สมการของดีกรีที่ 5 สมการระดับที่สูงกว่า สมการระดับสูงกว่าพร้อมสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ระดับ: 9

เป้าหมายหลัก:

เสริมสร้างแนวคิดของสมการตรรกยะทั้งหมดของระดับที่ 3
กำหนดวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการระดับที่สูงกว่า (n > 3).
สอนวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการลำดับสูง
เพื่อสอนให้ตัดสินใจได้มากที่สุด วิธีที่มีประสิทธิภาพการตัดสินใจของเขา

แบบฟอร์ม วิธีการ และเทคนิคการสอนที่ครูใช้ในห้องเรียน:

ระบบการสอนบรรยาย-สัมมนา (บรรยาย-อธิบายเนื้อหาใหม่, สัมมนา-แก้ปัญหา)
เทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร (การสำรวจหน้าผาก งานปากเปล่ากับชั้นเรียน)
การเรียนรู้ที่แตกต่างแบบฟอร์มกลุ่มและรายบุคคล
ใช้วิธีการวิจัยในการสอนเพื่อพัฒนาเครื่องมือทางคณิตศาสตร์และความสามารถในการคิดของนักเรียนแต่ละคน
สื่อสิ่งพิมพ์ – ส่วนบุคคล สรุปสั้น ๆบทเรียน (แนวคิดพื้นฐาน สูตร ข้อความ เอกสารการบรรยายที่ย่อเป็นแผนภาพหรือตาราง)

แผนการสอน:

ช่วงเวลาขององค์กร
จุดประสงค์ของเวที: เพื่อรวมนักเรียนเข้า กิจกรรมการศึกษากำหนดกรอบเนื้อหาของบทเรียน
การอัพเดตความรู้ของนักเรียน
วัตถุประสงค์ของเวที: เพื่ออัพเดทความรู้ของนักเรียนในหัวข้อที่เกี่ยวข้องที่เคยศึกษา
กำลังเรียน หัวข้อใหม่(บรรยาย). เป้าหมายของขั้นตอน: เพื่อกำหนดวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการระดับที่สูงกว่า (n > 3)
สรุป..
จุดประสงค์ของเวที: เพื่อเน้นประเด็นสำคัญในเนื้อหาที่ศึกษาในบทเรียนอีกครั้ง
การบ้าน.
วัตถุประสงค์ของเวที: เพื่อกำหนด การบ้านสำหรับนักเรียน

สรุปบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

การกำหนดหัวข้อบทเรียน: “สมการกำลังที่สูงกว่า วิธีการแก้ไข”

2. การอัพเดตความรู้ของนักศึกษา

การสำรวจเชิงทฤษฎี-การสนทนา การทำซ้ำข้อมูลที่ศึกษาก่อนหน้านี้บางส่วนจากทฤษฎี นักเรียนกำหนดคำจำกัดความพื้นฐานและกำหนดทฤษฎีบทที่จำเป็น ยกตัวอย่างเพื่อแสดงระดับความรู้ที่ได้รับมาก่อนหน้านี้

แนวคิดเรื่องสมการที่มีตัวแปรเดียว
แนวคิดเรื่องรากของสมการ การแก้สมการ
แนวคิดเรื่องสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว แนวคิดเรื่องสมการกำลังสองที่มีตัวแปรตัวเดียว
แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของสมการ สมการ-ผลที่ตามมา (แนวคิดเรื่องรากที่ไม่เกี่ยวข้อง) การเปลี่ยนแปลงที่ไม่เป็นผล (กรณีการสูญเสียราก)
แนวคิดของนิพจน์เหตุผลทั้งหมดที่มีตัวแปรเดียว
แนวคิดของสมการตรรกยะทั้งหมด nระดับที่ รูปแบบมาตรฐานของสมการตรรกยะทั้งหมด ลดสมการตรรกยะทั้งหมด
เปลี่ยนไปใช้ชุดสมการมากขึ้น องศาต่ำโดยแยกตัวประกอบสมการดั้งเดิม
แนวคิดของพหุนาม nปริญญาจาก x- ทฤษฎีบทของเบซูต์ ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทของเบซูต์ ทฤษฎีบทราก (ซี -รากและถาม
-roots) ของสมการตรรกยะทั้งหมดที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม (ลดลงและไม่ได้ลดลง ตามลำดับ)

แผนการของฮอร์เนอร์

3. ศึกษาหัวข้อใหม่ nเราจะพิจารณาสมการตรรกยะทั้งหมด - กำลังของรูปแบบมาตรฐานพร้อมตัวแปรที่ไม่รู้จักหนึ่งตัว x:พีเอ็น(x) = 0 โดยที่ P n (x) = ก n x n + n-1 x n-1 + 1 x + 0 nปริญญาจาก x, – พหุนามก – พหุนาม n ≠ 0 ถ้า n n = 1 สมการดังกล่าวเรียกว่าสมการตรรกยะจำนวนเต็มลดลง ปริญญา ให้เราพิจารณาสมการดังกล่าวเพื่อ nความหมายที่แตกต่างกัน

nและระบุวิธีการหลักในการแก้ปัญหาเหล่านั้น

n= 1 – สมการเชิงเส้น= 2 – สมการกำลังสอง

nสูตรจำแนก สูตรคำนวณราก ทฤษฎีบทของเวียตตา การเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์

= 3 – สมการลูกบาศก์

วิธีการจัดกลุ่ม ตัวอย่าง:+ 4 x 3 – 4x 2 – x– 1) = 0 x 1 = 4 , = 0 (x – 4)(x 2 = 1,x2 3 = -1.

x สมการกำลังสามส่วนกลับของแบบฟอร์ม 3 + ขวาน 2 + ขวาน + – พหุนามบีเอ็กซ์

วิธีการจัดกลุ่ม x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

= 0 เราแก้โดยการรวมพจน์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทของเบซูต์ ทฤษฎีบทราก (การเลือกราก Z ตามทฤษฎีบท แผนการของฮอร์เนอร์ เมื่อใช้วิธีนี้ จำเป็นต้องเน้นว่าการค้นหาในกรณีนี้มีจำกัด และเราเลือกรากโดยใช้อัลกอริธึมบางอย่างตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับ

- รากของสมการตรรกยะทั้งหมดที่กำหนดพร้อมสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม x2 3 – 9x 2 + 23xตัวอย่าง: + 1; + 3; + 5; + – 15 = 0 จะได้สมการ ให้เราเขียนตัวหารของพจน์อิสระ (

	x 3	x 2	x 1	x 0	15) ลองใช้แผนของฮอร์เนอร์:
	1	-9	23	-15
1	1	บทสรุป	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 – 15 = 0
	x 2	x 1	x 0

1 – รูท x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

เราได้รับ ( -รากและสมการกับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม การเลือกรากคิวตามทฤษฎีบท แผนการของฮอร์เนอร์ เมื่อใช้วิธีนี้จำเป็นต้องเน้นว่าการค้นหาในกรณีนี้มีขอบเขตและเราเลือกรากโดยใช้อัลกอริธึมบางอย่างตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับ

- รากของสมการตรรกศาสตร์จำนวนเต็มที่ไม่ได้ลดลงพร้อมค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม x 3 + 27x 2 – xตัวอย่าง: 9 + 1; + – 3 = 0 สมการไม่ได้ลดลง ให้เราเขียนตัวหารของพจน์อิสระ ( + 1; + 3; + 3). ให้เราเขียนตัวหารของสัมประสิทธิ์ที่กำลังสูงสุดของค่าที่ไม่รู้จัก - + 1; + ; + ; + 9) ดังนั้น เราจะมองหารากของค่าต่างๆ (

	x 3	x 2	x 1	x 0	15) ลองใช้แผนของฮอร์เนอร์:
	9	27	-1	-3
1	9	3). ลองใช้แผนของฮอร์เนอร์:	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0
-1	9	1 – ไม่ใช่รูท	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0
	9	-1 – ไม่ใช่รูท	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0
	x 2	x 1	x 0

1 – รูท x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

ราก เพื่อความสะดวกในการคำนวณเมื่อเลือก Qการเปลี่ยนแปลงตัวแปรทำได้สะดวก ไปที่สมการที่กำหนดแล้วเลือก Z -ราก.

ถ้าเทอมจำลองคือ 1

.

หากใช้แบบฟอร์มแทนได้ y = kx

.

สูตรคาร์ดาโน มีวิธีการสากลในการแก้สมการกำลังสาม - นี่คือสูตรคาร์ดาโน สูตรนี้เกี่ยวข้องกับชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เจโรลาโม คาร์ดาโน (1501–1576), นิโคโล ตาร์ตาเกลีย (1500–1557) และสคิปิโอเน เดล เฟอร์โร (1465–1526) สูตรนี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของหลักสูตรเรา

n= 4 – สมการของระดับที่สี่

= 3 – สมการลูกบาศก์

- รากของสมการตรรกยะทั้งหมดที่กำหนดพร้อมสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม x2 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5เอ็กซ์ – 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

วิธีการแทนที่ตัวแปร

สมการกำลังสองของแบบฟอร์ม สมการกำลังสามส่วนกลับของแบบฟอร์ม 4 + ขวาน 2 + วิ = 0 .

วิธีการจัดกลุ่ม x 4 + 5x 2 – 36 = 0. การแทนที่ ย = x 2. จากที่นี่ ย 1 = 4, ย 2 = -9. นั่นเป็นเหตุผล x 1,2 = + 2 .

สมการซึ่งกันและกันของระดับที่สี่ของแบบฟอร์ม สมการกำลังสามส่วนกลับของแบบฟอร์ม 4 + บีเอ็กซ์ 3+ค x 2 + ขวาน + – พหุนาม = 0.

เราแก้โดยการรวมพจน์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เดียวกันโดยการแทนที่แบบฟอร์ม

สมการกำลังสามส่วนกลับของแบบฟอร์ม 4 + ขวาน 3 + ซีเอ็กซ์ 2 – ขวาน + – พหุนาม = 0.

สมการที่เกิดซ้ำทั่วไปของระดับที่สี่ของแบบฟอร์ม สมการกำลังสามส่วนกลับของแบบฟอร์ม 4 + ขวาน 3 + ซีเอ็กซ์ 2 + kbx + เค 2ก = 0.

การทดแทนทั่วไป การทดแทนมาตรฐานบางอย่าง

ตัวอย่างที่ 3 . การเปลี่ยนมุมมองทั่วไป(ตามมาจากประเภทของสมการเฉพาะ)

n = 3.

สมการกับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม การคัดเลือกราก Q n = 3.

สูตรทั่วไป. มีวิธีการสากลในการแก้สมการระดับที่สี่ สูตรนี้เกี่ยวข้องกับชื่อของ Ludovico Ferrari (1522–1565) สูตรนี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของหลักสูตรเรา

n > 5 – สมการของระดับที่ห้าและสูงกว่า

สมการกับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม การเลือกราก Z ตามทฤษฎีบท แผนการของฮอร์เนอร์ อัลกอริธึมจะคล้ายกับที่กล่าวไว้ข้างต้นสำหรับ n = 3.

สมการกับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม การคัดเลือกราก Qขึ้นอยู่กับทฤษฎีบท แผนการของฮอร์เนอร์ อัลกอริธึมจะคล้ายกับที่กล่าวไว้ข้างต้นสำหรับ n = 3.

สมการสมมาตร สมการส่วนกลับใดๆ ของดีกรีคี่มีราก x= -1 และหลังจากแยกตัวประกอบออกเป็นปัจจัยแล้ว เราพบว่าตัวประกอบตัวหนึ่งมีรูปแบบ ( x+ 1) และปัจจัยที่สองคือสมการส่วนกลับของระดับคู่ (ระดับของมันคือหนึ่งน้อยกว่าระดับของสมการดั้งเดิม) สมการส่วนกลับใดๆ ของดีกรีคู่ร่วมกับรากของรูปแบบ x = φยังมีรากของพันธุ์อีกด้วย เมื่อใช้ข้อความเหล่านี้ เราจะแก้ปัญหาโดยการลดระดับของสมการที่กำลังศึกษาอยู่

วิธีการแทนที่ตัวแปร การใช้ความเป็นเนื้อเดียวกัน

ไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับการแก้สมการทั้งหมดของระดับที่ 5 (แสดงโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เปาโล รัฟฟินี (1765–1822) และนักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ นีลส์ เฮนริก อาเบล (1802–1829)) และระดับที่สูงกว่า (แสดงโดย เอวาริสต์ กาลัวส์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส (1811–1832) ))

ขอให้เราระลึกอีกครั้งว่าในทางปฏิบัติสามารถใช้งานได้ การรวมกันวิธีการที่ระบุไว้ข้างต้น สะดวกในการส่งผ่านไปยังชุดสมการระดับล่างด้วย แยกตัวประกอบสมการดั้งเดิม.
นอกขอบเขตของการสนทนาของเราในวันนี้คือสิ่งที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ วิธีการแบบกราฟิกการแก้สมการและ วิธีการแก้ปัญหาโดยประมาณสมการระดับที่สูงกว่า

มีบางสถานการณ์ที่สมการไม่มีราก R

การใช้คุณสมบัติของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

4. สรุป.

สรุป: ตอนนี้เราได้เข้าใจวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการต่าง ๆ ในระดับที่สูงกว่าแล้ว (สำหรับ n > 3). งานของเราคือการเรียนรู้วิธีใช้อัลกอริธึมที่ระบุไว้ข้างต้นอย่างมีประสิทธิภาพ เราจะต้องเรียนรู้ที่จะพิจารณาว่าวิธีการแก้ปัญหาใดในกรณีหนึ่งที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดขึ้นอยู่กับประเภทของสมการรวมทั้งใช้วิธีการที่เลือกอย่างถูกต้อง

5. การบ้าน.

: ย่อหน้าที่ 7 หน้า 164–174 หมายเลข 33–36, 39–44, 46.47

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

หัวข้อที่เป็นไปได้สำหรับรายงานหรือบทคัดย่อในหัวข้อนี้:

สูตรคาร์ดาโน
วิธีกราฟิกสำหรับการแก้สมการ ตัวอย่างการแก้ปัญหา
วิธีการแก้สมการโดยประมาณ

วิเคราะห์การเรียนรู้และความสนใจของนักเรียนในหัวข้อ:

ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าความสนใจของนักเรียนนั้นถูกกระตุ้นโดยความเป็นไปได้ในการคัดเลือกเป็นหลัก ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทของเบซูต์ ทฤษฎีบทราก (-รากและ -รากและ- รากของสมการโดยใช้อัลกอริธึมที่ค่อนข้างง่ายโดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ นักเรียนยังสนใจในการทดแทนตัวแปรประเภทมาตรฐานต่างๆ ซึ่งสามารถลดความซับซ้อนของประเภทของปัญหาได้อย่างมาก วิธีการแก้ไขปัญหาแบบกราฟิกมักเป็นที่สนใจเป็นพิเศษ ในกรณีนี้ คุณสามารถวิเคราะห์ปัญหาเพิ่มเติมโดยใช้วิธีการแก้สมการแบบกราฟิกได้ อภิปรายรูปแบบทั่วไปของกราฟสำหรับพหุนามดีกรี 3, 4, 5 วิเคราะห์ว่าจำนวนรากของสมการ 3, 4, 5 องศาสัมพันธ์กับลักษณะของกราฟที่เกี่ยวข้องอย่างไร ด้านล่างนี้คือรายชื่อหนังสือที่คุณสามารถค้นหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับหัวข้อนี้ได้

อ้างอิง:

วิเลนคิน เอ็น.ยา.และอื่น ๆ “พีชคณิต หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก” - M., Prosveshchenie, 2007 - 367 p.
Vilenkin N.Ya. , Shibasov L.P. , Shibasova Z.F.“เบื้องหลังหน้าหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ เลขคณิต พีชคณิต. เกรด 10-11” – ม., การศึกษา, 2551 – 192 น.
Vygodsky M.Ya.“คู่มือคณิตศาสตร์” – ม., AST, 2010 – 1,055 น.
กาลิตสกี้ ม.ล.“การรวบรวมปัญหาพีชคณิต บทช่วยสอนสำหรับเกรด 8-9 พร้อมการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก” - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 p.
ซวาวิช ลีและอื่นๆ “พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 8–11 คู่มือสำหรับโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูง” - M., Bustard, 1999 - 352 p.
Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.“ งานคณิตศาสตร์เพื่อเตรียมสอบข้อเขียนเกรด 9” - M. , Prosveshchenie, 2550 - 112 น.
อีวานอฟ เอ.เอ., อีวานอฟ เอ.พี.“การทดสอบเฉพาะเรื่องเพื่อการจัดระบบความรู้ทางคณิตศาสตร์” ตอนที่ 1 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 p.
อีวานอฟ เอ.เอ., อีวานอฟ เอ.พี.“การทดสอบเฉพาะเรื่องเพื่อการจัดระบบความรู้ทางคณิตศาสตร์” ตอนที่ 2 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 p.
อีวานอฟ เอ.พี.“การทดสอบและ การทดสอบในวิชาคณิตศาสตร์ คู่มือการฝึกอบรม” – ม., Fizmatkniga, 2008 – 304 น.
ไลบ์สัน เค.แอล.“รวบรวมงานภาคปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ เกรดส่วนที่ 2–9” – M., MTSNM, 2009 – 184 p.
มาคารีเชฟ ยู.เอ็น., มินดยุก เอ็น.จี."พีชคณิต. บทเพิ่มเติมสำหรับหนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนในโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก” – ม. การศึกษา, 2549 – 224 น.
มอร์ดโควิช เอ.จี."พีชคณิต. การศึกษาเชิงลึก ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 หนังสือเรียน” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 p.
สะวิน เอ.พี.“พจนานุกรมสารานุกรม นักคณิตศาสตร์หนุ่ม” – ม., การสอน, 2528 – 352 หน้า
เซอร์วิลโล จี.เอส., ซิโมนอฟ เอ.เอส. “วัสดุการสอนในพีชคณิตสำหรับเกรด 9 พร้อมการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก” - M., Prosveshchenie, 2549 - 95 น.
ชูลคอฟ พี.วี.“สมการและอสมการในรายวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน
ชูลคอฟ พี.วี.การบรรยาย 1–4” – ม. 1 กันยายน 2549 – 88 น.

“สมการและอสมการในรายวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

การบรรยาย 5–8” – อ. 1 กันยายน 2552 – 84 น.

ไปที่ช่อง YouTube ของเว็บไซต์ของเราเพื่อติดตามบทเรียนวิดีโอใหม่ทั้งหมด – พหุนามขั้นแรก เรามาจำสูตรพื้นฐานของกำลังและคุณสมบัติของมันกันก่อน

ผลคูณของตัวเลข

เกิดขึ้นกับตัวเอง n ครั้ง เราสามารถเขียนนิพจน์นี้ได้เป็น a … a=a n

1. ก 0 = 1 (ก ≠ 0)

3. n a m = n + m

4. (ก) ม. = นาโนเมตร

5. ก n ข n = (ab) n 7. n / a m = n - m

สมการกำลังหรือเลขชี้กำลัง

– นี่คือสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลัง (หรือเลขชี้กำลัง) และฐานคือตัวเลข ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:ใน xในตัวอย่างนี้

เลข 6 คือฐาน จะอยู่ด้านล่างเสมอและเป็นตัวแปร
ระดับหรือตัวบ่งชี้
16 x - 4 x - 6=0

ตอนนี้เรามาดูกันว่าสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลแก้ได้อย่างไร?

ลองใช้สมการง่ายๆ:

2 x = 2 3

ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้แม้กระทั่งในหัวของคุณ จะเห็นได้ว่า x=3 ท้ายที่สุด เพื่อให้ด้านซ้ายและขวาเท่ากัน คุณต้องใส่เลข 3 แทน x
มาดูวิธีตัดสินใจอย่างเป็นทางการ:

2 x = 2 3
x = 3

เพื่อที่จะแก้สมการดังกล่าว เราได้ลบออก บริเวณที่เหมือนกัน(นั่นคือสอง) แล้วจดสิ่งที่เหลืออยู่นี่คือองศา เราได้รับคำตอบที่เรากำลังมองหา

ตอนนี้ขอสรุปการตัดสินใจของเรา

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง:
1. จำเป็นต้องตรวจสอบ เหมือนกันว่าสมการนั้นมีฐานทางขวาและซ้ายหรือไม่ หากเหตุผลไม่เหมือนกัน เรากำลังหาทางเลือกในการแก้ไขตัวอย่างนี้
2. หลังจากฐานกลายเป็นเหมือนเดิมแล้ว เท่าเทียมกันองศาแล้วแก้สมการใหม่ที่ได้

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างบางส่วน:

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ

ฐานทางด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากับเลข 2 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถทิ้งฐานและเทียบองศาของพวกมันได้

x+2=4 จะได้สมการที่ง่ายที่สุด
x=4 – 2
x=2
คำตอบ: x=2

ในตัวอย่างต่อไปนี้ คุณจะเห็นว่าฐานต่างกัน: 3 และ 9

3 3x - 9 x+8 = 0

ขั้นแรก ย้ายเลขเก้าไปทางด้านขวา เราจะได้:

ตอนนี้คุณต้องสร้างฐานเดียวกัน เรารู้ว่า 9=3 2. ลองใช้สูตรกำลัง (a n) m = a nm

3 3x = (3 2) x+8

เราได้ 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 ตอนนี้คุณจะเห็นแล้วว่าทางด้านซ้ายและ ด้านขวาฐานจะเท่ากันและเท่ากับสาม ซึ่งหมายความว่าเราสามารถทิ้งมันไปและถือองศาให้เท่ากันได้

3x=2x+16 เราได้สมการที่ง่ายที่สุด
3x - 2x=16
x=16
คำตอบ: x=16

ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

ก่อนอื่น เราดูที่ฐาน ฐานสองและสี่ และเราต้องการให้พวกเขาเหมือนกัน เราแปลงค่าทั้งสี่โดยใช้สูตร (a n) m = a nm

4 x = (2 2) x = 2 2x

และเรายังใช้สูตรหนึ่ง a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

เพิ่มลงในสมการ:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แต่หมายเลข 10 และ 24 อื่นรบกวนเราจะทำอย่างไร? หากคุณมองใกล้ๆ คุณจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเรามี 2 2x ซ้ำกัน นี่คือคำตอบ - เราสามารถใส่ 2 2x ออกจากวงเล็บได้:

2 2x (2 4 - 10) = 24

ลองคำนวณนิพจน์ในวงเล็บ:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

เราหารสมการทั้งหมดด้วย 6:

ลองนึกภาพ 4=2 2:

2 2x = 2 2 ฐานเท่ากัน เราทิ้งมันไปและหาค่าองศาเท่ากัน
2x = 2 เป็นสมการที่ง่ายที่สุด หารมันด้วย 2 แล้วเราได้
x = 1
คำตอบ: x = 1

มาแก้สมการกัน:

9 x – 12*3 x +27= 0

มาแปลงกัน:
9 x = (3 2) x = 3 2x

เราได้รับสมการ:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

ฐานของเราเท่ากัน เท่ากับ 3 ในตัวอย่างนี้ คุณจะเห็นว่าสามฐานแรกมีดีกรีสองเท่า (2x) มากกว่าฐานที่สอง (แค่ x) ในกรณีนี้คุณสามารถแก้ไขได้ วิธีการทดแทน- เราแทนที่ตัวเลขด้วยระดับที่น้อยที่สุด:

จากนั้น 3 2x = (3 x) 2 = เสื้อ 2

เราแทนที่กำลัง x ทั้งหมดในสมการด้วย t:

เสื้อ 2 - 12t+27 = 0
เราได้สมการกำลังสอง การแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติเราได้รับ:
ส=144-108=36
เสื้อ 1 = 9
เสื้อ2 = 3

กลับไปสู่ตัวแปร x.

ใช้เวลา 1:
เสื้อ 1 = 9 = 3 x

ดังนั้น,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:
เสื้อ 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
คำตอบ: x 1 = 2; x 2 = 1.

บนเว็บไซต์คุณสามารถถามคำถามที่น่าสนใจได้ในส่วน HELP DECIDE เราจะตอบคุณอย่างแน่นอน

เข้าร่วมกลุ่ม

ในศตวรรษที่ 16 นักคณิตศาสตร์สะดุดกับจำนวนเชิงซ้อนเกือบโดยบังเอิญ (ดูบทที่ 11) ถึง ศตวรรษที่สิบแปดจำนวนเชิงซ้อนถือเป็นส่วนขยายของสนามของจำนวนจริง แต่การทำงานกับตัวเลขเหล่านี้ยังคงทำให้เกิดความคลาดเคลื่อนของความเท่าเทียมกัน ดังเช่นในงานเขียนที่ยอดเยี่ยมของลีโอนาร์ด อี. เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน Arithmetical Investigations (1801) หลีกเลี่ยงการใช้สิ่งที่เรียกว่า "ตัวเลขจินตภาพ" สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าส่วนที่สำคัญที่สุดของงานชิ้นนี้คือการพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตชิ้นแรก เกาส์ตระหนักดีว่าทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญเพียงใด โดยได้พิสูจน์เพิ่มเติมหลายข้อในช่วงปีต่อๆ มา ในปี 1849 เขาได้ปรับปรุงเวอร์ชันแรกใหม่ คราวนี้ใช้จำนวนเชิงซ้อน ในแง่สมัยใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าสำหรับสมการพหุนามจำกัดใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนจริงหรือเชิงซ้อน รากทั้งหมดจะเป็นจำนวนจริงหรือ จำนวนเชิงซ้อน- ดังนั้นเราจึงได้คำตอบเชิงลบสำหรับคำถามที่มีมานานว่าการแก้สมการพหุนามลำดับสูงนั้นจำเป็นต้องสร้างจำนวนลำดับที่สูงกว่าจำนวนเชิงซ้อนหรือไม่

ปัญหาที่ยุ่งยากที่สุดประการหนึ่งในพีชคณิตในยุคนั้นคือคำถามว่าพหุนามลำดับที่ 5 หรือแบบควินติก สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีพีชคณิตหรือไม่ กล่าวคือ ใช้ขั้นตอนพีชคณิตจำนวนจำกัด ปัจจุบันในโรงเรียนพวกเขาสอนสูตรการแก้สมการกำลังสอง และตั้งแต่ศตวรรษที่ 16 เป็นต้นมา วิธีการที่คล้ายกันนี้เป็นที่รู้จักในการแก้สมการระดับที่สามและสี่ (บทที่ 11) แต่ไม่พบวิธีการเดียวสำหรับควินติกส์ ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตอาจดูเหมือนมีโอกาสที่จะได้คำตอบเชิงบวก แต่ในความเป็นจริงแล้ว มันเพียงรับประกันว่าจะมีคำตอบอยู่ ไม่ได้กล่าวถึงการมีอยู่ของสูตรที่ให้คำตอบที่แน่นอน (วิธีการเชิงตัวเลขและกราฟิกโดยประมาณนั้นมีอยู่แล้วในตอนนั้น ). จากนั้นอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์สองคนที่มีชะตากรรมอันน่าเศร้าก็ปรากฏตัวขึ้น

Nils Henrik Abel (1802–1829) เกิดมาในครอบครัวใหญ่ที่ยากจนซึ่งอาศัยอยู่ในหมู่บ้านเล็กๆ ในประเทศนอร์เวย์ ซึ่งเป็นประเทศที่ถูกทำลายล้างจากสงครามอันยาวนานกับอังกฤษและสวีเดน ครูผู้ใจดีกับเด็กชายได้ให้บทเรียนส่วนตัวแก่เขา แต่หลังจากที่พ่อของเขาเสียชีวิตเมื่ออายุได้ 18 ปี แม้ว่าเขาจะอายุยังน้อยและมีสุขภาพที่อ่อนแอ อาเบลก็ถูกบังคับให้เลี้ยงดูครอบครัวของเขา ในปีพ.ศ. 2367 เขาได้ตีพิมพ์บทความทางวิทยาศาสตร์โดยระบุว่าควินติกไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีพีชคณิต เนื่องจากแท้จริงแล้วเป็นพหุนามใดๆ ที่มีลำดับที่สูงกว่า อาเบลเชื่อว่าบทความนี้จะเป็นเสมือนตั๋วของเขาสู่โลกวิทยาศาสตร์ และส่งไปให้เกาส์ที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเงน น่าเสียดายที่เกาส์ไม่เคยใช้มีดตัดหน้ากระดาษเลย (สมัยนั้นผู้อ่านคนไหนก็ต้องทำเช่นนั้น) และไม่ได้อ่านบทความเลย ในปี พ.ศ. 2369 รัฐบาลนอร์เวย์ได้จัดหาเงินทุนให้อาเบลเดินทางไปทั่วยุโรปในที่สุด ด้วยเกรงว่าการสื่อสารเป็นการส่วนตัวกับเกาส์จะไม่ทำให้เขามีความสุขมากนัก นักคณิตศาสตร์จึงตัดสินใจไม่ไปเยี่ยมเกิตทิงเงน แต่ไปที่เบอร์ลินแทน ที่นั่นเขาเป็นเพื่อนกับ August Leopold Krelle (1780–1855) นักคณิตศาสตร์ สถาปนิก และวิศวกรผู้ให้คำแนะนำกระทรวงศึกษาธิการปรัสเซียนในเรื่องคณิตศาสตร์ Krell ตั้งใจที่จะก่อตั้ง Journal of Pure and Applied Mathematics ดังนั้นอาเบลจึงมีโอกาสเผยแพร่ผลงานของเขาและตีพิมพ์จำนวนมากโดยเฉพาะในวารสารฉบับแรก ๆ ซึ่งเริ่มได้รับการพิจารณาว่าเป็นสิ่งพิมพ์ทางวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงและน่าเชื่อถือในทันที ชาวนอร์เวย์ได้เผยแพร่ข้อพิสูจน์ของเขาฉบับขยายที่นั่นว่า quintic ไม่สามารถตัดสินใจได้โดยวิธีพีชคณิต แล้วเขาก็เดินทางไปปารีส การเดินทางครั้งนี้ทำให้อาเบลไม่พอใจอย่างมาก เนื่องจากเขาไม่ได้รับการสนับสนุนที่ต้องการจากนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เขาสนิทสนมกับ Augustin Louis Cauchy (1789–1857) ซึ่งในขณะนั้นเป็นผู้ส่องสว่างชั้นนำด้านการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แต่มีบุคลิกที่ซับซ้อนมาก ดังที่อาเบลกล่าวไว้เองว่า "คอชีเป็นบ้าและทำอะไรไม่ได้เลย แม้ว่าในปัจจุบันเขาจะเป็นเพียงคนเดียวที่มีความสามารถด้านคณิตศาสตร์ก็ตาม" หากเราพยายามพิสูจน์ให้เห็นถึงการแสดงความไม่เคารพและการละเลยที่เล็ดลอดออกมาจาก Gauss และ Cauchy เราสามารถพูดได้ว่า quintic นั้นได้รับชื่อเสียงและดึงดูดความสนใจของทั้งนักคณิตศาสตร์และนักสร้างสรรค์ต้นฉบับที่เคารพนับถือ อาเบลเดินทางกลับนอร์เวย์ซึ่งเขาป่วยเป็นวัณโรคมากขึ้น เขายังคงส่งงานของเขาไปที่ Crelle แต่เสียชีวิตในปี พ.ศ. 2372 โดยไม่รู้ว่าชื่อเสียงของเขาได้รับการยอมรับในโลกวิทยาศาสตร์มากเพียงใด สองวันหลังจากการตายของเขา อาเบลได้รับข้อเสนอให้เข้ารับตำแหน่งทางวิทยาศาสตร์ในกรุงเบอร์ลิน

อาเบลแสดงให้เห็นว่าพหุนามใดๆ ที่อยู่เหนือลำดับที่สี่ไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้ราก เช่น รากที่สอง รากที่สาม หรือลำดับที่สูงกว่า อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขที่ชัดเจนซึ่งในกรณีพิเศษสามารถแก้พหุนามเหล่านี้ได้ และวิธีการแก้นั้นถูกกำหนดโดย Galois Évariste Galois (1811–1832) มีชีวิตที่สั้นและมีความสำคัญ เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีพรสวรรค์อย่างเหลือเชื่อ Galois ไม่ยอมให้อภัยกับคนที่เขาถือว่ามีความสามารถน้อยกว่าตัวเขาเอง และในขณะเดียวกันเขาก็เกลียดความอยุติธรรมทางสังคม เขาไม่แสดงความสามารถทางคณิตศาสตร์เลยจนกระทั่งเขาได้อ่าน Elements of Geometry ของ Legendre (ตีพิมพ์ในปี 1794 หนังสือเล่มนี้เป็นตำราเรียนหลักในอีกร้อยปีข้างหน้า) จากนั้นเขาก็กลืนกินผลงานที่เหลือของ Legendre และต่อมาคือ Abel ความกระตือรือร้น ความมั่นใจในตนเอง และความไม่อดกลั้นของเขานำไปสู่ผลลัพธ์ที่เลวร้ายอย่างแท้จริงในความสัมพันธ์ของเขากับครูและผู้ตรวจสอบ Galois เข้าร่วมการแข่งขันเพื่อเข้าสู่ École Polytechnique ซึ่งเป็นแหล่งกำเนิดของคณิตศาสตร์ฝรั่งเศส แต่สอบไม่ผ่านเนื่องจากขาดการเตรียมตัว หลังจากพบกับครูคนใหม่ที่ยอมรับพรสวรรค์ของเขาได้ระยะหนึ่ง เขาก็สามารถควบคุมอารมณ์ได้ ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2372 Galois ได้ตีพิมพ์บทความเรื่องเศษส่วนต่อเนื่องชิ้นแรก ซึ่งเขาถือว่าเป็นงานที่สำคัญที่สุดของเขา เขาส่งข้อความเกี่ยวกับการค้นพบของเขาไปที่ Academy of Sciences และ Cauchy สัญญาว่าจะนำเสนอสิ่งเหล่านั้น แต่ลืมไป ยิ่งกว่านั้นเขายังทำต้นฉบับหาย

ความล้มเหลวครั้งที่สองของ Galois ในการเข้าสู่ École Polytechnique ได้กลายเป็นส่วนหนึ่งของนิทานพื้นบ้านทางคณิตศาสตร์ เขาคุ้นเคยกับการเอาความคิดทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมาไว้ในหัวตลอดเวลา จนเขาโกรธมากจากการที่ผู้สอบจู้จี้เล็กๆ น้อยๆ เนื่องจากผู้ตรวจสอบไม่เข้าใจคำอธิบายของเขา เขาจึงโยนยางลบไวท์บอร์ดไปที่หน้าหนึ่งในนั้น ไม่นานหลังจากนั้น พ่อของเขาก็เสียชีวิต ฆ่าตัวตายอันเป็นผลมาจากอุบายในโบสถ์ จลาจลเกิดขึ้นในงานศพของเขา ในเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2373 Galois ได้เขียนบทความสามฉบับต่อไปนี้ โดยส่งไปที่ Academy of Sciences for the Grand Prix in Mathematics โจเซฟ ฟูริเยร์ ซึ่งขณะนั้นเป็นเลขานุการของสถาบันการศึกษา เสียชีวิตโดยไม่ได้อ่าน และหลังจากที่เขาเสียชีวิต บทความเหล่านั้นก็ไม่พบในเอกสารของเขา ความผิดหวังที่ท่วมท้นเช่นนี้คงจะท่วมท้นใครก็ตาม กาลัวส์กบฏต่อผู้มีอำนาจเพราะเขารู้สึกว่าพวกเขาไม่ตระหนักถึงข้อดีของเขาและทำลายบิดาของเขา เขากระโจนเข้าสู่การเมืองและกลายเป็นพรรครีพับลิกันที่กระตือรือร้น - ไม่ใช่การตัดสินใจที่ฉลาดที่สุดในฝรั่งเศสในปี 1830 ในความพยายามครั้งสุดท้าย เขาได้ส่งรายงานทางวิทยาศาสตร์ไปยังนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อดัง Simeon Denis Poisson (1781–1840) ซึ่งตอบสนองโดยขอหลักฐานเพิ่มเติม

นี่เป็นฟางเส้นสุดท้าย ในปี พ.ศ. 2374 Galois ถูกจับกุมสองครั้ง ครั้งแรกในข้อหาเรียกร้องให้ลอบสังหารกษัตริย์หลุยส์ ฟิลิปป์ และจากนั้นเพื่อปกป้องพระองค์ เจ้าหน้าที่กลัวว่าจะมีการกบฏของพรรครีพับลิกัน! ครั้งนี้เขาถูกตัดสินจำคุกหกเดือนในข้อหาสวมเครื่องแบบของกองพันปืนใหญ่ที่ยุบกองทัพซึ่งเขาเข้าร่วมอย่างผิดกฎหมาย เมื่อถูกปล่อยตัวโดยทัณฑ์บน เขารับหน้าที่ที่ทำให้เขารังเกียจพอๆ กับทุกสิ่งทุกอย่างในชีวิต ในจดหมายถึงเชอวาลิเยร์เพื่อนผู้อุทิศตน รู้สึกถึงความผิดหวัง เมื่อวันที่ 29 พฤษภาคม พ.ศ. 2375 เขายอมรับการท้าทายในการดวลโดยไม่ทราบสาเหตุทั้งหมด “ฉันตกเป็นเหยื่อของพฤติกรรมที่ไม่ซื่อสัตย์ ชีวิตของฉันกำลังจะตายในการทะเลาะวิวาทที่น่าสังเวช” เขาเขียนใน “จดหมายถึงพรรครีพับลิกันทั้งหมด” มากที่สุด งานที่มีชื่อเสียง Galois ถูกร่างขึ้นในคืนก่อนการดวลที่ร้ายแรง คำบ่นกระจัดกระจายอยู่ตามขอบ: “ฉันไม่มีเวลาแล้ว ฉันไม่มีเวลาอีกแล้ว” เขาก็ต้องปล่อยให้คนอื่น คำชี้แจงโดยละเอียดขั้นตอนกลางที่ไม่จำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจแนวคิดหลัก เขาจำเป็นต้องเขียนพื้นฐานของการค้นพบของเขาลงบนกระดาษ - ต้นกำเนิดของสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีบทของกาลัวส์ เขายุติพินัยกรรมของเขาด้วยการขอให้เชอวาลิเยร์ "ร้องขอจาโคบีและเกาส์ให้แสดงความคิดเห็นต่อสาธารณะ ไม่ใช่ในเรื่องความถูกต้อง แต่เกี่ยวกับความสำคัญของทฤษฎีบทเหล่านี้" เช้าตรู่ กาลัวส์ไปพบกับคู่ต่อสู้ของเขา พวกเขาต้องยิงจากระยะ 25 ขั้น กาลัวส์ได้รับบาดเจ็บและเสียชีวิตในโรงพยาบาลในเช้าวันรุ่งขึ้น เขาอายุเพียงยี่สิบปี

Galois สร้างผลงานของ Lagrange และ Cauchy แต่เขาได้พัฒนาวิธีการทั่วไปมากขึ้น นี่เป็นความสำเร็จที่สำคัญอย่างยิ่งในด้านการแก้ปัญหาควินติกส์ นักวิทยาศาสตร์ให้ความสำคัญกับสมการดั้งเดิมหรือการตีความเชิงกราฟิกน้อยลง และคิดถึงธรรมชาติของรากมากขึ้น เพื่อให้ง่ายขึ้น Galois พิจารณาเฉพาะสิ่งที่เรียกว่า quintics ที่ลดลงไม่ได้นั่นคือสิ่งที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบในรูปแบบของพหุนามที่มีลำดับที่ต่ำกว่า (ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วสำหรับสมการพหุนามใด ๆ จนถึงลำดับที่สี่จะมีสูตรในการค้นหา ราก). โดยทั่วไป พหุนามที่ลดไม่ได้ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เชิงตรรกยะคือพหุนามที่ไม่สามารถแยกย่อยเป็นพหุนามที่ง่ายกว่าซึ่งมีสัมประสิทธิ์เชิงตรรกยะได้ ตัวอย่างเช่น (x 5 - 1) สามารถแยกตัวประกอบได้ (x-1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1)ในขณะที่ (x 5 - 2)ลดไม่ได้ เป้าหมายของกาลัวส์คือการกำหนดเงื่อนไขที่สามารถหาคำตอบทั้งหมดของสมการพหุนามทั่วไปที่ลดไม่ได้ในรูปของรากได้

กุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาคือรากของสมการพีชคณิตที่ลดไม่ได้นั้นไม่เป็นอิสระจากกัน แต่สามารถแสดงออกมาทีละตัวได้ ความสัมพันธ์เหล่านี้ถูกทำให้เป็นกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งเรียกว่ากลุ่มสมมาตรรูท - สำหรับควินติก กลุ่มนี้ประกอบด้วย 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 องค์ประกอบ อัลกอริธึมทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎี Galois มีความซับซ้อนมากและส่วนหนึ่งเป็นผลมาจากสิ่งนี้ จึงทำให้เข้าใจยากในตอนแรก แต่เมื่อระดับนามธรรมทำให้เขาสามารถย้ายจากการแก้สมการพีชคณิตไปสู่โครงสร้างพีชคณิตของกลุ่มที่เกี่ยวข้อง Galois ก็สามารถทำนายความสามารถในการแก้สมการโดยพิจารณาจากคุณสมบัติของกลุ่มดังกล่าวได้ ยิ่งกว่านั้น ทฤษฎีของเขายังจัดเตรียมวิธีการที่จะค้นพบรากเหง้าเหล่านี้ด้วย ในส่วนของควินติกส์ นักคณิตศาสตร์ โจเซฟ ลิอูวิลล์ (ค.ศ. 1809–1882) ซึ่งตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1846 ส่วนใหญ่ผลงานของ Galois ใน "Journal of Pure and Applied Mathematics" ของเขาตั้งข้อสังเกตว่านักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ได้พิสูจน์ "ทฤษฎีบทที่สวยงาม" และเพื่อ "เพื่อให้สมการที่ลดไม่ได้ของระดับดั้งเดิมจะสามารถแก้ไขได้ในรูปของรากจึงจำเป็น และเพียงพอแล้วที่รากทั้งหมดจะเป็นฟังก์ชันตรรกยะของทั้งสองฟังก์ชัน" เนื่องจากเป็นไปไม่ได้สำหรับกลุ่มควินติก จึงไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้ราก

ภายในสามปี โลกทางคณิตศาสตร์ได้สูญเสียดาวดวงใหม่ที่สว่างที่สุดไปสองดวง ข้อกล่าวหาร่วมกันและการค้นหาจิตวิญญาณตามมา และอาเบลและกาลัวส์ได้รับการยอมรับอย่างสมควร แต่เพียงมรณกรรมเท่านั้น ในปี พ.ศ. 2372 คาร์ล จาโคบี ได้เรียนรู้เกี่ยวกับต้นฉบับ "สูญหาย" ของอาเบลผ่านทางเลเจนเดร และในปี พ.ศ. 2373 เรื่องอื้อฉาวทางการทูตก็ปะทุขึ้นเมื่อกงสุลนอร์เวย์ในปารีสเรียกร้องให้ค้นพบบทความของเพื่อนร่วมชาติของเขา ในที่สุด Cauchy ก็พบบทความนี้ แต่บรรณาธิการของสถาบันก็หายไปอีกครั้ง! ในปีเดียวกันนั้นเอง อาเบลได้รับรางวัลกรังด์ปรีซ์สาขาคณิตศาสตร์ (ร่วมกับจาโคบี) แต่เขาเสียชีวิตไปแล้ว ในปี พ.ศ. 2384 ชีวประวัติของเขาได้รับการตีพิมพ์ ในปี ค.ศ. 1846 Liouville ได้แก้ไขต้นฉบับของ Galois เพื่อตีพิมพ์ และในบทนำได้แสดงความเสียใจที่สถาบันได้ปฏิเสธงานของ Galois ในตอนแรกเนื่องจากความซับซ้อน - "ความชัดเจนในการนำเสนอเป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่งเมื่อผู้เขียนนำผู้อ่านออกจากเส้นทางที่พ่ายแพ้ไปสู่ป่าที่ไม่มีใครเคยรู้จัก ดินแดน” เขากล่าวต่อว่า “กาลัวส์ไม่อยู่แล้ว! อย่าให้พวกเราตกอยู่ในคำวิจารณ์ที่ไร้ประโยชน์ ทิ้งจุดบกพร่องแล้วมาดูข้อดีกันดีกว่า! ผลไม้ ชีวิตสั้น Galois มีขนาดพอดีเพียงหกสิบหน้า บรรณาธิการวารสารคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัคร École Normale และ École Polytechnique แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับกรณี Galois ดังนี้: "ผู้สมัครที่มีสติปัญญาสูงถูกกำจัดโดยผู้ตรวจสอบที่มีระดับการคิดต่ำกว่า ผลรวมอัตตาของ Barbarus, quia ไม่ใช่ intelligor illis”

ก่อนอื่นหน้าสองของงานนี้ไม่มีภาระกับชื่อนามสกุลคำอธิบายสถานะทางสังคมตำแหน่งและศักดิ์ศรีเพื่อเป็นเกียรติแก่เจ้าชายผู้ตระหนี่ซึ่งกระเป๋าเงินของเขาจะถูกเปิดด้วยความช่วยเหลือของธูปเหล่านี้ - ด้วยการขู่ว่าจะปิด เมื่อการสรรเสริญสิ้นสุดลง คุณจะไม่เห็นคำแสดงความเคารพนับถือที่นี่ เขียนด้วยตัวอักษรที่มีขนาดใหญ่กว่าข้อความถึงสามเท่า จ่าหน้าถึงผู้ที่มีตำแหน่งสูงในด้านวิทยาศาสตร์ ถึงผู้มีพระคุณที่ฉลาดบางคน - เป็นสิ่งที่บังคับ (ฉันจะบอกว่าหลีกเลี่ยงไม่ได้) สำหรับคนที่อายุยี่สิบปีที่ต้องการ เพื่อเขียนบางสิ่งบางอย่าง ฉันไม่ได้บอกใครที่นี่ว่าฉันต้องได้รับคำแนะนำและการสนับสนุนสำหรับสิ่งดีๆ ทั้งหมดที่มาจากงานของฉัน ฉันไม่พูดแบบนี้เพราะมันจะเป็นเรื่องโกหก ถ้าฉันจะพูดถึงผู้ยิ่งใหญ่ในสังคมหรือในทางวิทยาศาสตร์ (ความแตกต่างระหว่างคนทั้งสองประเภทนี้แทบจะมองไม่เห็นในปัจจุบัน) ฉันสาบานว่ามันจะไม่เป็นสัญญาณของความกตัญญู ฉันเป็นหนี้พวกเขาที่ตีพิมพ์บทความแรกของทั้งสองบทความช้าไป และเขียนทั้งหมดนี้ในคุก ซึ่งเป็นสถานที่ที่แทบจะไม่ได้รับการพิจารณาว่าเหมาะสำหรับการไตร่ตรองทางวิทยาศาสตร์ และฉันมักจะประหลาดใจกับความยับยั้งชั่งใจและความสามารถในการรักษา ฉันปิดปากปราสาทที่เกี่ยวข้องกับโซอิลที่โง่เขลาและชั่วร้าย ฉันคิดว่าฉันสามารถใช้คำว่า "zoiles" ได้โดยไม่ต้องกลัวว่าจะถูกกล่าวหาว่าไม่เหมาะสม เนื่องจากนั่นคือสิ่งที่ฉันเรียกว่าฝ่ายตรงข้าม ฉันจะไม่เขียนที่นี่เกี่ยวกับวิธีการและเหตุผลที่ฉันถูกส่งเข้าคุก แต่ฉันต้องบอกว่าต้นฉบับของฉันบ่อยกว่าไม่เพียงแค่สูญหายไปในแฟ้มของสุภาพบุรุษสมาชิกของสถาบันการศึกษา แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วฉันไม่สามารถจินตนาการได้เช่นนั้น ความไม่รอบคอบในส่วนของผู้ที่รับผิดชอบต่อการเสียชีวิตของอาเบล ในความคิดของฉัน ใครๆ ก็อยากจะถูกเปรียบเทียบกับนักคณิตศาสตร์ที่เก่งกาจคนนี้ พอจะกล่าวได้ว่าบทความของฉันเกี่ยวกับทฤษฎีสมการถูกส่งไปยัง Academy of Sciences ในเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2373 ซึ่งสารสกัดจากบทความดังกล่าวถูกส่งไปในเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2372 แต่ไม่มีการพิมพ์ใดเลยและแม้แต่ต้นฉบับก็กลายเป็นไปไม่ได้ กลับ.

กาลัวส์ คำนำที่ไม่ได้เผยแพร่ พ.ศ. 2375

เมื่อพิจารณาจากจุดเริ่มต้นของการตีพิมพ์ซึ่งเราจะละเว้นที่นี่ข้อความนี้เขียนโดย Yuri Ignatievich และมันก็เขียนได้ดี และประเด็นต่างๆ ก็เป็นเรื่องเฉพาะเจาะจง แต่แค่โทรหารัสเซียแบบนั้น อย่างที่มูคินทำ...

ไม่ว่าใครจะรู้สึกอย่างไรเกี่ยวกับอำนาจต่อต้านประชาชน รัสเซียก็อยู่เหนือมันและไม่สมควรถูกดูหมิ่น แม้แต่จากผู้เปิดเผยเรื่องโกหกที่มีพรสวรรค์จากหน่วยงาน NASA ของอเมริกา

อุทธรณ์ไปยังสหาย มูคิน่า ยู.ไอ.

เรียนคุณยูริ อิกนาติวิช!ฉันรู้ว่าคุณเยี่ยมชมหน้าเหล่านี้ ดังนั้น ฉันจึงขอเรียนต่อคุณโดยตรง

เราทุกคนชื่นชมการทำงานที่ไม่เห็นแก่ตัวของคุณในสาขาการเปิดเผยคำโกหกของชาติตะวันตก คำโกหกของอเมริกา คำโกหกของนักเทียมวิทยา และคำโกหกของพวกเสรีนิยม ด้วยความยินดีและเป็นประโยชน์ต่อตัวเราและสังคมที่เราคิดถึงหัวข้อจริงจังที่คุณพูดถึงเราเป็นครั้งคราว ไม่ว่าจะเป็นเรื่องคุณธรรมหรืออภิปรัชญา ความรักต่อประวัติศาสตร์ของชาติ หรือการฟื้นฟูความยุติธรรม

อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความของคุณเกี่ยวกับมาตุภูมิร่วมกันของเรานั้นน่าสงสัยและน่าหงุดหงิดมาก

อย่างไรก็ตาม ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: คุณจะจัดลักษณะบุคคลที่เริ่มดูถูกแม่ของเขาซึ่งป่วยและผลให้หยุดทำงานชั่วคราวจะมีลักษณะอย่างไร

แต่รัสเซียไม่ว่าจะถูกเรียกว่าอะไร และไม่ว่ารัฐบาลจะดีหรือน่ารังเกียจแค่ไหน รัสเซียก็คือมาตุภูมิของเรา มาตุภูมิสำหรับเธอ ปู่ของเราทำให้เลือดและสละชีวิต

ดังนั้น การทำให้มันทัดเทียมกับพลังหมายถึงการลดความประเสริฐทางจิตวิญญาณลงสู่ระดับของวัตถุและแม้แต่ระดับต่ำลง เหล่านั้น. คุณกำลังเปรียบเทียบหมวดหมู่ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง สิ่งที่บุคคลผู้มีสติยอมรับไม่ได้

ฉันถามคุณเพื่อนที่รัก มูขินคิดเรื่องนี้อย่างจริงจัง

...และด้วยสมการ(ผมไม่รู้เรื่องนี้) สถานการณ์ก็เป็นเช่นนี้ วิธีค้นหารากของสมการกำลังสองมีการค้นพบในอียิปต์โบราณ

วิธีค้นหารากของสมการลูกบาศก์และสมการระดับที่ 4 ถูกค้นพบในศตวรรษที่ 16 แต่ไม่พบรากของสมการระดับ 5 จนถึงปี 2559 และไม่ใช่แค่คนธรรมดาเท่านั้นที่พยายาม

ในศตวรรษที่ 16 ผู้ก่อตั้งพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์ Francois Viète พยายามค้นหารากของสมการระดับที่ 5 ในศตวรรษที่ 19 Evariste Galois ผู้ก่อตั้งพีชคณิตระดับสูงสมัยใหม่ พยายามค้นหารากของ สมการระดับที่ 5 หลังจากนั้นนักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ Niels Henrik Abel พยายามค้นหารากของสมการระดับที่ 5 ซึ่งท้ายที่สุดก็ยอมแพ้และพิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้สมการระดับที่ 5 ใน มุมมองทั่วไป.

เราอ่านในวิกิพีเดียเกี่ยวกับข้อดีของอาเบล: “อาเบลสำเร็จการศึกษาที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับปัญหาโบราณ:พิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ของการแก้ในรูปแบบทั่วไป (เป็นอนุมูล) สมการระดับที่ 5...

ในพีชคณิต อาเบลพบเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับรากของสมการที่จะต้องแสดงเป็น "ราก" ผ่านสัมประสิทธิ์ของสมการนี้ ในไม่ช้า Galois ก็ค้นพบสภาพที่เพียงพอซึ่งความสำเร็จมาจากงานของอาเบล

อาเบลได้ยกตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของสมการระดับ 5 ซึ่งรากไม่สามารถแสดงเป็นอนุมูลได้ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถปิดปัญหาโบราณได้เป็นส่วนใหญ่”

อย่างที่คุณเห็นหากพวกเขาพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทPoincaréตลอดเวลาและ Perelman กลับกลายเป็นว่าประสบความสำเร็จมากกว่านักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ หลังจากนั้นนักคณิตศาสตร์ของ Abel ก็ไม่ได้ใช้สมการระดับที่ 5

และในปี 2557 นักคณิตศาสตร์จาก Tomsk Sergei Zaikovใครสามารถตัดสินได้จากรูปถ่ายว่าเขาอายุหลายปีแล้วและจากข้อมูลจากบทความเกี่ยวกับเขาว่าเขาสำเร็จการศึกษาจากคณะคณิตศาสตร์ประยุกต์และไซเบอร์เนติกส์ของ Tomsk มหาวิทยาลัยของรัฐในระหว่างงานของเขาเขาได้รับสมการระดับที่ห้า. ทางตัน? ใช่ มันเป็นทางตัน! แต่ Sergei Zaikov ก็รับหน้าที่ทำลายมัน

และในปี 2016 เขาได้ค้นพบวิธีแก้สมการระดับที่ 5 ในรูปแบบทั่วไป! เขาทำในสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ Galois และ Abel พิสูจน์แล้วว่าเป็นไปไม่ได้

ฉันพยายามค้นหาข้อมูลเกี่ยวกับ Sergei Zaikov บน Wikipedia แต่ต้องลงนรกกับคุณ! เกี่ยวกับนักคณิตศาสตร์ Sergei Zaikov และวิธีที่เขาพบคำตอบของสมการระดับที่ 5 ไม่มีข้อมูล!

สิ่งที่เพิ่มความน่าสนใจให้กับเรื่องนี้ก็คือสำหรับนักคณิตศาสตร์แล้วยังมีอะนาล็อกอยู่ รางวัลโนเบล -รางวัลอาเบล(โนเบลห้ามไม่ให้รางวัลแก่นักคณิตศาสตร์ และตอนนี้พวกเขาให้รางวัลเพื่อเป็นมูลทางคณิตศาสตร์ โดยเรียกพวกเขาว่า "ฟิสิกส์")

รางวัลคณิตศาสตร์ชิ้นนี้เป็นเกียรติแก่อาเบลคนเดียวกันกับที่ พิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ในสิ่งที่ Zaikov ทำ- อย่างไรก็ตาม ไม่อนุญาตให้เสนอชื่อตนเองเพื่อรับรางวัลนี้ แต่ Zaikov เป็นนักคณิตศาสตร์เพียงคนเดียว และไม่มีองค์กรใดที่สามารถเสนอชื่อเขาให้ได้รับรางวัลนี้ได้

จริงอยู่ เรามี Academy of Sciences แต่นักวิชาการไม่ได้นั่งอยู่ที่นั่นเพื่อพัฒนาคณิตศาสตร์ แต่เพื่อ "สร้างรายได้" ใครต้องการ Zaikov นี้ที่นั่น?

สำหรับสำนักข่าว Zaikov ไม่ใช่ Perelman! ดังนั้นการค้นพบของ Zaikov สำหรับสื่อจึงไม่ใช่เรื่องน่าตกใจ

ใช่ โปโรเชนโกเข้าผิดประตู! นี่คือความรู้สึกที่แท้จริง!

นักคณิตศาสตร์ Tomsk แก้ปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เป็นเวลาสองร้อยปี

ด้วยการถือกำเนิดของพีชคณิต หน้าที่หลักของมันคือการแก้สมการพีชคณิต การแก้สมการระดับที่สองเป็นที่รู้จักในบาบิโลนและ อียิปต์โบราณ- เราผ่านสมการเช่นนี้ในโรงเรียน จำสมการ x2 + ax + b = 0 และจำแนกได้หรือไม่

Sergey Zaikov กับหนังสือ

การแก้สมการพีชคณิตระดับ 3 และ 4 พบได้ในศตวรรษที่ 16 แต่ไม่สามารถแก้สมการขั้นที่ 5 ได้ ลากรองจ์พบสาเหตุ เขาแสดงให้เห็นว่าการแก้สมการระดับ 3 และ 4 เป็นไปได้เพราะสามารถลดสมการให้เป็นสมการที่แก้ไปแล้วได้ สมการของดีกรีที่สามสามารถลดลงเป็นสมการของดีกรีที่สองได้ และสมการของดีกรีที่สี่สามารถลดให้เป็นสมการของดีกรีที่สามได้ แต่สมการระดับที่ห้าลดเหลือสมการระดับที่หก นั่นคือ ซับซ้อนกว่า ดังนั้นจึงใช้วิธีแก้แบบเดิมไม่ได้

คำถามของการแก้สมการระดับที่ 5 ก้าวไปข้างหน้าเมื่อสองร้อยปีที่แล้วเมื่ออาเบลพิสูจน์ว่าสมการระดับที่ 5 ไม่สามารถแก้ได้ด้วยอนุมูลทั้งหมดนั่นคือในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสลูกบาศก์และรากอื่น ๆ ที่เรารู้จักจากโรงเรียน . และในไม่ช้า Galois เช่น เมื่อสองร้อยปีที่แล้ว ก็ได้ค้นพบเกณฑ์ที่อนุญาตให้เราตัดสินว่าสมการระดับที่ห้าใดที่สามารถแก้ไขได้ด้วยรากและสมการใดไม่สามารถทำได้ มันอยู่ในความจริงที่ว่าหมู่ Galois ที่แก้ได้ด้วยอนุมูลของสมการระดับที่ 5 จะต้องเป็นวัฏจักรหรือเมตาไซคลิก แต่กาลัวส์ไม่พบวิธีแก้สมการระดับที่ 5 ที่สามารถแก้ได้ด้วยอนุมูลได้ ทฤษฎีกาลัวส์มีชื่อเสียงมาก มีหนังสือหลายเล่มเขียนเกี่ยวกับทฤษฎีนี้

จนถึงขณะนี้ พบวิธีแก้ปัญหาเพียงบางส่วนสำหรับสมการระดับที่ 5 ที่แก้ได้ด้วยอนุมูล และเฉพาะในปีนี้ Sergei Zaikov นักคณิตศาสตร์ของ Tomsk ได้แก้ไขปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เป็นเวลาสองร้อยปี เขาตีพิมพ์หนังสือเรื่อง "วิธีแก้สมการพีชคณิตระดับ 5 ในรูปแบบราก" โดยเขาได้ระบุวิธีการแก้สมการระดับ 5 ใดๆ ที่สามารถแก้ได้โดยใช้ราก Zaikov สำเร็จการศึกษาจากคณะคณิตศาสตร์ประยุกต์และไซเบอร์เนติกส์จาก Tomsk State University เราก็สัมภาษณ์เขาได้

— Sergey ทำไมคุณถึงเริ่มแก้ไขปัญหานี้?

— ฉันต้องการคำตอบของสมการระดับที่ 5 เพื่อแก้ปัญหาจากคณิตศาสตร์สาขาอื่น ฉันเริ่มหาวิธีค้นหามันและเรียนรู้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดจะได้รับการแก้ไขแบบราก จากนั้นฉันก็พยายามค้นหาวิธีการแก้สมการที่แก้ได้ในรูปรากในวรรณคดีทางวิทยาศาสตร์ แต่ฉันพบเพียงเกณฑ์เดียวเท่านั้นที่สามารถตัดสินได้ว่าอันไหนแก้ได้และอันไหนแก้ไม่ได้ ฉันไม่ใช่นักพีชคณิต แต่แน่นอนว่า เมื่อสำเร็จการศึกษาจาก FPMK ฉันยังสามารถใช้วิธีการพีชคณิตได้ ดังนั้นในปี 2014 ฉันจึงเริ่มมองหาวิธีแก้ปัญหาอย่างจริงจังและพบด้วยตัวเอง

ฉันพบวิธีการนี้เมื่อสองปีที่แล้ว โดยฉันได้เตรียมหนังสือที่ไม่เพียงแต่อธิบายไว้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงวิธีการแก้สมการยกกำลังบางสมการที่มากกว่าห้าด้วย แต่ฉันไม่มีเงินที่จะเผยแพร่ ปีนี้ฉันตัดสินใจว่าการเผยแพร่งานนี้เพียงบางส่วนจะง่ายกว่าและใช้เวลาเพียงครึ่งหนึ่งเท่านั้นเพื่ออุทิศให้กับวิธีการแก้สมการระดับที่ 5 ในอนุมูล

เป้าหมายของฉันคือการเผยแพร่คู่มือสำหรับการแก้ปัญหานี้ ซึ่งนักคณิตศาสตร์ที่ต้องการแก้สมการเฉพาะสามารถเข้าใจได้ ดังนั้นฉันจึงทำให้มันง่ายขึ้น โดยลบสูตรยาวๆ จำนวนมากและส่วนสำคัญของทฤษฎีออก โดยตัดมันออกมากกว่าครึ่ง เหลือเพียงสิ่งที่จำเป็นเท่านั้น ดังนั้นฉันจึงเกิดหนังสือบางอย่างเช่นหนังสือ "สำหรับหุ่น" ซึ่งนักคณิตศาสตร์ที่ไม่คุ้นเคยกับทฤษฎีกาลัวส์สามารถแก้สมการที่พวกเขาต้องการได้

— สำหรับสิ่งนี้ ขอขอบคุณ Vladislav Beresnev มากซึ่งเรารู้จักมาหลายปีแล้ว เขาสนับสนุนการตีพิมพ์หนังสือ

— เป็นไปได้ไหมที่คุณจะได้รับรางวัลในวิชาคณิตศาสตร์จากการแก้ปัญหานี้? เช่น คุณพูดถึงอาเบล แต่มีรางวัลอาเบลในสาขาคณิตศาสตร์ซึ่งถือว่าเทียบเท่ากับรางวัลโนเบล?

— ความเป็นไปได้นี้ไม่สามารถตัดออกได้ทั้งหมด แต่คุณไม่ควรหวังเช่นกัน

ตัวอย่างเช่น การสมัครชิงรางวัล Abel Prize ประจำปี 2019 จะครบกำหนดภายในวันที่ 15 กันยายน นอกจากนี้ไม่อนุญาตให้เสนอชื่อตนเอง และฉันเป็นนักคณิตศาสตร์คนเดียว ไม่มีองค์กรหรือนักคณิตศาสตร์ชื่อดังที่จะเสนอชื่อผู้สมัครของฉัน ดังนั้นจะไม่ได้รับการพิจารณาไม่ว่าผลงานของฉันสมควรได้รับรางวัลนี้หรือไม่ และรางวัลนี้ถือเป็นจิตวิญญาณของรางวัลที่จะมอบให้กับผู้ที่สานต่องานของอาเบลหรือไม่ แต่ถึงแม้จะมีการนำเสนอ ทุกอย่างก็ขึ้นอยู่กับระดับงานของผู้สมัครคนอื่นด้วย

หนังสือเล่มนี้มีไว้สำหรับผู้ที่ไม่คุ้นเคยกับทฤษฎีกาลัวส์ พื้นฐานของทฤษฎีกาลัวส์จะให้ไว้เฉพาะในส่วนที่จำเป็นต่อการแก้สมการเท่านั้น มีการอธิบายวิธีการแก้อย่างละเอียด และแสดงเทคนิคที่ทำให้การแก้โจทย์ง่ายขึ้น ส่วนสำคัญของหนังสือเล่มนี้เน้นไปที่ตัวอย่างการแก้สมการเฉพาะ ผู้วิจารณ์หนังสือเล่มนี้คือ Doctor of Technical Sciences Gennady Petrovich Agibalov และ Doctor of Physics เสื่อ. วิทยาศาสตร์ ศาสตราจารย์ Petr Andreevich Krylov

เตรียมไว้ อนาสตาเซีย SKIRNEVSKAYA

โดยทั่วไป สมการระดับที่มากกว่า 4 ไม่สามารถแก้เป็นอนุมูลได้ แต่บางครั้งเรายังสามารถหารากของพหุนามทางด้านซ้ายในสมการที่มีระดับสูงสุดได้ หากเราแทนมันเป็นผลคูณของพหุนามในระดับไม่เกิน 4 การแก้สมการนั้นขึ้นอยู่กับการแยกตัวประกอบพหุนาม ดังนั้น เราขอแนะนำให้คุณทบทวนหัวข้อนี้ก่อนที่จะศึกษาบทความนี้

บ่อยครั้งที่คุณต้องจัดการกับสมการที่มีระดับสูงกว่าด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ในกรณีเหล่านี้ เราสามารถลองหารากที่เป็นตรรกยะแล้วแยกตัวประกอบพหุนามเพื่อแปลงมันเป็นสมการระดับต่ำที่แก้ได้ง่าย ในเนื้อหานี้เราจะดูตัวอย่างดังกล่าว

สมการระดับสูงกว่าพร้อมสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

สมการทั้งหมดในรูปแบบ a n xn + a n - 1 xn - 1 + - - + a 1 x + a 0 = 0 เราสามารถได้สมการที่มีดีกรีเท่ากันโดยการคูณทั้งสองข้างด้วย n n - 1 และทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเช่น y = a n x:

ก n x n + n - 1 x n - 1 + - - + ก 1 x + ก 0 = 0 ก n n · x n + n - 1 · n n - 1 · x n - 1 + … + 1 · (ก n) n - 1 · x + a 0 · (ก n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

ค่าสัมประสิทธิ์ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนเต็มด้วย ดังนั้นเราจะต้องแก้สมการที่ลดลงของระดับที่ n ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มโดยมีรูปแบบ x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0

เราคำนวณรากจำนวนเต็มของสมการ หากสมการมีรากจำนวนเต็ม คุณต้องค้นหารากเหล่านี้จากตัวหารของพจน์อิสระ a 0 ลองเขียนมันลงไปแล้วแทนที่มันลงในความเท่าเทียมเดิมทีละตัว แล้วตรวจดูผลลัพธ์ เมื่อเราได้เอกลักษณ์และพบรากของสมการแล้ว เราก็สามารถเขียนมันได้ในรูปแบบ x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 โดยที่ x 1 คือรากของสมการ และ P n - 1 (x) คือผลหารของ x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 หารด้วย x - x 1

เราแทนที่ตัวหารที่เหลือที่เขียนเป็น P n - 1 (x) = 0 โดยเริ่มจาก x 1 เนื่องจากรากสามารถทำซ้ำได้ หลังจากได้รับเอกลักษณ์แล้วจะถือว่าพบรูท x 2 และสามารถเขียนสมการได้ในรูปแบบ (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0 ที่นี่ P n - 2 (x) จะเป็นผลหารของการหาร P n - 1 (x) ด้วย x - x 2

เรายังคงเรียงลำดับตัวหารต่อไป ลองหารากทั้งหมดแล้วเขียนแทนจำนวนของมันว่า m หลังจากนั้น สมการดั้งเดิมสามารถแสดงเป็น x - x 1 x - x 2 · ... · x - x m · P n - m (x) = 0 โดยที่ P n - m (x) เป็นพหุนามของดีกรี n - m สำหรับการคำนวณ จะสะดวกในการใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์

หากสมการดั้งเดิมของเรามีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เราจะไม่สามารถหารากที่เป็นเศษส่วนได้ในที่สุด

เราลงเอยด้วยสมการ P n - m (x) = 0 ซึ่งหารากได้ด้วยวิธีที่สะดวก อาจไม่มีเหตุผลหรือซับซ้อน

ให้เราแสดงตัวอย่างเฉพาะวิธีการใช้โครงร่างโซลูชันนี้

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:หาคำตอบของสมการ x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการค้นหารากทั้งหมด

เรามีเทอมอิสระเท่ากับลบสาม มีตัวหารเท่ากับ 1, - 1, 3 และ - 3 ลองแทนที่พวกมันลงในสมการดั้งเดิมแล้วดูว่าอันไหนที่ให้ผลลัพธ์ที่เป็นอัตลักษณ์

เมื่อ x เท่ากับ 1 เราจะได้ 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0 ซึ่งหมายความว่าอันหนึ่งจะเป็นรากของสมการนี้

ทีนี้ลองหารพหุนาม x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 ด้วย (x - 1) ในคอลัมน์:

ดังนั้น x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

เราได้อัตลักษณ์ ซึ่งหมายความว่าเราพบรากของสมการอีกอันหนึ่ง ซึ่งเท่ากับ - 1

หารพหุนาม x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 ด้วย (x + 1) ในคอลัมน์:

เราเข้าใจแล้ว

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

เราแทนที่ตัวหารถัดไปให้เท่ากับ x 2 + x + 3 = 0 โดยเริ่มจาก - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

ความเท่าเทียมกันที่ได้จะไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าสมการไม่มีรากของจำนวนเต็มอีกต่อไป

รากที่เหลือจะเป็นรากของนิพจน์ x 2 + x + 3

ง = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

จากนี้ไปว่าตรีโกณมิติกำลังสองนี้ไม่มีรากที่แท้จริง แต่มีคอนจูเกตที่ซับซ้อน: x = - 1 2 ± i 11 2

ให้เราชี้แจงว่าแทนที่จะแบ่งเป็นคอลัมน์ สามารถใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ได้ ทำเช่นนี้: หลังจากที่เรากำหนดรากแรกของสมการแล้วเราก็กรอกตาราง

ในตารางค่าสัมประสิทธิ์ เราสามารถเห็นค่าสัมประสิทธิ์ผลหารของการหารพหุนามได้ทันที ซึ่งหมายถึง x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

หลังจากค้นหารูตถัดไปซึ่งก็คือ - 1 เราจะได้ดังต่อไปนี้:

คำตอบ: x = - 1, x = 1, x = - 1 2 ± ฉัน 11 2.

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข:แก้สมการ x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0

สารละลาย

พจน์อิสระมีตัวหาร 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12

มาตรวจสอบตามลำดับ:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

ซึ่งหมายความว่า x = 2 จะเป็นรากของสมการ หาร x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 ด้วย x - 2 โดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์:

ผลลัพธ์ที่ได้คือ x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

ซึ่งหมายความว่า 2 จะเป็นรากอีกครั้ง หาร x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 ด้วย x - 2:

ผลลัพธ์ที่ได้ (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0

การตรวจสอบตัวหารที่เหลือนั้นไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากความเท่าเทียมกัน x 2 + 3 x + 3 = 0 จะเร็วกว่าและสะดวกกว่าในการแก้ปัญหาโดยใช้ตัวจำแนก

มาแก้สมการกำลังสองกัน:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

เราได้รากคู่คอนจูเกตที่ซับซ้อน: x = - 3 2 ± i 3 2 .

คำตอบ: x = - 3 2 ± ผม 3 2 .

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:ค้นหารากที่แท้จริงของสมการ x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0

สารละลาย

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

เราคูณ 2 3 ทั้งสองข้างของสมการ:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

แทนที่ตัวแปร y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 ปี 4 + ปี 3 - 20 ปี - 48 = 0

เป็นผลให้เราได้สมการมาตรฐานระดับที่ 4 ซึ่งสามารถแก้ไขได้ตามโครงร่างมาตรฐาน ลองตรวจสอบตัวหาร หารแล้วพบว่ามีรากจริง 2 ตัว y = - 2, y = 3 และรากเชิงซ้อนสองตัว เราจะไม่ให้วิธีแก้ปัญหาทั้งหมดที่นี่ เนื่องจากการทดแทน รากที่แท้จริงของสมการนี้จะเป็น x = y 2 = - 2 2 = - 1 และ x = y 2 = 3 2

คำตอบ: x 1 = - 1 , x 2 = 3 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter