำ
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมด และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราพิจารณาว่าไม่น่าพอใจ (เมื่อเราเอาเครื่องหมายสีแดงออก) คือ
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะดึงปากกาสักหลาดที่ไม่ใช่สีแดงออกมาคือ
คำตอบ:
| ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นเท่ากับลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น |
กฎสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ
คุณรู้อยู่แล้วว่ากิจกรรมอิสระคืออะไร
จะเป็นอย่างไรถ้าคุณต้องการค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ (หรือมากกว่า) จะเกิดขึ้นติดต่อกัน?
สมมติว่าเราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่ถ้าเราโยนเหรียญหนึ่งครั้งเราจะเห็นหัวสองครั้งเป็นเท่าใด?
เราได้พิจารณาแล้ว - .
จะเป็นอย่างไรถ้าเราโยนเหรียญหนึ่งครั้ง? ความน่าจะเป็นที่จะเห็นนกอินทรี 2 ครั้งติดต่อกันเป็นเท่าใด?
ตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด:
- อินทรีอินทรีอินทรี
- หัว-หัว-ก้อย
- หัวก้อยหัว
- หัว-ก้อย-ก้อย
- ก้อยหัวหัว
- ก้อยหัวก้อย
- ก้อยก้อยหัว
- หางหางหาง
ฉันไม่รู้เกี่ยวกับคุณ แต่ฉันทำผิดพลาดหลายครั้งเมื่อรวบรวมรายการนี้ ว้าว! และมีเพียงตัวเลือก (แรก) เท่านั้นที่เหมาะกับเรา
สำหรับการโยน 5 ครั้ง คุณสามารถจัดทำรายการผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ด้วยตัวเอง แต่นักคณิตศาสตร์ไม่ได้ทำงานหนักเท่าคุณ
ดังนั้น พวกเขาสังเกตเห็นเป็นครั้งแรกและพิสูจน์ว่าความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์อิสระบางลำดับลดลงในแต่ละครั้งด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งเหตุการณ์
กล่าวอีกนัยหนึ่ง
เรามาดูตัวอย่างเหรียญอาถรรพ์เดียวกันกัน
ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวในการท้าทาย? - ตอนนี้เราพลิกเหรียญหนึ่งครั้ง
ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวติดต่อกันเป็นเท่าใด?
กฎนี้ใช้ไม่ได้ผลเฉพาะเมื่อเราถูกขอให้ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์เดียวกันจะเกิดขึ้นหลายครั้งติดต่อกัน
หากเราต้องการค้นหาลำดับ TAILS-HEADS-TAILS สำหรับการทอยติดต่อกัน เราจะทำเช่นเดียวกัน
ความน่าจะเป็นที่จะได้ก้อยคือ , หัว -
ความน่าจะเป็นที่จะได้ลำดับ TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:
คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยตัวเองโดยทำตาราง
กฎสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้
ดังนั้นหยุด! นิยามใหม่
ลองคิดดูสิ เอาเหรียญที่หมดสภาพของเรามาโยนมันครั้งเดียวกัน
ตัวเลือกที่เป็นไปได้:
- อินทรีอินทรีอินทรี
- หัว-หัว-ก้อย
- หัวก้อยหัว
- หัว-ก้อย-ก้อย
- ก้อยหัวหัว
- ก้อยหัวก้อย
- ก้อยก้อยหัว
- หางหางหาง
ดังนั้นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จึงเป็นเหตุการณ์ที่แน่นอนโดยพิจารณาจากลำดับของเหตุการณ์ - สิ่งเหล่านี้เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้
หากเราต้องการพิจารณาว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ (หรือมากกว่า) คืออะไร เราจะเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้
คุณต้องเข้าใจว่าหัวหรือก้อยเป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เป็นอิสระจากกัน
ถ้าเราต้องการหาความน่าจะเป็นของลำดับ (หรืออื่นๆ) ที่เกิดขึ้น เราจะใช้กฎของการคูณความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวในการทอยครั้งแรก และก้อยในการทอยครั้งที่สองและครั้งที่สามเป็นเท่าใด?
แต่ถ้าเราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ลำดับใดลำดับหนึ่งจากหลายๆ ลำดับเป็นเท่าใด เช่น เมื่อหัวขึ้นมาเพียงครั้งเดียว นั่นคือ ตัวเลือกต่างๆ แล้วเราต้องบวกความน่าจะเป็นของลำดับเหล่านี้
ตัวเลือกทั้งหมดเหมาะกับเรา
เราสามารถได้รับสิ่งเดียวกันโดยการเพิ่มความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของแต่ละลำดับ:
ดังนั้นเราจึงเพิ่มความน่าจะเป็นเมื่อเราต้องการกำหนดความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์บางอย่างที่ไม่สอดคล้องกัน
มีกฎที่ดีที่จะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงความสับสนว่าเมื่อใดควรคูณและเมื่อใดควรบวก:
กลับไปที่ตัวอย่างที่เราโยนเหรียญหนึ่งครั้งและต้องการทราบความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหนึ่งครั้ง
จะเกิดอะไรขึ้น?
ควรหลุดออกไป:
(หัวและก้อยและก้อย) หรือ (ก้อยและหัวและก้อย) หรือ (ก้อยและก้อยและหัว)
ปรากฎดังนี้:
ลองดูตัวอย่างบางส่วน
ตัวอย่างที่ 5
มีดินสออยู่ในกล่อง สีแดง สีเขียว สีส้ม และสีเหลืองและสีดำ ความน่าจะเป็นที่จะวาดดินสอสีแดงหรือสีเขียวเป็นเท่าใด
สารละลาย:
จะเกิดอะไรขึ้น? เราต้องดึง (แดงหรือเขียว)
ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนแล้ว มาเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้กันดีกว่า:
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 6
ถ้าโยนลูกเต๋า 2 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มทั้งหมด 8 แต้มเป็นเท่าใด
สารละลาย.
เราจะได้คะแนนได้อย่างไร?
(และ) หรือ (และ) หรือ (และ) หรือ (และ) หรือ (และ)
ความน่าจะเป็นที่จะได้หนึ่ง (หน้าใดก็ได้) คือ
เราคำนวณความน่าจะเป็น:
คำตอบ:
การฝึกอบรม.
ฉันคิดว่าตอนนี้คุณเข้าใจแล้วเมื่อคุณต้องคำนวณความน่าจะเป็น เมื่อใดควรบวก และเมื่อใดควรคูณ ไม่ใช่เหรอ? มาฝึกกันหน่อย
งาน:
เรามาเล่นสำรับไพ่ที่มีไพ่ต่างๆ ซึ่งประกอบด้วย โพดำ หัวใจ 13 ดอก และเพชร 13 ดอก จากไปจนถึงเอซของแต่ละชุด
- ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไม้กอล์ฟติดต่อกันเป็นเท่าไร (เรานำไพ่ใบแรกที่ดึงออกมากลับเข้าไปในสำรับแล้วสับไพ่)?
- ความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่สีดำ (โพดำหรือไม้กอล์ฟ) คือเท่าไร?
- ความน่าจะเป็นในการวาดภาพ (แจ็ค ควีน คิง หรือเอซ) เป็นเท่าใด?
- ความน่าจะเป็นที่จะวาดภาพสองภาพติดต่อกันคือเท่าไร (เราเอาไพ่ใบแรกที่จั่วออกจากสำรับ)?
- ความน่าจะเป็นที่จะหยิบไพ่สองใบเพื่อรวบรวมไพ่ผสมกัน (แจ็ค ควีน หรือคิง) และเอซคืออะไร?
คำตอบ:
- ในสำรับไพ่แต่ละใบจะหมายถึง:
- เหตุการณ์จะขึ้นอยู่กับ เนื่องจากหลังจากดึงไพ่ใบแรกออกมา จำนวนไพ่ในสำรับก็ลดลง (เช่นเดียวกับจำนวน "รูปภาพ") ในตอนแรกมีแจ็ค ควีน คิง และเอซรวมอยู่ ซึ่งหมายถึงความน่าจะเป็นที่จะจั่ว “รูปภาพ” ด้วยไพ่ใบแรก:
เนื่องจากเรานำไพ่ใบแรกออกจากสำรับ นั่นหมายความว่ามีไพ่เหลืออยู่ในสำรับอยู่แล้ว รวมทั้งรูปภาพด้วย ความน่าจะเป็นในการวาดภาพด้วยไพ่ใบที่สอง:
เนื่องจากเราสนใจในสถานการณ์เมื่อเรานำ "รูปภาพ" และ "รูปภาพ" ออกจากสำรับ เราจึงต้องคูณความน่าจะเป็น:
คำตอบ:
- หลังจากที่ดึงไพ่ใบแรกออกมา จำนวนไพ่ในสำรับจะลดลง ดังนั้นเราจึงมีสองทางเลือก:
1) ไพ่ใบแรกคือเอซ ไพ่ใบที่สองคือแจ็ค ควีน หรือคิง
2) เรานำแจ็ค ควีน หรือคิงออกมาด้วยไพ่ใบแรก และเอซด้วยไพ่ใบที่สอง (เอซ และ (แจ็ค หรือ ควีน หรือ คิง)) หรือ ((แจ็ค หรือ ควีน หรือ คิง) และ เอซ) อย่าลืมลดจำนวนไพ่ในสำรับด้วยล่ะ!
หากคุณสามารถแก้ไขปัญหาทั้งหมดได้ด้วยตัวเอง แสดงว่าคุณเยี่ยมมาก! ตอนนี้คุณจะถอดรหัสปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นในการสอบ Unified State อย่างถั่ว!
ทฤษฎีความน่าจะเป็น ระดับกลาง
ลองดูตัวอย่าง สมมติว่าเราโยนลูกเต๋า นี่มันกระดูกอะไรรู้มั้ย? นี่คือสิ่งที่พวกเขาเรียกว่าลูกบาศก์ที่มีตัวเลขอยู่บนใบหน้า มีกี่หน้า กี่เลข จากไปกี่หน้า? ถึง.
ดังนั้นเราจึงทอยลูกเต๋าและเราต้องการให้มันขึ้นมาหรือ และเราได้รับมัน
ตามทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาบอกว่าเกิดอะไรขึ้น เหตุการณ์อันเป็นมงคล(อย่าสับสนกับความเจริญ)
หากเกิดขึ้นเหตุการณ์นั้นก็จะเป็นผลดีเช่นกัน โดยรวมแล้วมีเพียงสองเหตุการณ์ที่ดีเท่านั้นที่สามารถเกิดขึ้นได้
มีกี่อันที่ไม่เอื้ออำนวย? เนื่องจากมีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด หมายความว่าเหตุการณ์ที่ไม่เอื้ออำนวยนั้นเป็นเหตุการณ์ (นี่คือถ้าหรือหลุดออกไป)
คำนิยาม:
ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่น่าพึงพอใจต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด- นั่นคือความน่าจะเป็นแสดงให้เห็นว่าสัดส่วนของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นที่น่าพอใจ
ความน่าจะเป็นแสดงด้วยตัวอักษรละติน (เห็นได้ชัดว่ามาจากคำภาษาอังกฤษ ความน่าจะเป็น - ความน่าจะเป็น)
เป็นเรื่องปกติที่จะวัดความน่าจะเป็นเป็นเปอร์เซ็นต์ (ดูหัวข้อและ) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ต้องคูณค่าความน่าจะเป็นด้วย ในตัวอย่างด้วย ลูกเต๋าความน่าจะเป็น
และเป็นเปอร์เซ็นต์: .
ตัวอย่าง (ตัดสินใจด้วยตัวเอง):
- ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวเมื่อโยนเหรียญเป็นเท่าไหร่? ความน่าจะเป็นที่จะลงจอดเป็นเท่าใด?
- ความน่าจะเป็นที่จะได้เลขคู่เมื่อขว้างลูกเต๋าคือเท่าไร? และอันไหนแปลก?
- ในกล่องดินสอสีน้ำเงินและสีแดงที่เรียบง่าย เราสุ่มวาดดินสอหนึ่งอัน ความน่าจะเป็นที่จะได้อันง่าย ๆ เป็นเท่าไหร่?
โซลูชั่น:
- มีกี่ตัวเลือก? หัวและก้อย - แค่สองอัน มีกี่อันที่ดี? มีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่เป็นนกอินทรี ดังนั้นความน่าจะเป็น
เช่นเดียวกับก้อย: .
- ตัวเลือกทั้งหมด: (ลูกบาศก์มีกี่ด้าน, มีหลายด้าน ตัวเลือกต่างๆ- สิ่งที่ชอบ: (นี่คือเลขคู่ทั้งหมด :)
ความน่าจะเป็น แน่นอนว่ามันเหมือนกันกับเลขคี่ - ทั้งหมด: . ดี: . ความน่าจะเป็น: .
ความน่าจะเป็นทั้งหมด
ดินสอทั้งหมดในกล่องเป็นสีเขียว ความน่าจะเป็นที่จะวาดดินสอสีแดงเป็นเท่าใด? ไม่มีโอกาส: ความน่าจะเป็น (ท้ายที่สุดแล้ว เหตุการณ์ที่ดี -)
เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าเป็นไปไม่ได้
ความน่าจะเป็นที่จะวาดดินสอสีเขียวเป็นเท่าใด? มีเหตุการณ์ที่เป็นที่ชื่นชอบจำนวนเท่ากันทุกประการกับจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด (เหตุการณ์ที่เป็นที่ชื่นชอบทั้งหมด) ความน่าจะเป็นจึงเท่ากับหรือ
เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าเชื่อถือได้
ถ้ากล่องมีดินสอสีเขียวและสีแดง ความน่าจะเป็นที่จะวาดสีเขียวหรือสีแดงเป็นเท่าใด อีกครั้ง. โปรดทราบว่า: ความน่าจะเป็นที่จะดึงสีเขียวออกมามีค่าเท่ากัน และสีแดงมีค่าเท่ากัน
โดยรวมแล้ว ความน่าจะเป็นเหล่านี้เท่ากันทุกประการ นั่นคือ ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับหรือ
ตัวอย่าง:
ในกล่องดินสอมีสีฟ้า แดง เขียว ธรรมดา เหลือง และที่เหลือเป็นสีส้ม ความน่าจะเป็นที่ไม่วาดสีเขียวเป็นเท่าใด?
สารละลาย:
เราจำได้ว่าความน่าจะเป็นทั้งหมดเพิ่มขึ้น และความน่าจะเป็นที่จะได้สีเขียวก็เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะไม่วาดสีเขียวจะเท่ากัน
จำเคล็ดลับนี้:ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นเท่ากับลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น
เหตุการณ์อิสระและกฎการคูณ
คุณพลิกเหรียญหนึ่งครั้งและต้องการให้มันขึ้นหัวทั้งสองครั้ง ความน่าจะเป็นของสิ่งนี้คืออะไร?
มาดูตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้วพิจารณาว่ามีกี่ตัวเลือก:
หัว-หัว, ก้อย-หัว, หัว-ก้อย, ก้อย-ก้อย. อะไรอีก?
ตัวเลือกทั้งหมด ในจำนวนนี้มีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่เหมาะกับเรา: Eagle-Eagle โดยรวมแล้วมีความน่าจะเป็นเท่ากัน
ดี. ทีนี้ลองพลิกเหรียญสักครั้ง ทำคณิตศาสตร์ด้วยตัวเอง มันได้ผลเหรอ? (คำตอบ).
คุณอาจสังเกตเห็นว่าการเพิ่มการโยนครั้งต่อๆ ไป ความน่าจะเป็นลดลงครึ่งหนึ่ง กฎทั่วไปเรียกว่า กฎการคูณ:
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระจะเปลี่ยนไป
กิจกรรมอิสระคืออะไร? ทุกอย่างมีเหตุผล: สิ่งเหล่านี้ไม่ขึ้นอยู่กับกันและกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อเราโยนเหรียญหลายครั้ง แต่ละครั้งที่มีการโยนครั้งใหม่ ผลลัพธ์ที่ได้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการโยนครั้งก่อนทั้งหมด เราสามารถโยนเหรียญสองเหรียญในเวลาเดียวกันได้อย่างง่ายดาย
ตัวอย่างเพิ่มเติม:
- ลูกเต๋าจะถูกโยนสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นมาทั้งสองครั้งเป็นเท่าไหร่?
- มีการโยนเหรียญหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวครั้งแรก แล้วก้อยสองครั้งเป็นเท่าใด?
- ผู้เล่นทอยลูกเต๋าสองลูก ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากันคือเท่าไร?
คำตอบ:
- เหตุการณ์มีความเป็นอิสระ ซึ่งหมายความว่ากฎการคูณจะทำงาน:
- ความน่าจะเป็นของหัวจะเท่ากัน ความน่าจะเป็นของก้อยก็เหมือนกัน คูณ:
- 12 สามารถรับได้ก็ต่อเมื่อมีการทอยสอง -ki:
เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และกฎการเพิ่ม
เหตุการณ์ที่เสริมซึ่งกันและกันจนมีความน่าจะเป็นเต็มที่เรียกว่าเข้ากันไม่ได้ ตามชื่อมันไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ เช่น ถ้าเราโยนเหรียญ มันจะขึ้นหัวหรือก้อยก็ได้
ตัวอย่าง.
ในกล่องดินสอมีสีฟ้า แดง เขียว ธรรมดา เหลือง และที่เหลือเป็นสีส้ม ความน่าจะเป็นที่จะวาดสีเขียวหรือสีแดงเป็นเท่าใด?
สารละลาย .
ความน่าจะเป็นที่จะวาดดินสอสีเขียวมีค่าเท่ากัน สีแดง - .
เหตุการณ์ที่ดีทั้งหมด: เขียว + แดง ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะวาดสีเขียวหรือสีแดงมีค่าเท่ากัน
ความน่าจะเป็นแบบเดียวกันสามารถแสดงได้ในรูปแบบนี้:
นี่คือกฎการเพิ่ม:ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเพิ่มขึ้น
ปัญหาประเภทผสม
ตัวอย่าง.
มีการโยนเหรียญสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการทอยจะแตกต่างออกไปคือเท่าไร?
สารละลาย .
ซึ่งหมายความว่าหากผลลัพธ์แรกเป็นหัว ผลที่สองจะต้องเป็นก้อย และในทางกลับกัน ปรากฎว่ามีเหตุการณ์อิสระสองคู่และคู่เหล่านี้เข้ากันไม่ได้ วิธีที่จะไม่สับสนว่าจะคูณตรงไหนและจะเพิ่มตรงไหน
มีกฎง่ายๆ สำหรับสถานการณ์ดังกล่าว พยายามอธิบายว่าจะเกิดอะไรขึ้นโดยใช้คำสันธาน “AND” หรือ “OR” ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้:
มันควรจะขึ้นมา (หัวและก้อย) หรือ (ก้อยและหัว)
เมื่อมีคำเชื่อม “และ” ก็จะมีการคูณ และเมื่อมี “หรือ” ก็จะต้องมีการบวกดังนี้
ลองด้วยตัวคุณเอง:
- ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญ 2 ครั้ง เหรียญจะตกด้านเดียวกันทั้ง 2 ครั้งเป็นเท่าไร?
- ลูกเต๋าจะถูกโยนสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนรวมเป็นเท่าใด?
โซลูชั่น:
- (หัวล้มหางตก) หรือ (หางล้มหางตก): .
- มีตัวเลือกอะไรบ้าง? และ. แล้ว:
ลดลง (และ) หรือ (และ) หรือ (และ):
อีกตัวอย่างหนึ่ง:
โยนเหรียญหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏอย่างน้อยหนึ่งครั้งเป็นเท่าใด?
สารละลาย:
โอ้ ฉันไม่อยากผ่านตัวเลือกเหล่านี้เลย... หัว-ก้อย-ก้อย อินทรีหัว-ก้อย... แต่ก็ไม่จำเป็น! จำเกี่ยวกับความน่าจะเป็นทั้งหมดกัน คุณจำได้ไหม? ความน่าจะเป็นที่นกอินทรีคืออะไร จะไม่หลุดออกไป- ง่ายมาก: หัวจะลอยอยู่ตลอดเวลานั่นคือสาเหตุ
ทฤษฎีความน่าจะเป็น สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ
ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่น่าพึงพอใจต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
เหตุการณ์อิสระ
สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่ได้เปลี่ยนความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้น
ความน่าจะเป็นทั้งหมด
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับ ()
ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นเท่ากับลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น
กฎสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ
ความน่าจะเป็นของลำดับหนึ่งของเหตุการณ์อิสระจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์
เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้
เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้คือเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันอันเป็นผลมาจากการทดสอบ เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จำนวนหนึ่งจะรวมตัวกันเป็นกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเพิ่มขึ้น
เมื่ออธิบายสิ่งที่จะเกิดขึ้นโดยใช้คำเชื่อม "AND" หรือ "OR" เราใส่เครื่องหมายคูณแทน "AND" และใส่เครื่องหมายบวกแทน "OR"
มาเป็นนักเรียน YouClever
เตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State หรือการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์
และยังเข้าถึงหนังสือเรียน YouClever ได้โดยไม่มีข้อจำกัด...