ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดในพื้นที่ตัวอย่างเท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น หากการทดลองโยนเหรียญโดยมีเหตุการณ์ A = หัว และเหตุการณ์ B = ก้อย ดังนั้น A และ B จะเป็นตัวแทนของพื้นที่ตัวอย่างทั้งหมด วิธี, P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1.

ตัวอย่าง. ในตัวอย่างที่เสนอไว้ก่อนหน้านี้ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะดึงปากกาสีแดงออกจากกระเป๋าเสื้อคลุม (นี่คือเหตุการณ์ A) ซึ่งมีปากกาสีน้ำเงินสองอันและปากกาสีแดงหนึ่งอัน P(A) = 1/3 µm 0.33 ความน่าจะเป็นของสิ่งที่ตรงกันข้าม กิจกรรม - วาดปากกาสีน้ำเงิน - จะเป็น

ก่อนที่จะไปยังทฤษฎีบทหลัก เราจะแนะนำแนวคิดที่ซับซ้อนอีกสองแนวคิด ได้แก่ ผลรวมและผลคูณของเหตุการณ์ แนวคิดเหล่านี้แตกต่างจากแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับผลรวมและผลคูณทางคณิตศาสตร์ การบวกและการคูณในทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นการดำเนินการเชิงสัญลักษณ์ซึ่งอยู่ภายใต้กฎเกณฑ์บางประการและอำนวยความสะดวกในการสร้างข้อสรุปทางวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ

จำนวนหลายเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ นั่นคือผลรวมของสองเหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ A หรือเหตุการณ์ B หรือเหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นพร้อมกัน

ตัวอย่างเช่น หากผู้โดยสารกำลังรอที่ป้ายรถรางสำหรับสองเส้นทางใด ๆ เหตุการณ์ที่เขาต้องการคือการปรากฏของรถรางในเส้นทางแรก (เหตุการณ์ A) หรือรถรางของเส้นทางที่สอง (เหตุการณ์ B) หรือการปรากฏตัวร่วมกันของรถรางเส้นทางที่หนึ่งและสอง (งาน C) ในภาษาของทฤษฎีความน่าจะเป็น หมายความว่าเหตุการณ์ D ที่ผู้โดยสารต้องการนั้นประกอบด้วยเหตุการณ์ A หรือเหตุการณ์ B หรือเหตุการณ์ C ซึ่งจะเขียนเชิงสัญลักษณ์ในรูปแบบ:

ด=เอ+บี+ค

ผลผลิตของสองเหตุการณ์กและ ในเป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกัน กและ ใน. ผลงานจากหลายงานการเกิดร่วมกันของเหตุการณ์ทั้งหมดนี้เรียกว่า

ในตัวอย่างข้างต้นกับผู้โดยสารเหตุการณ์ กับ(การปรากฏรถรางสองเส้นทางร่วมกัน) เป็นผลผลิตจากสองเหตุการณ์ กและ ในซึ่งมีการเขียนเชิงสัญลักษณ์ดังนี้:

สมมติว่าแพทย์สองคนแยกกันตรวจผู้ป่วยเพื่อระบุโรคเฉพาะ ในระหว่างการตรวจสอบ เหตุการณ์ต่อไปนี้อาจเกิดขึ้นได้:

การค้นพบโรคโดยแพทย์ท่านแรก ( ก);

ความล้มเหลวในการตรวจพบโรคโดยแพทย์คนแรก ();

การตรวจหาโรคโดยแพทย์คนที่สอง ( ใน);

ความล้มเหลวในการตรวจพบโรคโดยแพทย์คนที่สอง ()

พิจารณาเหตุการณ์ที่จะตรวจพบโรคระหว่างการตรวจเพียงครั้งเดียว เหตุการณ์นี้สามารถเกิดขึ้นได้สองวิธี:

โรคนี้จะถูกค้นพบโดยแพทย์คนแรก ( ก) และจะไม่ตรวจจับวินาที ();

แพทย์คนแรกจะไม่ตรวจพบโรค และแพทย์คนแรกจะตรวจพบโรคที่สอง ( บี).

ให้เราแสดงเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาโดยเขียนเป็นสัญลักษณ์:

พิจารณาเหตุการณ์ที่จะตรวจพบโรคระหว่างการตรวจ 2 ครั้ง (โดยแพทย์คนแรกและคนที่สอง) เรามาแสดงถึงเหตุการณ์นี้โดยเขียน: .

เราแสดงถึงเหตุการณ์ที่แพทย์คนแรกและคนที่สองไม่ค้นพบโรคและจดบันทึกไว้:

ทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ 2 เหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้

ให้เราเขียนทฤษฎีบทการบวกเชิงสัญลักษณ์:

P(A + B) = P(A)+P(B),

ที่ไหน ร- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้อง (เหตุการณ์ระบุไว้ในวงเล็บ)

ตัวอย่าง - ผู้ป่วยมีเลือดออกในกระเพาะอาหาร อาการนี้จะถูกบันทึกไว้ในกรณีของการกัดเซาะของแผลในหลอดเลือด (เหตุการณ์ A) การแตกของเส้นเลือดขอดของหลอดอาหาร (เหตุการณ์ B) มะเร็งกระเพาะอาหาร (เหตุการณ์ C) ติ่งเนื้อในกระเพาะอาหาร (เหตุการณ์ D) การแตกตัวของเลือดออก (เหตุการณ์ F) โรคดีซ่านอุดกั้น (เหตุการณ์ E) และโรคกระเพาะสุดท้าย (เหตุการณ์ช).

แพทย์จะกำหนดค่าความน่าจะเป็นให้กับแต่ละเหตุการณ์ตามการวิเคราะห์ข้อมูลทางสถิติ:

รวมแพทย์มีผู้ป่วยเลือดออกในกระเพาะอาหาร 80 ราย (n= 80) โดย 12 รายการมีการกัดเซาะของแผลในหลอดเลือด (), ที่6 - การแตกของเส้นเลือดขอดของหลอดอาหาร () 36 รายเป็นมะเร็งกระเพาะอาหาร () ฯลฯ

หากต้องการสั่งการตรวจ แพทย์ต้องการทราบโอกาสที่เลือดออกในกระเพาะอาหารจะสัมพันธ์กับโรคกระเพาะ (เหตุการณ์ที่ 1)

โอกาสที่เลือดออกในกระเพาะอาหารจะสัมพันธ์กับโรคกระเพาะค่อนข้างสูง และแพทย์สามารถกำหนดกลวิธีในการตรวจได้โดยอาศัยสมมติฐานว่าเป็นโรคกระเพาะ โดยให้เหตุผลในระดับเชิงปริมาณโดยใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็น

หากพิจารณาเหตุการณ์ร่วม ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้โดยไม่มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นร่วมกัน

ในเชิงสัญลักษณ์สิ่งนี้เขียนโดยสูตรต่อไปนี้:

หากเราจินตนาการถึงเหตุการณ์นั้น กประกอบด้วยการตีเป้าหมายที่มีแถบสีแนวนอนเมื่อทำการยิง และเหตุการณ์ ใน- ในการตีเป้าหมายที่ถูกแรเงาด้วยแถบแนวตั้ง จากนั้นในกรณีของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ตามทฤษฎีบทการบวก ความน่าจะเป็นของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แต่ละรายการ หากเหตุการณ์เหล่านี้เป็นเหตุการณ์ร่วมกัน ก็มีความน่าจะเป็นที่แน่นอนที่สอดคล้องกับการเกิดเหตุการณ์ร่วมกัน กและ ใน- หากไม่แก้ไขให้หักลดหย่อน พี(เอบี), เช่น. ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ร่วมกัน ความน่าจะเป็นนี้จะถูกนำมาพิจารณาสองครั้ง เนื่องจากพื้นที่ที่แรเงาทั้งเส้นแนวนอนและแนวตั้งเป็นส่วนสำคัญของทั้งสองเป้าหมาย และจะถูกนำมาพิจารณาทั้งในเทอมแรกและเทอมที่สอง .

ในรูป 1 มีการตีความทางเรขาคณิตเพื่อแสดงให้เห็นเหตุการณ์นี้อย่างชัดเจน ในส่วนบนของภาพมีเป้าหมายที่ไม่ทับซ้อนกันซึ่งเป็นอะนาล็อกของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ในส่วนล่าง - เป้าหมายที่ตัดกันซึ่งเป็นอะนาล็อกของเหตุการณ์ร่วม (ด้วยการยิงนัดเดียวคุณสามารถโจมตีทั้งเป้าหมาย A และเป้าหมาย B ทันที)

ก่อนที่จะไปยังทฤษฎีบทการคูณ จำเป็นต้องพิจารณาแนวคิดเกี่ยวกับเหตุการณ์อิสระและเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับ และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและไม่มีเงื่อนไข

เป็นอิสระจากเหตุการณ์ B คือเหตุการณ์ A ซึ่งความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเกิดหรือไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ B

ขึ้นอยู่กับจากเหตุการณ์ B คือเหตุการณ์ A ซึ่งความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นขึ้นอยู่กับการเกิดหรือไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ B

ตัวอย่าง - ในโกศมีลูกบอล 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสีดำ 1 ลูก เมื่อสุ่มเลือกลูกบอล ความน่าจะเป็นในการเลือกลูกบอลสีขาว (เหตุการณ์ A) เท่ากับ: P(A) = 2/3 และลูกบอลสีดำ (เหตุการณ์ B) P(B) = 1/3 เรากำลังจัดการกับรูปแบบของเคส และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะถูกคำนวณอย่างเคร่งครัดตามสูตร เมื่อทำการทดลองซ้ำ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A และ B จะไม่เปลี่ยนแปลง ถ้าหลังจากเลือกแต่ละครั้งแล้ว ลูกบอลจะถูกส่งกลับไปยังโกศ ในกรณีนี้ เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระจากกัน หากลูกบอลที่เลือกในการทดลองครั้งแรกไม่ถูกส่งกลับไปยังโกศ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (A) ในการทดลองครั้งที่สองจะขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ (B) ในการทดลองครั้งแรก ดังนั้น หากในการทดลองครั้งแรกมีเหตุการณ์ B ปรากฏขึ้น (เลือกลูกบอลสีดำ) การทดลองครั้งที่สองจะดำเนินการหากมีลูกบอลสีขาว 2 ลูกในโกศ และความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A ปรากฏในการทดลองครั้งที่สองจะเท่ากับ: P (ก) = 2/2= 1

หากเหตุการณ์ B ไม่ปรากฏในการทดลองครั้งแรก (เลือกลูกบอลสีขาว) การทดลองครั้งที่สองจะดำเนินการหากมีลูกบอลสีขาวหนึ่งลูกและลูกบอลสีดำหนึ่งลูกอยู่ในโกศ และความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองครั้งที่สอง เท่ากับ: P(A) = 1/2 แน่นอนว่าในกรณีนี้ เหตุการณ์ A และ B มีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด และความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นนั้นขึ้นอยู่กับ

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเหตุการณ์ A คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ B จะเกิดขึ้น โดยมีเงื่อนไขว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ พี(เอ/บี)

หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเกิดขึ้น กไม่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ในแล้วความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ กเท่ากับความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไข:

ถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ B ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะไม่สามารถเท่ากับความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขได้:

การระบุการพึ่งพาอาศัยเหตุการณ์ต่าง ๆ ซึ่งกันและกันได้ คุ้มค่ามากในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น ข้อสันนิษฐานที่ผิดพลาดเกี่ยวกับความเป็นอิสระของการปรากฏตัวของอาการบางอย่างเมื่อวินิจฉัยข้อบกพร่องของหัวใจโดยใช้วิธีการความน่าจะเป็นที่พัฒนาขึ้นที่สถาบันศัลยกรรมหัวใจและหลอดเลือดซึ่งตั้งชื่อตาม A. N. Bakulev ทำให้เกิดการวินิจฉัยผิดพลาดประมาณ 50%

งานร่วมและงานไม่ร่วม

ทั้งสองเหตุการณ์เรียกว่า ข้อต่อในการทดลองที่กำหนด หากรูปลักษณ์ของอันใดอันหนึ่งไม่ได้แยกรูปลักษณ์ของอีกอันหนึ่งออกไป ตัวอย่าง : โจมตีเป้าหมายที่ทำลายไม่ได้ด้วยลูกศรสองลูกที่แตกต่างกันและได้รับแต้มเท่ากันบนลูกเต๋าทั้งสองลูก

ทั้งสองเหตุการณ์เรียกว่า เข้ากันไม่ได้(เข้ากันไม่ได้) ในการทดลองที่กำหนด หากไม่สามารถเกิดขึ้นร่วมกันในการทดลองเดียวกันได้ หลายเหตุการณ์เรียกว่าเข้ากันไม่ได้หากเข้ากันไม่ได้แบบคู่ ตัวอย่างของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้: ก) ตีแล้วพลาดด้วยนัดเดียว; b) ชิ้นส่วนจะถูกสุ่มออกจากกล่องพร้อมชิ้นส่วน - เหตุการณ์ "ชิ้นส่วนมาตรฐานถูกนำออกไป" และ "ชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานถูกนำออกไป" c) ความหายนะของบริษัทและผลกำไร

กล่าวอีกนัยหนึ่งเหตุการณ์ กและ ในเข้ากันได้ถ้าชุดที่สอดคล้องกัน กและ ในมี องค์ประกอบทั่วไปและไม่สอดคล้องกันหากเซตที่สอดคล้องกัน กและ ในไม่มีองค์ประกอบร่วมกัน

เมื่อพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ มักใช้แนวคิดนี้ เป็นไปได้เท่าเทียมกัน เหตุการณ์ต่างๆ เหตุการณ์ต่างๆ ในการทดลองหนึ่งๆ จะถูกเรียกว่าเป็นไปได้เท่ากัน หากตามเงื่อนไขของความสมมาตร มีเหตุผลที่จะเชื่อได้ว่าไม่มีเหตุการณ์ใดที่เป็นไปได้มากกว่าเหตุการณ์อื่นๆ (การสูญเสียหัวและก้อย การปรากฏไพ่ของสิ่งใดสิ่งหนึ่ง การเลือกลูกบอลจากโกศ ฯลฯ )

การทดลองแต่ละครั้งมีความเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์จำนวนหนึ่ง ซึ่งโดยทั่วไปแล้วสามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อโยนลูกเต๋า เหตุการณ์คือการทอยเลขสอง และกิจกรรมคือการทอยเลขคู่ แน่นอนว่าเหตุการณ์เหล่านี้ไม่ได้เกิดขึ้นพร้อมกัน

ให้ผลการทดสอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกิดขึ้นได้ในหลายกรณีที่เป็นไปได้โดยเฉพาะ โดยแยกจากกัน แล้ว

ü ผลการทดสอบแต่ละรายการจะแสดงด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นเพียงเหตุการณ์เดียวเท่านั้น

ü ทุกเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับการทดสอบนี้คือเซตของเหตุการณ์พื้นฐานที่มีจำนวนจำกัดหรือไม่จำกัด

ü เหตุการณ์จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีเหตุการณ์พื้นฐานเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งที่รวมอยู่ในชุดนี้เกิดขึ้นเท่านั้น

พื้นที่ตามอำเภอใจแต่คงที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นสามารถแสดงเป็นพื้นที่ใดพื้นที่หนึ่งบนระนาบได้ ในกรณีนี้ เหตุการณ์เบื้องต้นคือจุดของเครื่องบินที่อยู่ด้านใน เนื่องจากเหตุการณ์ถูกระบุด้วยชุด การดำเนินการทั้งหมดที่สามารถทำได้บนชุดจึงสามารถดำเนินการกับเหตุการณ์ได้ โดยการเปรียบเทียบกับทฤษฎีเซต เราจึงสร้างขึ้นมา พีชคณิตของเหตุการณ์- ในกรณีนี้ สามารถกำหนดการดำเนินการและความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ต่อไปนี้ได้:

กÌ บี(ตั้งค่าความสัมพันธ์แบบรวม: set กเป็นสับเซตของเซต ใน) – เหตุการณ์ A เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์ B- กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเหตุการณ์ ในเกิดขึ้นทุกครั้งที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้น ก. ตัวอย่าง - การทอยสองอันส่งผลให้ได้แต้มเป็นเลขคู่

(กำหนดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน) – เหตุการณ์ เหมือนกันหรือ เทียบเท่าเหตุการณ์. สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อและพร้อมกันเท่านั้น เช่น แต่ละรายการจะเกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่สิ่งอื่นเกิดขึ้น ตัวอย่าง – เหตุการณ์ A – การพังทลายของอุปกรณ์ เหตุการณ์ B – การพังทลายของบล็อก (บางส่วน) ของอุปกรณ์อย่างน้อยหนึ่งบล็อก

() – ผลรวมของเหตุการณ์. นี่คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์หรือ (ตรรกะ "หรือ") เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งในสองเหตุการณ์ โดยทั่วไป ผลรวมของเหตุการณ์ต่างๆ ถือเป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ ตัวอย่าง – เป้าหมายถูกโจมตีด้วยอาวุธชิ้นแรก อาวุธชิ้นที่สอง หรือทั้งสองอย่างพร้อมกัน

() – ผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์. นี่คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกันและ (ตรรกะ "และ") โดยทั่วไปแล้ว การผลิตเหตุการณ์ต่างๆ ถือเป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันทั้งหมด ดังนั้นเหตุการณ์ต่างๆ จึงเข้ากันไม่ได้หากการผลิตเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ เช่น . ตัวอย่าง – เหตุการณ์ A คือการถอดไพ่ชุดเพชรออกจากสำรับ เหตุการณ์ B คือการถอดไพ่เอซ แล้วลักษณะของเอซเพชรจะไม่เกิดขึ้น

การตีความทางเรขาคณิตของการดำเนินการกับเหตุการณ์มักมีประโยชน์ ภาพประกอบการดำเนินงานแบบกราฟิกเรียกว่าแผนภาพเวนน์

เราจะถือว่าผลลัพธ์ของประสบการณ์จริง (การทดลอง) อาจเป็นผลลัพธ์หนึ่งหรือหลายอย่างที่ไม่เกิดร่วมกัน ผลลัพธ์เหล่านี้ไม่สามารถย่อยสลายได้และไม่เกิดร่วมกัน ในกรณีนี้ การทดลองบอกว่าจะจบลงด้วยสิ่งเดียวเท่านั้น ผลลัพธ์เบื้องต้น.

ชุดของเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดที่เกิดขึ้นตามมา สุ่มการทดลอง เราจะเรียกมันว่า พื้นที่จัดกิจกรรมเบื้องต้นว (เหตุการณ์เบื้องต้นสอดคล้องกับผลลัพธ์เบื้องต้น)

เหตุการณ์สุ่ม(เหตุการณ์) เราจะเรียกเซตย่อยของปริภูมิของเหตุการณ์เบื้องต้น W .

ตัวอย่างที่ 1ลองพลิกเหรียญสักครั้ง

เหรียญอาจตกโดยมีตัวเลขขึ้น - เหตุการณ์เบื้องต้น w c (หรือ w 1) หรือด้วยตราแผ่นดิน - เหตุการณ์เบื้องต้น w Г (หรือ w 2)

พื้นที่ที่สอดคล้องกันของเหตุการณ์เบื้องต้น W ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นสองเหตุการณ์: W = (w c,w Г) หรือ W = (w 1,w 2)ตัวอย่างที่ 2 เราทอยลูกเต๋าหนึ่งครั้ง ในการทดลองนี้ สเปซของเหตุการณ์เบื้องต้น W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6) โดยที่ w W = (w c,w Г) หรือ W = (w 1,w 2)ฉัน ก- การสูญเสีย กคะแนน เหตุการณ์ ก- ได้คะแนนเป็นจำนวนคู่

= (ส 2 ,ส 4 ,ส 6 ),

ว.

ตัวอย่างที่ 3 จุดถูกวางแบบสุ่ม (สุ่ม) บนเซ็กเมนต์ วัดระยะห่างของจุดจากปลายด้านซ้ายของส่วน ในการทดลองนี้ สเปซของเหตุการณ์เบื้องต้น W = คือเซตของจำนวนจริงบนส่วนของหน่วย หากอธิบายให้ละเอียดยิ่งขึ้น เงื่อนไขที่เป็นทางการ เหตุการณ์เบื้องต้น และพื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น มีดังต่อไปนี้ .

สเปซของเหตุการณ์เบื้องต้นเป็นเซตที่กำหนด W, W =(w) องค์ประกอบ w ของเซต W นี้เรียกว่า เหตุการณ์เบื้องต้นแนวคิด

เหตุการณ์เบื้องต้น, เหตุการณ์, พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น เป็นแนวคิดดั้งเดิมของทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นไปไม่ได้ที่จะให้คำอธิบายเฉพาะเจาะจงมากขึ้นเกี่ยวกับพื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น เพื่ออธิบายแบบจำลองจริงแต่ละแบบ จึงเลือกช่องว่าง W ที่สอดคล้องกัน

เหตุการณ์ W ถูกเรียกว่า เชื่อถือได้.

เหตุการณ์. W = (w c,w Г) หรือ W = (w 1,w 2)เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ไม่สามารถล้มเหลวที่จะเกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการทดลอง W = (w c,w Г) หรือ W = (w 1,w 2)เกิดขึ้นเสมอ

ตัวอย่างที่ 4 เราทอยลูกเต๋าหนึ่งครั้ง

เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้คือจำนวนแต้มที่สะสมต้องไม่น้อยกว่าหนึ่งและไม่เกินหก เช่น W = (ส 1, ส 2, ส 3, ส 4, ส 5, ส 6) โดยที่ ส - การสูญเสีย.

คะแนนถือเป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือเซตว่าง.

เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้จากการทดลอง

ไม่เคยเกิดขึ้น กเหตุการณ์สุ่มอาจจะเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้จากการทดลองนั่นเอง กเกิดขึ้นบางครั้ง

ตัวอย่างที่ 5 เราทอยลูกเต๋าหนึ่งครั้ง กแล้วเหตุการณ์คือการเกิดขึ้นของแต้มเลขคี่ ที่นี่ W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6) โดยที่ w W = (w c,w Г) หรือ W = (w 1,w 2)เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ไม่สามารถล้มเหลวที่จะเกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการทดลอง W = (w c,w Г) หรือ W = (w 1,w 2)แว่นตา, ก= (ส 2 ,ส 4 ,ส 6 ), = .

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้คือเหตุการณ์

กและ บีเพื่อที่ เอ บี = .

ตัวอย่างที่ 7 เราทอยลูกเต๋าหนึ่งครั้ง กเหตุการณ์ บี- กลิ้งแต้มเหตุการณ์เป็นจำนวนคู่ ก- จำนวนคะแนนที่ตกน้อยกว่าสอง เหตุการณ์ บี กคะแนน เหตุการณ์ ประกอบด้วยการทอยแต้มจำนวนคู่น้อยกว่าสอง นี่เป็นไปไม่ได้บี= ก(ห 1) ข = , กและ เหล่านั้น. เหตุการณ์ต่างๆบี-

จำนวนเข้ากันไม่ได้ กและ บีเหตุการณ์ต่างๆ กเป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดที่เป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง หรือบี. กำหนด หรือ

เอ+ W = (w c,w Г) หรือ W = (w 1,w 2)เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ไม่สามารถล้มเหลวที่จะเกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการทดลอง W = (w c,w Г) หรือ W = (w 1,w 2)ตัวอย่างที่ 8 เราทอยลูกเต๋าหนึ่งครั้ง ในการทดลองนี้ สเปซของเหตุการณ์เบื้องต้น W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6) โดยที่เหตุการณ์เบื้องต้น w กคะแนน ก บี ประกอบด้วยการทอยแต้มจำนวนคู่น้อยกว่าสอง นี่เป็นไปไม่ได้เหตุการณ์

- ได้คะแนนเป็นจำนวนคู่ กำหนด บี = (ส 5, ส 6) กเหตุการณ์ หรือ(w 2 ,w 4 , w 5 , w 6 ) คือว่ามีการทอยคะแนนเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคะแนนที่มากกว่าสี่คือ มีเหตุการณ์เกิดขึ้น กำหนด บีหรือเหตุการณ์

เห็นได้ชัดว่าเข้ากันไม่ได้ กว. บีการทำงาน กว. หรือบี. และ.

เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดที่เป็นของเหตุการณ์พร้อมกัน เอบีตัวอย่างที่ 9 เราทอยลูกเต๋าหนึ่งครั้ง ในประสบการณ์ครั้งนี้พื้นที่ของกิจกรรมเบื้องต้น W = (w c,w Г) หรือ W = (w 1,w 2)เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ไม่สามารถล้มเหลวที่จะเกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการทดลอง W = (w c,w Г) หรือ W = (w 1,w 2)ตัวอย่างที่ 8 เราทอยลูกเต๋าหนึ่งครั้ง ในการทดลองนี้ สเปซของเหตุการณ์เบื้องต้น W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6) โดยที่เหตุการณ์เบื้องต้น w กคะแนน กว = ( บีส 1, ส 2, ส 3, ส 4, ส 5, ส 6) โดยที่เหตุการณ์เบื้องต้น w ประกอบด้วยการทอยแต้มจำนวนคู่น้อยกว่าสอง นี่เป็นไปไม่ได้เหตุการณ์

- ได้คะแนนเป็นจำนวนคู่ ก บี= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), เหตุการณ์ ก- หมุนจำนวนคะแนนที่มากกว่าสี่ ประกอบด้วยความจริงที่ว่ามีการทอยแต้มเป็นจำนวนคู่มากกว่าสี่นั่นคือ บี = ทั้งเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นและเหตุการณ์ ก บีและเหตุการณ์

บี,เอเข้ากันไม่ได้ กและ บี(ห 6) กว. หรือบี. โดยความแตกต่าง.

เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดที่เป็นของ กคะแนน กว = ( บีส 1, ส 2, ส 3, ส 4, ส 5, ส 6) โดยที่เหตุการณ์เบื้องต้น w ประกอบด้วยการทอยแต้มจำนวนคู่น้อยกว่าสอง นี่เป็นไปไม่ได้แต่ไม่ได้เป็นเจ้าของ เอ\บี บี = ตัวอย่างที่ 10 เราทอยลูกเต๋าหนึ่งครั้ง กเหตุการณ์ (ส 5, ส 6) เหตุการณ์- ได้คะแนนเป็นจำนวนคู่

ก\

(w 2 ,w 4 ) คือการทอยแต้มเป็นจำนวนคู่ แต่ไม่เกินสี่แต้ม นั่นคือ มีเหตุการณ์เกิดขึ้น .

และเหตุการณ์นั้นก็ไม่เกิดขึ้น

, (บี, เอ\บี)เห็นได้ชัดว่า.

A+A=A, AA=A,

มันง่ายที่จะพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน:

เอ+บี

ค=เอซี+บีซี - คำจำกัดความของผลรวมและผลคูณของเหตุการณ์ส่งต่อไปยังลำดับเหตุการณ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด: , เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้น ซึ่งแต่ละเหตุการณ์เป็นของอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์; , เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นซึ่งแต่ละเหตุการณ์เป็นของทุกคนพร้อมกัน ให้ W เป็นพื้นที่ตามอำเภอใจของเหตุการณ์เบื้องต้น และ

แบบนี้ ชุดของเหตุการณ์สุ่มซึ่งเหตุการณ์ต่อไปนี้ถือเป็นจริง: W , AB, A+Bและ A\B ถ้า A : (กและบี กฟังก์ชันตัวเลข P ที่กำหนดให้กับชุดของเหตุการณ์เรียกว่า ; ความน่าจะเป็น,

และ A\B ถ้า A ถ้า และ B ก็ไม่สอดคล้องกัน ป(บี, เอ\บี) =ป(ก) +ป(บี);

สำหรับลำดับเหตุการณ์ที่ลดลงใดๆ ( กผม )จาก ,, เช่นนั้น, ความเท่าเทียมกันถืออยู่

พวกเขาเรียกทรอยก้า พื้นที่ความน่าจะเป็น.

กิจกรรม

เหตุการณ์. งานประถมศึกษา.

พื้นที่จัดกิจกรรมเบื้องต้น

เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้

เหตุการณ์ที่เหมือนกัน

ผลรวม ผลต่างของเหตุการณ์

เหตุการณ์ตรงกันข้าม. เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

เหตุการณ์ที่เป็นไปได้พอๆ กัน

ภายใต้ เหตุการณ์ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เราเข้าใจข้อเท็จจริงใดๆ ที่อาจหรืออาจไม่เกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากประสบการณ์ด้วยผลลัพธ์แบบสุ่ม ผลลัพธ์ที่ง่ายที่สุดของการทดลองดังกล่าว (ตัวอย่างเช่น การปรากฏตัวของ "หัว" หรือ "ก้อย" เมื่อโยนเหรียญ, โจมตีเป้าหมายเมื่อยิง, การปรากฏตัวของเอซเมื่อหยิบไพ่ออกจากสำรับ, การปรากฏตัวเลขแบบสุ่มเมื่อขว้างลูกเต๋าฯลฯ) เรียกว่าเหตุการณ์เบื้องต้น .

ชุดประถมศึกษาทั้งหมดเหตุการณ์ต่างๆ อีเรียกว่า องค์ประกอบอวกาศ กิจกรรมบรรจุภัณฑ์ . ใช่เมื่อ เมื่อขว้างลูกเต๋า พื้นที่นี้ประกอบด้วยหกเหตุการณ์พื้นฐานและเมื่อถอดการ์ดออกจากสำรับ - จาก 52 เหตุการณ์อาจประกอบด้วยเหตุการณ์พื้นฐานหนึ่งเหตุการณ์ขึ้นไปเช่นการปรากฏตัวของเอซสองตัวติดต่อกันเมื่อถอดการ์ดออกจากสำรับหรือการปรากฏตัวของ จำนวนเท่ากันเมื่อโยนลูกเต๋าสามครั้ง จากนั้นเราก็สามารถกำหนดได้ เหตุการณ์ เป็นเซตย่อยตามอำเภอใจของพื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น

เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ เรียกว่าพื้นที่ทั้งหมดของเหตุการณ์เบื้องต้น ดังนั้นเหตุการณ์บางอย่างจึงเป็นเหตุการณ์ที่ต้องเกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากประสบการณ์ที่ได้รับ เมื่อโยนลูกเต๋า เหตุการณ์เช่นนี้จะเกิดขึ้นเมื่อลูกเต๋าไปถูกหน้าใดหน้าหนึ่ง

เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ () เรียกว่าเซตย่อยว่างของปริภูมิของเหตุการณ์เบื้องต้น นั่นคือเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้จากประสบการณ์ที่ได้รับ ดังนั้น เมื่อขว้างลูกเต๋า เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ก็คือมันตกลงไปบนขอบของมัน

กิจกรรม กและ ในถูกเรียกว่าเหมือนกัน (ก= ใน) หากเกิดเหตุการณ์ กเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีเหตุการณ์เกิดขึ้นเท่านั้นใน .

พวกเขาบอกว่าเหตุการณ์นั้น ก ก่อให้เกิดเหตุการณ์ ใน ( ก ใน) ถ้าจากเงื่อนไข"เหตุการณ์ A เกิดขึ้น" ควร "เหตุการณ์ B เกิดขึ้น".

- ได้คะแนนเป็นจำนวนคู่ กับเรียกว่า ผลรวมของเหตุการณ์ กและ ใน (กับ = ก ใน) หากเกิดเหตุการณ์ กับเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเกิดขึ้นอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ก, หรือ ใน.

- ได้คะแนนเป็นจำนวนคู่ กับเรียกว่า ผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์ กและ ใน (กับ = ก ใน) หากเกิดเหตุการณ์ กับจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมันเกิดขึ้นเท่านั้นก, และ ใน.

- ได้คะแนนเป็นจำนวนคู่ กับเรียกว่า ความแตกต่างของเหตุการณ์ กและ ใน (กับ = ก – ใน) หากเกิดเหตุการณ์ กับเกิดขึ้นแล้วเมื่อนั้นเท่านั้น เมื่อมันเกิดขึ้นเหตุการณ์ กและเหตุการณ์นั้นก็ไม่เกิดขึ้น ใน.

เหตุการณ์ เอ"เรียกว่า ตรงข้าม เหตุการณ์กหากไม่มีเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้น ก- ดังนั้นการพลาดและการตีเมื่อยิงจึงเป็นเหตุการณ์ที่ตรงกันข้าม

กิจกรรม กและ ในถูกเรียกว่าเข้ากันไม่ได้ (ก ใน = ) , หากการปรากฏตัวพร้อมกันเป็นไปไม่ได้ เช่น ได้ทั้ง “ก้อย” และ"หัว" เมื่อโยนเหรียญ

หากเหตุการณ์หลายอย่างสามารถเกิดขึ้นได้ในระหว่างการทดลองและแต่ละเหตุการณ์ตามเงื่อนไขวัตถุประสงค์นั้นเป็นไปไม่ได้มากกว่าเหตุการณ์อื่น เหตุการณ์ดังกล่าวจะถูกเรียกว่าเป็นไปได้เท่าเทียมกัน - ตัวอย่างของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน: การปรากฏตัวของผีสาง เอซ และแจ็คเมื่อไพ่ถูกดึงออกจากสำรับ การเกิดขึ้นของตัวเลขใด ๆ ตั้งแต่ 1 ถึง 6 เมื่อขว้างลูกเต๋า ฯลฯ

เป้า:เพื่อให้นักเรียนคุ้นเคยกับกฎของการบวกและการคูณความน่าจะเป็น แนวคิดของเหตุการณ์ตรงกันข้ามในวงกลมออยเลอร์

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่ม

ปรากฏการณ์สุ่ม- นี่เป็นปรากฏการณ์ที่เมื่อประสบการณ์เดียวกันถูกทำซ้ำๆ กัน แต่ละครั้งก็จะเกิดขึ้นในลักษณะที่แตกต่างกันเล็กน้อย

นี่คือตัวอย่างเหตุการณ์สุ่ม: การขว้างปา ลูกเต๋าโยนเหรียญ ยิงเป้า ฯลฯ

ตัวอย่างข้างต้นทั้งหมดสามารถดูได้จากมุมเดียวกัน: ความแปรผันแบบสุ่ม ผลลัพธ์ที่ไม่เท่ากันจากการทดลองหลายครั้ง เงื่อนไขพื้นฐานยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

เห็นได้ชัดว่าไม่มีปรากฏการณ์ทางกายภาพใดๆ ในธรรมชาติที่องค์ประกอบของความสุ่มจะไม่ปรากฏให้เห็นในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่น ไม่ว่าเงื่อนไขการทดลองจะได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้องและละเอียดเพียงใด ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะรับประกันว่าเมื่อทำการทดลองซ้ำ ผลลัพธ์จะตรงกันทั้งหมดและทุกประการ

การเบี่ยงเบนแบบสุ่มย่อมเกิดขึ้นพร้อมกับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ อย่างไรก็ตาม ในปัญหาในทางปฏิบัติหลายประการ องค์ประกอบสุ่มเหล่านี้สามารถถูกละเลยได้ โดยพิจารณาแทนที่จะพิจารณาปรากฏการณ์จริง โครงร่าง "แบบจำลอง" ที่เรียบง่ายของมัน และสมมติว่าภายใต้เงื่อนไขการทดลองที่กำหนด ปรากฏการณ์จะดำเนินไปในลักษณะที่ชัดเจนอย่างยิ่ง

อย่างไรก็ตาม มีปัญหาหลายประการที่ผลลัพธ์ของการทดลองที่เราสนใจนั้นขึ้นอยู่กับสิ่งนั้น จำนวนมากปัจจัยที่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะลงทะเบียนและคำนึงถึงปัจจัยเหล่านี้ทั้งหมด

เหตุการณ์สุ่มก็ได้ ในรูปแบบที่แตกต่างกันรวมเข้าด้วยกัน ในกรณีนี้ เหตุการณ์สุ่มใหม่จะเกิดขึ้น

หากต้องการแสดงภาพเหตุการณ์ ให้ใช้ แผนภาพออยเลอร์- ในแต่ละแผนภาพ ชุดของเหตุการณ์พื้นฐานทั้งหมดจะแสดงด้วยสี่เหลี่ยม (รูปที่ 1) เหตุการณ์อื่นๆ ทั้งหมดจะแสดงให้เห็นภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้าในรูปแบบของบางส่วนซึ่งล้อมรอบด้วยเส้นปิด โดยปกติแล้วเหตุการณ์ดังกล่าวจะแสดงเป็นวงกลมหรือวงรีภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ลองพิจารณาคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของเหตุการณ์โดยใช้ไดอะแกรมออยเลอร์

การรวมเหตุการณ์เอและบีเรียกเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้นที่เป็นของเหตุการณ์ A หรือ B (บางครั้งสหภาพเรียกว่าผลรวม)

ผลลัพธ์ของการรวมกันสามารถแสดงเป็นกราฟิกได้โดยใช้แผนภาพออยเลอร์ (รูปที่ 2)

จุดตัดของเหตุการณ์ A และ Bเรียกว่าเหตุการณ์ C ซึ่งสนับสนุนทั้งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B (บางครั้งทางแยกเรียกว่าผลคูณ)

ผลลัพธ์ของจุดตัดสามารถแสดงเป็นกราฟิกด้วยแผนภาพออยเลอร์ (รูปที่ 3)

หากเหตุการณ์ A และ B ไม่มีเหตุการณ์พื้นฐานที่น่าพึงพอใจร่วมกัน ก็จะไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันในระหว่างประสบการณ์เดียวกันได้ เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่า เข้ากันไม่ได้และทางแยกของพวกเขา – เหตุการณ์ที่ว่างเปล่า.

ความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์ A และ Bเรียกเหตุการณ์ C ประกอบด้วยเหตุการณ์เบื้องต้น A ที่ไม่ใช่เหตุการณ์เบื้องต้น B

ผลลัพธ์ของความแตกต่างสามารถแสดงเป็นกราฟิกได้โดยใช้แผนภาพออยเลอร์ (รูปที่ 4)

ให้สี่เหลี่ยมเป็นตัวแทนของเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมด ให้เราพรรณนาเหตุการณ์ A ให้เป็นวงกลมภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า ส่วนที่เหลือของสี่เหลี่ยมแสดงให้เห็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับเหตุการณ์ A เหตุการณ์ (รูปที่ 5)

เหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ Aเป็นเหตุการณ์ที่ได้รับการสนับสนุนจากเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดที่ไม่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์ A

เหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ A มักจะเขียนแทนด้วย

ตัวอย่างเหตุการณ์ตรงกันข้าม

ผสมผสานหลายเหตุการณ์เข้าด้วยกันเรียกว่าเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เหล่านี้

ตัวอย่างเช่น หากการทดลองประกอบด้วยการยิงเป้าหมายห้านัดและเหตุการณ์ได้รับ:

A0 - ไม่มีการตี;
A1 - ตีหนึ่งครั้ง;
A2 - ตี 2 ครั้งพอดี;
A3 - ตี 3 ครั้งพอดี;
A4 - ตี 4 ครั้ง;
A5 - ตี 5 ครั้งพอดี

ค้นหาเหตุการณ์: ไม่เกินสอง Hit และไม่น้อยกว่าสาม Hit

วิธีแก้ไข: A=A0+A1+A2 – ไม่เกินสองครั้ง

B=A3+A4+A5 – โจมตีอย่างน้อยสามครั้ง

จุดตัดของเหตุการณ์หลายอย่างเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกันของเหตุการณ์ทั้งหมดนี้เรียกว่า

ตัวอย่างเช่น หากมีการยิงสามนัดไปที่เป้าหมาย และพิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้:

B1 - พลาดนัดแรก
B2 - พลาดนัดที่สอง
VZ - พลาดนัดที่สาม

เหตุการณ์นั้น คือจะไม่มีการโจมตีเป้าหมายแม้แต่ครั้งเดียว

เมื่อพิจารณาความน่าจะเป็น มักจำเป็นต้องแสดงเหตุการณ์ที่ซับซ้อนเป็นการรวมกันของเหตุการณ์ที่ง่ายกว่า โดยใช้ทั้งการรวมและจุดตัดกันของเหตุการณ์

ตัวอย่างเช่น ให้ยิงสามนัดไปที่เป้าหมาย และพิจารณาเหตุการณ์เบื้องต้นต่อไปนี้:

ยิงนัดแรก
- พลาดนัดแรก
- ตีนัดที่สอง
- พลาดนัดที่สอง
- ตีนัดที่สาม
- พลาดนัดที่สาม

ลองพิจารณาเหตุการณ์ B ที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าผลจากการยิงทั้งสามครั้งนี้จะมีการโจมตีเป้าหมายเพียงครั้งเดียว เหตุการณ์ B สามารถแสดงเป็นการรวมกันของเหตุการณ์เบื้องต้นได้ดังต่อไปนี้:

เหตุการณ์ C ซึ่งหมายความว่าจะมีการเข้าถึงเป้าหมายอย่างน้อยสองครั้ง สามารถแสดงเป็น:

รูปที่ 6.1 และ 6.2 แสดงการรวมกันของสามเหตุการณ์

รูปที่ 6

ในการพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ จะไม่มีการใช้วิธีการโดยตรงโดยตรง แต่จะใช้วิธีการทางอ้อม การอนุญาตให้ความน่าจะเป็นที่ทราบของเหตุการณ์บางอย่างสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์เหล่านั้น เมื่อใช้วิธีการทางอ้อมเหล่านี้ เราจะใช้กฎพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งเสมอ มีกฎสองข้อนี้: กฎของการบวกความน่าจะเป็น และกฎของการคูณความน่าจะเป็น

กฎสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นมีการกำหนดดังนี้

ความน่าจะเป็นของการรวมสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

ป(ก+บี) =ป(ก)+ ป(B)

ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามมีค่าเท่ากับ 1:

พี(เอ) + พี()= 1.

ในทางปฏิบัติ การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม A มักจะง่ายกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรง A ในกรณีเหล่านี้ ให้คำนวณ P (A) แล้วหา

ป (ก) = 1-P()

ลองดูตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ของการใช้กฎการเพิ่ม

ตัวอย่างที่ 1 ลอตเตอรีมีตั๋ว 1,000 ใบ ในจำนวนนี้ ตั๋วหนึ่งใบส่งผลให้ได้รับเงินรางวัล 500 รูเบิล ตั๋ว 10 ใบ - เงินรางวัลใบละ 100 รูเบิล ตั๋ว 50 ใบ - เงินรางวัลใบละ 20 รูเบิล ตั๋ว 100 ใบ - เงินรางวัลใบละ 5 รูเบิล ตั๋วที่เหลือจะไม่ชนะ มีคนซื้อตั๋วหนึ่งใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะชนะอย่างน้อย 20 รูเบิล

สารละลาย. ลองพิจารณาเหตุการณ์:

เอ - ชนะอย่างน้อย 20 รูเบิล

A1 - ชนะ 20 รูเบิล
A2 - ชนะ 100 รูเบิล
A3 - รับรางวัล 500 รูเบิล

แน่นอน A= A1 + A2 + A3

ตามกฎของการเพิ่มความน่าจะเป็น:

P (A) = P (A1) + P (A2) + P (A3) = 0.050 + 0.010 + 0.001 = 0.061

ตัวอย่างที่ 2 การวางระเบิดเกิดขึ้นที่คลังกระสุนสามแห่ง และทิ้งระเบิดหนึ่งลูก ความน่าจะเป็นที่จะเข้าโกดังแรกคือ 0.01; ใน 0.008 ที่สอง; ใน 0.025 ที่สาม เมื่อโกดังแห่งหนึ่งถูกโจมตี ทั้งสามก็ระเบิด ค้นหาความน่าจะเป็นที่โกดังจะระเบิด