ตรีโกณมิติเกิดขึ้นและพัฒนาในสมัยโบราณโดยเป็นหนึ่งในสาขาดาราศาสตร์และเป็นเครื่องมือทางคอมพิวเตอร์ ตอบสนองความต้องการของมนุษย์ในทางปฏิบัติ ดาราศาสตร์กำหนดความจริงที่ว่าตรีโกณมิติทรงกลมเกิดขึ้นเร็วกว่าตรีโกณมิติแบน

ข้อมูลตรีโกณมิติบางอย่างเป็นที่รู้จักของชาวบาบิโลนและชาวอียิปต์โบราณ แต่มีการวางรากฐานของวิทยาศาสตร์นี้ไว้ กรีกโบราณนักดาราศาสตร์ชาวกรีกโบราณสามารถไขคำถามบางข้อเกี่ยวกับตรีโกณมิติที่เกี่ยวข้องกับดาราศาสตร์ได้สำเร็จ อย่างไรก็ตาม พวกเขาไม่ได้คำนึงถึงเส้นของไซน์ โคไซน์ ฯลฯ แต่เป็นคอร์ด บทบาทของเส้นไซน์ของมุมนั้นเล่นโดยคอร์ดที่รองรับส่วนโค้งเท่ากับ 2a

Hipparchus นักดาราศาสตร์ชาวกรีกในศตวรรษที่ 2 พ.ศ จ. รวบรวมตารางค่าตัวเลขของคอร์ดขึ้นอยู่กับขนาดของส่วนโค้งที่สนับสนุน ข้อมูลที่สมบูรณ์เพิ่มเติมจากตรีโกณมิติมีอยู่ใน "Almagest" ที่มีชื่อเสียงของปโตเลมี

ปโตเลมีแบ่งวงกลมออกเป็น 360 องศา และเส้นผ่านศูนย์กลางออกเป็น 120 ส่วน เขาถือว่ารัศมีเป็น 60 ส่วน (60H) พระองค์ทรงแบ่งแต่ละส่วนออกเป็น 60 นิ้ว และแต่ละนาทีเป็น 60 นิ้ว วินาทีเป็น 60 ส่วนสาม (60 นิ้ว) เป็นต้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง พระองค์ทรงใช้ระบบเลขฐานสิบหกซึ่งเป็นไปได้ว่ายืมมาจากชาวบาบิโลน ด้วยการใช้การแบ่งที่ระบุ ปโตเลมีแสดงด้านของรูปหกเหลี่ยมจารึกปกติหรือคอร์ดที่ยื่นส่วนโค้ง 60° ในรูปของรัศมี 60 ส่วน (60 H) และด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจารึกไว้หรือคอร์ด 90° มีค่าเท่ากับเลข 84 H 5110" คอร์ด 120° -- ด้านข้างของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่จารึกไว้ - เขาแสดงตัวเลข 103 X 55"23" เป็นต้น

การใช้ทฤษฎีบทที่รู้จักจากเรขาคณิต นักวิทยาศาสตร์พบการพึ่งพาที่เทียบเท่ากับสูตรสมัยใหม่ต่อไปนี้ โดยมีเงื่อนไขว่า:

โดยใช้ความสัมพันธ์เหล่านี้และค่าของคอร์ด 60° และ 72° ที่แสดงในส่วนของรัศมี เขาคำนวณคอร์ดที่รองรับส่วนโค้งที่ 6° จากนั้น 3°, 1.5° และสุดท้าย -0.75° (ค่าของ คอร์ดที่เขาแสดงไว้ประมาณนั้น)

การคำนวณทำให้ปโตเลมีสามารถรวบรวมตารางที่มีคอร์ดตั้งแต่ 0 ถึง 180° ซึ่งคำนวณด้วยความแม่นยำรัศมี 1 นิ้ว

ตารางนี้ซึ่งยังคงอยู่มาจนถึงทุกวันนี้ เทียบเท่ากับตารางไซน์ตั้งแต่ 0 ถึง 90° โดยเพิ่มขึ้นทีละ 0.25° โดยมีทศนิยมห้าตำแหน่งที่ถูกต้อง

ชื่อของเส้นไซน์และโคไซน์ถูกนำมาใช้ครั้งแรกโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย พวกเขายังรวบรวมตารางไซน์แรกๆ แม้ว่าจะมีความแม่นยำน้อยกว่าตารางปโตเลมีก็ตาม ในอินเดีย หลักคำสอนเรื่องปริมาณตรีโกณมิติเริ่มต้นขึ้นโดยพื้นฐานแล้ว ต่อมาเรียกว่า โกนิโอเมทรี (จาก "โกเนีย" - มุมและ "เมคริโอ" - การวัด)

หลักคำสอนเรื่องปริมาณตรีโกณมิติได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมในศตวรรษที่ 9-15 ในประเทศตะวันออกกลางในผลงานของนักคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งซึ่งไม่เพียงแต่ใช้ประโยชน์จากความสำเร็จที่มีอยู่ในขณะนั้นในสาขานี้เท่านั้น แต่ยังมีส่วนสำคัญต่อวิทยาศาสตร์อีกด้วย

มูฮัมหมัด บิน มูซา อัล-โคเรซมี (ศตวรรษที่ 9) ผู้โด่งดังได้รวบรวมตารางไซน์และโคแทนเจนต์ Al-Habash หรือ (Ahmed ibn Abdallah al-Marwazi) คำนวณตารางสำหรับแทนเจนต์, โคแทนเจนต์และโคซีแคนต์

ผลงานของอัล-บัตตานี (ประมาณ ค.ศ. 850-929) และอบู-ล-วาฟา อัล-บุซจานี (940-998) มีความสำคัญในการพัฒนาวิชาตรีโกณมิติ หลังได้รับทฤษฎีบทไซน์ของตรีโกณมิติทรงกลมคำนวณตารางสำหรับไซน์ด้วยช่วง 15" ค่าที่ได้รับความแม่นยำถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 8 และพบส่วนที่สอดคล้องกับเส้นตัดและโคซีแคนต์.

Abu Rayhan Muhammad ibn Ahmad al-Beruni (ตามการถอดความของ Biruni (973-1048)) เป็นการทั่วไปและในเวลาเดียวกันก็ชี้แจงผลลัพธ์ที่รุ่นก่อนของเขาประสบความสำเร็จในสาขาตรีโกณมิติ ในงาน "Canon of Mas"ud" เขาได้สรุปบทบัญญัติทั้งหมดที่ทราบในเวลานั้นจากตรีโกณมิติและเสริมอย่างมีนัยสำคัญ นวัตกรรมที่สำคัญที่ดำเนินการโดย Abu-l-Wafa ได้รับการยืนยันโดย al-Beruni แทนที่จะแบ่งรัศมีออกเป็นส่วน ๆ สร้างโดยปโตเลมี พวกเขาใช้รัศมีหน่วย Al-Beruni อธิบายรายละเอียดเหตุผลของการแทนที่นี้ โดยแสดงให้เห็นว่าการคำนวณทั้งหมดด้วยรัศมีหน่วยนั้นง่ายกว่ามาก

Nasir ad-Din Muhammad al-Tusi (1201-1274) ใน “Treatise on the Complete Quadrilateral” ของเขาได้นำเสนอข้อมูลตรีโกณมิติเป็นครั้งแรกในฐานะสาขาคณิตศาสตร์อิสระ และไม่ใช่ส่วนเสริมของดาราศาสตร์ บทความของเขามีอิทธิพลอย่างมากต่องานของ Regiomontanus (1436-1476) ในเวลาต่อมา

ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 15 Jamshid ibn Masud al-Kashi คำนวณตารางตรีโกณมิติด้วยความแม่นยำสูงโดยเพิ่มทีละ c G ซึ่งยังคงไม่มีใครเทียบได้เป็นเวลา 250 ปี

ในยุโรปในช่วงศตวรรษที่ 12-15 หลังจากที่งานทางคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์คลาสสิกบางส่วนได้รับการแปลจากภาษาอาหรับและกรีกเป็นภาษาละติน การพัฒนาวิชาตรีโกณมิติยังคงดำเนินต่อไป เมื่อแก้โจทย์สามเหลี่ยมระนาบ ทฤษฎีบทของไซน์ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย โดยค้นพบอีกครั้งโดย Leo Gersonides (1288-1344) ซึ่งอาศัยอยู่ทางตอนใต้ของฝรั่งเศส ซึ่งมีการแปลตรีโกณมิติเป็นภาษาละตินในปี 1342 ตัวแทนชาวยุโรปที่โดดเด่นที่สุดในยุคนี้ในสาขาตรีโกณมิติคือ Regiomontanus ตารางไซน์ที่กว้างขวางของเขาถึง G ด้วยความแม่นยำที่ 7 ตัวเลขที่สำคัญและนำเสนอผลงานวิชาตรีโกณมิติอย่างเชี่ยวชาญเรื่อง “หนังสือห้าเล่มเกี่ยวกับสามเหลี่ยมทุกชนิด” คุ้มค่ามากเพื่อการพัฒนาต่อไปตรีโกณมิติในศตวรรษที่ 16-17

บนธรณีประตูของศตวรรษที่ 17 ในการพัฒนาตรีโกณมิติมีทิศทางใหม่เกิดขึ้น - เชิงวิเคราะห์ หากก่อนหน้านี้เป้าหมายหลักของตรีโกณมิติถือเป็นการแก้สามเหลี่ยมการคำนวณองค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิตและหลักคำสอนของฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานทางเรขาคณิตจากนั้นในศตวรรษที่ 17-19 ตรีโกณมิติค่อยๆ กลายเป็นหนึ่งในบทของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ พบการประยุกต์ใช้ในกลศาสตร์ ฟิสิกส์ และเทคโนโลยีได้อย่างกว้างขวาง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาการเคลื่อนที่แบบออสซิลเลเตอร์และกระบวนการตามคาบอื่นๆ Viète ซึ่งมีการศึกษาทางคณิตศาสตร์ครั้งแรกเกี่ยวกับตรีโกณมิติ รู้เกี่ยวกับคุณสมบัติความเป็นคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ Johann Bernoulli นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส (1642-1727) ได้ใช้สัญลักษณ์สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว และหากการพัฒนาสัญลักษณ์เชิงพีชคณิตการแนะนำจำนวนลบและส่วนกำกับมีส่วนทำให้แนวคิดเรื่องมุมและส่วนโค้งขยายออกไปจากนั้นการพัฒนาหลักคำสอนเรื่องการเคลื่อนที่แบบสั่นเสียงแสงและคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าก็นำไปสู่ความจริงที่ว่า เนื้อหาหลักของวิชาตรีโกณมิติคือการศึกษาและคำอธิบายกระบวนการออสซิลเลชัน จากฟิสิกส์เป็นที่ทราบกันว่าสมการของการแกว่งฮาร์มอนิก (เช่นการแกว่งของลูกตุ้ม, กระแสไฟฟ้าสลับ) มีรูปแบบ:

กราฟของการออสซิลเลชันของฮาร์มอนิกคือไซนูซอยด์ ดังนั้นในฟิสิกส์และเทคโนโลยี การออสซิลเลชันของฮาร์มอนิกจึงมักเรียกว่าการออสซิลเลชันแบบไซนูซอยด์

ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 19 เจ. ฟูริเยร์ นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสได้พิสูจน์ว่าการเคลื่อนที่เป็นคาบใดๆ สามารถแสดงได้ (ด้วยความแม่นยำระดับใดก็ได้) โดยเป็นผลรวมของการแกว่งฮาร์มอนิกอย่างง่าย

การขยายแนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิตินำไปสู่การพิสูจน์บนพื้นฐานการวิเคราะห์ใหม่: ฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกกำหนดโดยไม่ขึ้นกับเรขาคณิตโดยใช้อนุกรมกำลังและแนวคิดอื่นๆ ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

I. นิวตันและแอล. ออยเลอร์มีส่วนในการพัฒนาทฤษฎีวิเคราะห์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ แอล. ออยเลอร์ควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นผู้ก่อตั้งทฤษฎีนี้ เขาให้ตรีโกณมิติทั้งหมด ดูทันสมัย- การพัฒนาทฤษฎีเพิ่มเติมดำเนินต่อไปในศตวรรษที่ 19 N.I. Lobachevsky และนักวิทยาศาสตร์คนอื่น ๆ ปัจจุบันตรีโกณมิติไม่ถือเป็นสาขาคณิตศาสตร์อิสระอีกต่อไป ส่วนที่สำคัญที่สุดคือหลักคำสอนเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของหลักคำสอนทั่วไปเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ศึกษาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสร้างขึ้นจากมุมมองที่เป็นหนึ่งเดียว อีกส่วนหนึ่ง - การแก้สามเหลี่ยม - ถือเป็นบทหนึ่งของเรขาคณิต (แบนและทรงกลม)

ประวัติความเป็นมาของตรีโกณมิติเชื่อมโยงกับดาราศาสตร์อย่างแยกไม่ออกเนื่องจากนักวิทยาศาสตร์โบราณเริ่มศึกษาความสัมพันธ์ของปริมาณต่างๆ ในรูปสามเหลี่ยมเพื่อแก้ปัญหาของวิทยาศาสตร์นี้

วันนี้ตรีโกณมิติเป็นสาขาย่อยของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างค่าของมุมและความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและยังเกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์อัตลักษณ์พีชคณิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

คำว่า "ตรีโกณมิติ"

คำนี้เองซึ่งเป็นที่มาของชื่อคณิตศาสตร์สาขานี้ ถูกค้นพบครั้งแรกในชื่อหนังสือที่เขียนโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Pitiscus ในปี 1505 คำว่า "ตรีโกณมิติ" มีต้นกำเนิดจากภาษากรีกและแปลว่า "การวัดรูปสามเหลี่ยม" เพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้นเราไม่ได้พูดถึงการวัดตามตัวอักษรของตัวเลขนี้ แต่เกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหานั่นคือการกำหนดค่าขององค์ประกอบที่ไม่รู้จักโดยใช้องค์ประกอบที่รู้จัก

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับตรีโกณมิติ

ประวัติศาสตร์ตรีโกณมิติเริ่มต้นเมื่อกว่าสองพันปีก่อน ในขั้นต้นการเกิดขึ้นนั้นสัมพันธ์กับความจำเป็นในการชี้แจงความสัมพันธ์ระหว่างมุมและด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ในกระบวนการวิจัยปรากฎว่าการแสดงออกทางคณิตศาสตร์ของความสัมพันธ์เหล่านี้จำเป็นต้องมีการแนะนำฟังก์ชันตรีโกณมิติพิเศษซึ่งเริ่มแรกได้รับการออกแบบเป็นตารางตัวเลข

สำหรับวิทยาศาสตร์หลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ แรงผลักดันในการพัฒนาคือประวัติศาสตร์ของตรีโกณมิติ ที่มาของหน่วยวัดมุม (องศา) ที่เกี่ยวข้องกับการวิจัยของนักวิทยาศาสตร์แห่งบาบิโลนโบราณนั้นมีพื้นฐานมาจากระบบสัญกรณ์หกเท่าซึ่งก่อให้เกิดสัญกรณ์ทศนิยมสมัยใหม่ที่ใช้ในวิทยาศาสตร์ประยุกต์หลายชนิด

สันนิษฐานว่าแต่เดิมตรีโกณมิติมีอยู่เป็นส่วนหนึ่งของดาราศาสตร์ จากนั้นก็เริ่มนำมาใช้ในสถาปัตยกรรม และเมื่อเวลาผ่านไป ความได้เปรียบในการประยุกต์วิทยาศาสตร์นี้ในด้านต่างๆ ของกิจกรรมของมนุษย์ก็เกิดขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ดาราศาสตร์ การนำทางทางทะเลและทางอากาศ อะคูสติก เลนส์ อิเล็กทรอนิกส์ สถาปัตยกรรม และอื่นๆ

ตรีโกณมิติในศตวรรษแรก

จากคำแนะนำของข้อมูลเกี่ยวกับโบราณวัตถุทางวิทยาศาสตร์ที่ยังมีชีวิตอยู่ นักวิจัยสรุปว่าประวัติศาสตร์ของตรีโกณมิติมีความเชื่อมโยงกับงานของนักดาราศาสตร์ชาวกรีก Hipparchus ซึ่งเป็นคนแรกที่คิดเกี่ยวกับการหาวิธีแก้รูปสามเหลี่ยม (ทรงกลม) ผลงานของเขามีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช

นอกจากนี้ หนึ่งในความสำเร็จที่สำคัญที่สุดในสมัยนั้นคือการกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างขากับด้านตรงข้ามมุมฉากในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาตรีโกณมิติในสมัยกรีกโบราณมีความเกี่ยวข้องกับชื่อของนักดาราศาสตร์ปโตเลมี - ผู้เขียนทฤษฎี geocentric ที่ครอบงำก่อนโคเปอร์นิคัส

นักดาราศาสตร์ชาวกรีกไม่รู้จักไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ พวกเขาใช้ตารางที่อนุญาตให้พวกเขาค้นหาค่าของคอร์ดของวงกลมโดยใช้ส่วนโค้งที่ยื่นออกมา หน่วยวัดคอร์ดคือ องศา นาที และวินาที หนึ่งองศาเท่ากับหนึ่งในหกสิบของรัศมี

นอกจากนี้การวิจัยของชาวกรีกโบราณยังได้พัฒนาการพัฒนาตรีโกณมิติทรงกลมอีกด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Euclid ใน "องค์ประกอบ" ของเขาให้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับกฎของอัตราส่วนของปริมาตรของลูกบอลที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางต่างกัน ผลงานของเขาในพื้นที่นี้กลายเป็นแรงผลักดันในการพัฒนาความรู้ที่เกี่ยวข้อง โดยเฉพาะเทคโนโลยี เครื่องมือทางดาราศาสตร์ทฤษฎีเส้นโครงแผนที่ ระบบพิกัดท้องฟ้า ฯลฯ

ยุคกลาง: การวิจัยโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย

นักดาราศาสตร์ยุคกลางของอินเดียประสบความสำเร็จอย่างมาก การตายของวิทยาศาสตร์โบราณในศตวรรษที่ 4 นำไปสู่การเคลื่อนย้ายศูนย์กลางการพัฒนาคณิตศาสตร์ไปยังอินเดีย

ประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นของวิชาตรีโกณมิติโดยแยกจากการสอนคณิตศาสตร์เริ่มขึ้นในยุคกลาง ตอนนั้นเองที่นักวิทยาศาสตร์ได้เปลี่ยนคอร์ดเป็นไซนัส การค้นพบนี้ทำให้สามารถแนะนำฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาด้านและมุมได้ นั่นคือตอนนั้นตรีโกณมิติเริ่มแยกตัวออกจากดาราศาสตร์และกลายเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์

อารยภตะมีตารางแรกที่มีไซน์ลากผ่าน 3 o, 4 o, 5 o ต่อมาตารางเวอร์ชันโดยละเอียดปรากฏขึ้น: โดยเฉพาะ Bhaskara นำเสนอตารางไซน์ใน 1 o

บทความพิเศษเรื่องตรีโกณมิติฉบับแรกปรากฏในศตวรรษที่ 10-11 ผู้เขียนคือ Al-Biruni นักวิทยาศาสตร์ชาวเอเชียกลาง และในงานหลักของเขา "The Canon of Mas'ud" (เล่มที่ 3) ผู้เขียนในยุคกลางเจาะลึกยิ่งขึ้นในตรีโกณมิติ โดยให้ตารางไซน์ (เพิ่มทีละ 15 นิ้ว) และตารางแทนเจนต์ (เพิ่มทีละ 1° ).

ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาตรีโกณมิติในยุโรป

หลังจากการแปลบทความภาษาอาหรับเป็นภาษาละติน (ศตวรรษที่ 12-13) แนวคิดส่วนใหญ่ของนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียและเปอร์เซียถูกยืมโดยวิทยาศาสตร์ของยุโรป การกล่าวถึงตรีโกณมิติครั้งแรกในยุโรปเกิดขึ้นตั้งแต่ศตวรรษที่ 12

ตามที่นักวิจัยระบุว่า ประวัติศาสตร์ของวิชาตรีโกณมิติในยุโรปมีความเกี่ยวข้องกับชื่อของริชาร์ดแห่งวอลลิงฟอร์ดชาวอังกฤษ ซึ่งเป็นผู้เขียนเรียงความเรื่อง "Four Treatises on Straight and Inverted Chords" มันเป็นงานของเขาที่กลายเป็นงานแรกที่อุทิศให้กับวิชาตรีโกณมิติโดยสิ้นเชิง เมื่อถึงศตวรรษที่ 15 นักเขียนหลายคนกล่าวถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติในงานของพวกเขา

ประวัติศาสตร์ตรีโกณมิติ: สมัยใหม่

ในยุคปัจจุบัน นักวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่เริ่มตระหนักถึงความสำคัญอย่างยิ่งยวดของวิชาตรีโกณมิติ ไม่เพียงแต่ในด้านดาราศาสตร์และโหราศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงในด้านอื่น ๆ ของชีวิตด้วย ประการแรกคือปืนใหญ่ ทัศนศาสตร์และการนำทางในการเดินทางทางทะเลระยะไกล ดังนั้น ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 16 หัวข้อนี้จึงเป็นที่สนใจของบุคคลสำคัญหลายคนในสมัยนั้น รวมทั้งนิโคเลาส์ โคเปอร์นิคุส และฟรองซัวส์ เวียตา โคเปอร์นิคัสอุทิศบทตรีโกณมิติหลายบทในบทความของเขาเรื่อง "On the Rotation of the Celestial Spheres" (1543) ต่อมาเล็กน้อยในทศวรรษที่ 60 ของศตวรรษที่ 16 Rheticus นักเรียนของ Copernicus ได้อ้างถึงตารางตรีโกณมิติสิบห้าหลักในงานของเขา "The Optical Part of Astronomy"

ใน “Mathematical Canon” (1579) เขาให้รายละเอียดและเป็นระบบ แม้ว่าจะไม่ได้รับการพิสูจน์ก็ตาม ลักษณะของระนาบและตรีโกณมิติทรงกลม และ Albrecht Durer ก็กลายเป็นคนที่ต้องขอบคุณคลื่นไซน์ที่ถือกำเนิดขึ้น

ข้อดีของเลออนฮาร์ดออยเลอร์

การให้เนื้อหาและรูปแบบตรีโกณมิติสมัยใหม่เป็นข้อดีของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ บทความของเขาเรื่อง "An Introduction to the Analysis of Infinites" (1748) มีคำจำกัดความของคำว่า "ฟังก์ชันตรีโกณมิติ" ที่เทียบเท่ากับฟังก์ชันสมัยใหม่ ดังนั้นนักวิทยาศาสตร์คนนี้จึงสามารถระบุได้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติบนเส้นจำนวนทั้งหมดเป็นไปได้ด้วยการวิจัยของออยเลอร์ ไม่เพียงแต่ในมุมลบที่อนุญาตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงมุมที่มากกว่า 360° ด้วย เขาเป็นคนแรกที่พิสูจน์ในงานของเขาว่าโคไซน์และแทนเจนต์ของมุมขวาเป็นลบ การขยายกำลังจำนวนเต็มของโคไซน์และไซน์ก็เป็นข้อดีของนักวิทยาศาสตร์คนนี้เช่นกัน ทฤษฎีทั่วไปของอนุกรมตรีโกณมิติและการศึกษาการลู่เข้าของอนุกรมผลลัพธ์ไม่ใช่เป้าหมายของการวิจัยของออยเลอร์ อย่างไรก็ตาม ในขณะที่ทำงานเกี่ยวกับปัญหาที่เกี่ยวข้อง เขาได้ค้นพบมากมายในด้านนี้ ต้องขอบคุณงานของเขาที่ทำให้ประวัติศาสตร์ของตรีโกณมิติดำเนินต่อไป ในงานของเขาเขาได้สัมผัสสั้น ๆ เกี่ยวกับประเด็นตรีโกณมิติทรงกลม.

การประยุกต์ตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติไม่ใช่วิทยาศาสตร์ประยุกต์ ในความเป็นจริง ชีวิตประจำวันงานของมันไม่ค่อยถูกนำไปใช้ อย่างไรก็ตามข้อเท็จจริงข้อนี้ไม่ได้ลดความสำคัญลง ตัวอย่างเช่น ที่สำคัญมากคือเทคนิคของสามเหลี่ยมซึ่งช่วยให้นักดาราศาสตร์สามารถวัดระยะทางไปยังดาวฤกษ์ใกล้เคียงได้อย่างแม่นยำและติดตามระบบนำทางด้วยดาวเทียม

ตรีโกณมิติยังใช้ในการนำทาง ทฤษฎีดนตรี อะคูสติก ทัศนศาสตร์ การวิเคราะห์ตลาดการเงิน อิเล็กทรอนิกส์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติ ชีววิทยา การแพทย์ (เช่น ในการถอดรหัสการตรวจอัลตราซาวนด์ อัลตราซาวนด์ และเอกซเรย์คอมพิวเตอร์) เภสัชกรรม เคมี ทฤษฎีจำนวน แผ่นดินไหววิทยา, อุตุนิยมวิทยา, สมุทรศาสตร์, การทำแผนที่, ฟิสิกส์หลายสาขา, ภูมิประเทศและธรณีวิทยา, สถาปัตยกรรม, สัทศาสตร์, เศรษฐศาสตร์, เทคโนโลยีอิเล็กทรอนิกส์, วิศวกรรมเครื่องกล, คอมพิวเตอร์กราฟิกผลึกศาสตร์ ฯลฯ ประวัติความเป็นมาของตรีโกณมิติและบทบาทในการศึกษาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและคณิตศาสตร์ยังคงมีการศึกษามาจนถึงทุกวันนี้ บางทีในอนาคตอาจมีการใช้งานด้านต่างๆ เพิ่มมากขึ้น

ประวัติความเป็นมาของแนวคิดพื้นฐาน

ประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นและพัฒนาการของวิชาตรีโกณมิติย้อนกลับไปมากกว่าหนึ่งศตวรรษ การแนะนำแนวคิดที่เป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ส่วนนี้ก็ไม่ได้เกิดขึ้นในชั่วข้ามคืนเช่นกัน

ดังนั้นแนวคิดเรื่อง "ไซน์" จึงมีประวัติยาวนานมาก พบการกล่าวถึงความสัมพันธ์ต่างๆ ระหว่างส่วนของสามเหลี่ยมและวงกลมได้ใน งานทางวิทยาศาสตร์มีอายุย้อนกลับไปถึงศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช ผลงานของนักวิทยาศาสตร์โบราณผู้ยิ่งใหญ่เช่น Euclid, Archimedes และ Apollonius of Perga มีการศึกษาเกี่ยวกับความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นครั้งแรกแล้ว การค้นพบใหม่จำเป็นต้องมีการชี้แจงคำศัพท์บางอย่าง ดังนั้น อารยภาตะ นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย จึงตั้งชื่อคอร์ดว่า "จีวา" ซึ่งแปลว่า "สายธนู" เมื่อข้อความทางคณิตศาสตร์ภาษาอาหรับถูกแปลเป็นภาษาละติน คำนี้ถูกแทนที่ด้วยความหมายที่คล้ายกัน นั่นคือ ไซน์ (เช่น "โค้งงอ")

คำว่า "โคไซน์" ปรากฏขึ้นในภายหลังมาก คำนี้เป็นคำย่อของวลีภาษาละติน "ไซน์เสริม"

การเกิดขึ้นของแทนเจนต์เกี่ยวข้องกับการถอดรหัสปัญหาในการกำหนดความยาวของเงา คำว่า “แทนเจนต์” ถูกนำมาใช้ในศตวรรษที่ 10 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับ Abu-l-Wafa ซึ่งเป็นผู้รวบรวมตารางแรกสำหรับหาค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ แต่นักวิทยาศาสตร์ชาวยุโรปไม่ทราบเกี่ยวกับความสำเร็จเหล่านี้ เรจิมอนทานุส นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันได้ค้นพบแนวคิดเหล่านี้อีกครั้งในปี 1467 การพิสูจน์ทฤษฎีบทแทนเจนต์ถือเป็นข้อดีของเขา และคำนี้แปลว่า "เกี่ยวข้อง"

ประวัติความเป็นมาของตรีโกณมิติเป็นวิทยาศาสตร์

ตรีโกณมิติก็เหมือนกับสาขาวิชาวิทยาศาสตร์อื่นๆ ที่เกิดขึ้นจากความต้องการ กิจกรรมภาคปฏิบัติบุคคล. ปัญหาต่างๆ ทางดาราศาสตร์ การนำทาง การสำรวจที่ดิน และสถาปัตยกรรม นำไปสู่ความจำเป็นในการพัฒนาวิธีการคำนวณองค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิตจากค่าที่ทราบขององค์ประกอบอื่น ๆ ซึ่งพบโดยการวัดโดยตรง ชื่อ "ตรีโกณมิติ" มีต้นกำเนิดจากภาษากรีก แปลว่า "การวัดรูปสามเหลี่ยม": (ตรีโกณมิติ) - สามเหลี่ยม (metrein) - การวัด

ต้นกำเนิดของตรีโกณมิติมีมาตั้งแต่สมัยโบราณ ก่อนยุคใหม่ นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนสามารถทำนายสุริยุปราคาและจันทรุปราคาได้ สิ่งนี้ช่วยให้เราสรุปได้ว่าพวกเขารู้ข้อมูลที่ง่ายที่สุดบางส่วนจากตรีโกณมิติ แนวคิดเรื่องไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมค่อยๆ ได้รับการกำหนดขึ้นในเรขาคณิตและดาราศาสตร์ โดยพื้นฐานแล้ว พวกมันดำเนินการโดยนักคณิตศาสตร์โบราณ โดยพิจารณาถึงความสัมพันธ์ของส่วนต่างๆ ในรูปสามเหลี่ยมและวงกลม

วัสดุที่สะสมจากการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์จำเป็นต้องมีการประมวลผลทางคณิตศาสตร์ Hipparchus นักดาราศาสตร์ชาวกรีกโบราณซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 2 ถือเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งวิชาตรีโกณมิติ พ.ศ Hipparchus เป็นผู้เขียนตารางตรีโกณมิติชุดแรก ตารางเหล่านี้มาไม่ถึงเรา แต่รวมอยู่ในงาน "The Great Construction" (Almagest) (ในรูปแบบที่ได้รับการปรับปรุง) โดยนักดาราศาสตร์ชาวอเล็กซานเดรียชื่อดัง Claudius Ptolemy ซึ่งอาศัยอยู่ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 2 ค.ศ ตารางเหล่านี้ซึ่งทำหน้าที่เป็นวิธีการแก้รูปสามเหลี่ยมมานานหลายศตวรรษให้ค่าของคอร์ดของวงกลมสำหรับ ความหมายที่แตกต่างกันมุมกลางที่สอดคล้องกัน หน่วยวัดคอร์ดเป็นส่วนหนึ่งของรัศมี

ตารางเหล่านี้ในสำนวนสมัยใหม่เป็นตารางที่มีค่าเป็นสองเท่าของไซน์ของครึ่งหนึ่งของมุมกลางที่สอดคล้องกัน พวกเขาให้ค่าของคอร์ดสำหรับทุกมุม (ทุกครึ่งองศา) ตั้งแต่ 00 ถึง 1800 อย่างไรก็ตามต้องจำไว้ว่าในตรีโกณมิติของกรีกโบราณไม่ได้แยกแยะว่าเป็นวิทยาศาสตร์อิสระ แต่ถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของดาราศาสตร์

คณิตศาสตร์อินเดียมีส่วนสำคัญในการพัฒนาตรีโกณมิติในช่วงศตวรรษที่ 5 - 12 ค.ศ นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียเริ่มคำนวณไม่ใช่คอร์ดเต็มอย่างที่ชาวกรีกทำ แต่คำนวณครึ่งหนึ่ง (นั่นคือ "เส้นไซน์") แนวไซนัสถูกเรียกโดยพวกเขาว่า "arhajiva" ซึ่งแปลว่า "ครึ่งหนึ่งของธนู" ชาวอินเดียรวบรวมตารางไซน์ซึ่งให้ค่าของเซมิคอร์ดที่วัดเป็นส่วน (นาที) ของวงกลมสำหรับทุกมุมตั้งแต่ 00 ถึง 900 (ทุกมุม) ตารางเหล่านี้แม่นยำกว่าตารางของปโตเลมี ความแม่นยำสูงของพวกเขาเห็นได้จากความจริงที่ว่าสำหรับค่าไซน์และโคไซน์และคำนวณที่แตกต่างจากค่าจริงน้อยกว่าหนึ่ง

นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียรู้ถึงความสัมพันธ์ซึ่งในรูปแบบสมัยใหม่เขียนดังนี้:

ในศตวรรษที่ XI - XIII ในงานของนักคณิตศาสตร์ในเอเชียกลาง Transcaucasia ตะวันออกกลางและอินเดีย การก่อตัวของตรีโกณมิติเป็นวิทยาศาสตร์ที่แยกจากกันเริ่มต้นขึ้น และในอนาคต ความต้องการด้านภูมิศาสตร์ ภูมิศาสตร์ และการทหาร มีส่วนทำให้เกิดการพัฒนาตรีโกณมิติในฐานะวิทยาศาสตร์ ตรีโกณมิติได้รับการพัฒนาอย่างเข้มข้นโดยเฉพาะในยุคกลาง โดยหลักๆ จะอยู่ทางตะวันออกเฉียงใต้: ในอินเดีย (อารยภาตา, บรามาคุปตา, ภัสการา) ในอุซเบกิสถาน, อาเซอร์ไบจาน และทาจิกิสถาน (นาซิรัด-ดิน แอท-ตูซี, อัล-กาชิ, อัล-บีรูนี) ในประเทศอาระเบีย ( อะหมัด, อิบนุ อับดุลลอฮ์, อัล-บัตตานี) เครดิตจำนวนมากสำหรับการก่อตัวของตรีโกณมิติในฐานะวิทยาศาสตร์ที่แยกจากกันเป็นของนักวิทยาศาสตร์อาเซอร์ไบจัน Nasirad-Din Muhamad al-Tusi (1201 - 1274) ผู้เขียน "บทความเกี่ยวกับ Quadrangle ที่สมบูรณ์" งานของนักวิทยาศาสตร์ในยุคนี้นำไปสู่การระบุตรีโกณมิติว่าเป็นสาขาคณิตศาสตร์อิสระสาขาใหม่ อย่างไรก็ตามงานของพวกเขายังไม่มีสัญลักษณ์ที่จำเป็นดังนั้นการพัฒนาตรีโกณมิติจึงช้า

ตั้งแต่ศตวรรษที่ 15 และในยุโรปก็มีผลงานเกี่ยวกับตรีโกณมิติปรากฏขึ้น นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน Johann Muller (1436 - 1476) ซึ่งเป็นที่รู้จักในสาขาวิทยาศาสตร์ภายใต้ชื่อ Regiomontanus ได้ตีพิมพ์ผลงาน "Five Books on Triangles of All Kinds" ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาตรีโกณมิติ เป็นการนำเสนอตรีโกณมิติอย่างเป็นระบบโดยเป็นอิสระ ระเบียบวินัยทางวิทยาศาสตร์- Regiomontan รวบรวมตารางไซน์ด้วยความแม่นยำสูงสุด ในตารางของเขา รัศมีของวงกลมถือเป็นตัวเลขที่เป็นพหุคูณของ 60 กล่าวคือ โดยพื้นฐานแล้ว การเปลี่ยนจากระบบการวัดเลขฐานสิบหกไปเป็นทศนิยม ในปี ค.ศ. 1595 งานของบาร์โธโลมิว พิทิสคัส เรื่อง “ตรีโกณมิติหรือ ภาพรวมโดยย่อบทความเรื่องการแก้รูปสามเหลี่ยม"

ในศตวรรษที่ XV - XVII ในยุโรป มีการรวบรวมและเผยแพร่ตารางตรีโกณมิติหลายตาราง นักวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดทำงานในการรวบรวม: N. Copernicus (1473 - 1543) และ เคปเลอร์ (1571 - 1630), F. Viet (1540 - 1603) ฯลฯ ในรัสเซียตารางตรีโกณมิติแรกได้รับการตีพิมพ์ในปี 1703 โดยการมีส่วนร่วมของ L.F. แมกนิตสกี้.

ดังนั้นตรีโกณมิติจึงเกิดขึ้นบนพื้นฐานทางเรขาคณิต มีภาษาเรขาคณิต และนำมาประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต การพัฒนาสัญลักษณ์พีชคณิตทำให้สามารถเขียนความสัมพันธ์ตรีโกณมิติในรูปแบบของสูตรได้ การใช้จำนวนลบทำให้สามารถพิจารณามุมและส่วนโค้งที่กำหนดทิศทางได้ และเพื่อขยายแนวคิดเรื่องเส้นตรีโกณมิติ (บางส่วนในวงกลม) สำหรับมุมใดก็ได้ ในช่วงเวลานี้ มีการสร้างพื้นฐานสำหรับการศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เป็นฟังก์ชันของการโต้แย้งเชิงตัวเลข ซึ่งเป็นพื้นฐานของทฤษฎีการวิเคราะห์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (วงกลม) เครื่องมือวิเคราะห์ที่ช่วยให้สามารถคำนวณค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยความแม่นยำระดับใดก็ได้ได้รับการพัฒนาโดยนิวตัน

ตรีโกณมิติได้รับรูปแบบที่ทันสมัยในผลงานของสมาชิกนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ สถาบันการศึกษารัสเซียวิทยาศาสตร์ แอล. ออยเลอร์ (1707 - 1783) ออยเลอร์เริ่มพิจารณาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นตัวเลข - ค่าของเส้นตรีโกณมิติในวงกลมซึ่งมีรัศมีเป็นหนึ่ง ("วงกลมตรีโกณมิติ" หรือ "วงกลมหน่วย") ออยเลอร์ให้คำตอบสุดท้ายกับเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติในจตุภาคต่างๆ โดยได้สูตรตรีโกณมิติทั้งหมดจากสูตรพื้นฐานหลายสูตร สร้างสูตรหลายสูตรที่ไม่มีใครรู้จักมาก่อน และใช้สัญลักษณ์แบบเดียวกัน ในงานเขียนของเขามีการค้นพบบันทึกเป็นครั้งแรก นอกจากนี้เขายังค้นพบความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันเลขชี้กำลังของอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อน จากผลงานของแอล. ออยเลอร์ ได้มีการรวบรวมตำราตรีโกณมิติโดยนำเสนอตามลำดับทางวิทยาศาสตร์ที่เข้มงวด

การสร้างทฤษฎีฟังก์ชันตรีโกณมิติเชิงวิเคราะห์ (ไม่ขึ้นกับเรขาคณิต) ซึ่งเริ่มต้นโดยออยเลอร์เสร็จสมบูรณ์ในผลงานของนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ชาวรัสเซีย N.I. โลบาเชฟสกี้.

มุมมองสมัยใหม่เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เป็นฟังก์ชันของการโต้แย้งเชิงตัวเลขส่วนใหญ่เนื่องมาจากการพัฒนาทางฟิสิกส์ กลศาสตร์ และเทคโนโลยี ฟังก์ชั่นเหล่านี้เป็นพื้นฐานของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ด้วยความช่วยเหลือซึ่งมีการศึกษากระบวนการเป็นระยะต่างๆ: การเคลื่อนที่แบบออสซิลเลเตอร์, การแพร่กระจายของคลื่น, การเคลื่อนที่ของกลไก, การแกว่งของกระแสไฟฟ้าสลับ ดังที่ J. Fourier (1768 - 1830) แสดงให้เห็น การเคลื่อนที่เป็นคาบใดๆ สามารถแสดงด้วยความแม่นยำระดับใดก็ได้ โดยเป็นผลรวมของการแกว่งแบบไซนูซอยด์ (ฮาร์มอนิก) ที่ง่ายที่สุด หากในช่วงเริ่มต้นของการพัฒนาตรีโกณมิติความสัมพันธ์

แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากสลับกับด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 1 เท่านั้น จากนั้นต่อมาความสัมพันธ์นี้ก็เริ่มสะท้อนถึงการเพิ่มของการเคลื่อนที่แบบสั่นสองครั้งพร้อมกับการรบกวนที่เกิดขึ้น

ดังนั้นในช่วงเริ่มต้นของการพัฒนาตรีโกณมิติจึงทำหน้าที่เป็นวิธีการในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเชิงคำนวณ เนื้อหาถือเป็นการคำนวณองค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดนั่นคือสามเหลี่ยม แต่ในตรีโกณมิติสมัยใหม่ มีความเป็นอิสระและเท่าเทียมกัน สำคัญมีการศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ช่วงเวลานี้ในการพัฒนาตรีโกณมิติได้จัดทำขึ้นโดยหลักสูตรการพัฒนากลศาสตร์การเคลื่อนที่แบบสั่นฟิสิกส์ของเสียงแสงและคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าทั้งหมด

ในช่วงเวลานี้ มีการให้ลักษณะทั่วไปของตรีโกณมิติหลายเทอม และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความสัมพันธ์ได้มาจาก โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติ เป็นต้น ฟังก์ชันต่างๆ ในปัจจุบันถือเป็นผลรวมของอนุกรมกำลัง:

ในเวลาเดียวกัน ได้มีการพัฒนาหลักคำสอนเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติของตัวแปรเชิงซ้อน

ตรีโกณมิติเป็นวิชา

ประวัติความเป็นมาของวิชาตรีโกณมิติในโรงเรียนมีประโยชน์อย่างมากสำหรับนักการศึกษาคณิตศาสตร์ นี่คือประวัติศาสตร์ของสาขาหนึ่งของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 18 เท่านั้น มีรูปลักษณ์ค่อนข้างเพรียวและสมบูรณ์

เป็นเรื่องยากสำหรับครูยุคใหม่ที่จะค้นหาสื่อการสอนที่เปิดเผยแนวคิดและโครงสร้างของโปรแกรมการสอนคณิตศาสตร์ก่อนหน้านี้ ขณะเดียวกันใน โรงเรียนสมัยใหม่ในเงื่อนไขของเสรีภาพทางวิชาการบางอย่างของครูข้อมูลนี้จะมีประโยชน์ในการวางแผนการศึกษาวิชาตรีโกณมิติเนื่องจากพวกเขาแสดงให้เห็นแนวทางอื่นในการศึกษาหลักสูตรนี้ซึ่งแตกต่างจากที่นำเสนอในปัจจุบันในหนังสือเรียนหลายเล่ม

ให้เราระลึกว่าเกี่ยวข้องกับการค้นพบ N.I. เรขาคณิตใหม่ของโลบาเชฟสกีเปิดเผยว่าตรีโกณมิติประกอบด้วยสองส่วนที่แตกต่างกัน:

• ก) ครั้งแรก (มักเรียกว่า goniometry) - ส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ โดยที่หลักคำสอนของฟังก์ชันตรีโกณมิติเหนือธรรมชาติพร้อมคุณสมบัติจะถูกเปิดเผยโดยไม่คำนึงถึงการพิจารณาทางเรขาคณิต
• b) ประการที่สอง - ตรีโกณมิติซึ่งมีการรวมการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิตของพื้นที่เฉพาะเข้าด้วยกัน

Goniometry ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ของความคล้ายคลึงกัน แต่ตรีโกณมิติในความหมายที่เหมาะสมนั้นขึ้นอยู่กับสัจพจน์นี้ ความสัมพันธ์แสดงลักษณะเฉพาะในการดำเนินการกรณีทั่วไปด้วยอนุกรมที่สอดคล้องกัน และเฉพาะในปริภูมิแบบยุคลิดเท่านั้นที่จะแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 1

ความสัมพันธ์ที่ทราบระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม

อสมการตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 1 มาแก้สมการกัน

สารละลาย. เมื่อแสดงแล้ว เราจะเขียนความไม่เท่าเทียมกัน (1) ใหม่ในรูปแบบ

ชุดของการแก้อสมการ (2) คือชุดของช่วงเวลา

ดังนั้นเราจึงพบวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด (1) โดยการแก้ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า

เราได้มันมาจากไหน?

นั่นคือ ชุดของการแก้อสมการ (1) ประกอบด้วยชุดของช่วงเวลา

ตัวอย่างที่ 2 มาแก้สมการกัน

สารละลาย. ให้เราเขียนอสมการ (3) ใหม่ในรูปแบบ

มาแสดงกันเถอะ เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันมีวิธีแก้ปัญหามากมาย เราจะพบวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกัน (3) โดยการแก้ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า

ความไม่เท่าเทียมกัน

ใช้ได้สำหรับ x ใดๆ และเซตของคำตอบของอสมการคือชุดของช่วงเวลา

เป็นชุดวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน (3)

ตัวอย่างที่ 3 ให้เรานิยามทั้งหมดว่าความไม่เท่าเทียมกันคืออะไร

มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี

สารละลาย. เมื่อหารอสมการ (4) ด้วยตัวเลข เราจะได้อสมการ

เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน (4)

เนื่องจากแล้วจะมีมุมเช่นและ ให้เราเขียนอสมการ (5) ใหม่ในรูปแบบ

อสมการสุดท้ายและด้วยเหตุนี้อสมการ (4) จึงมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธีสำหรับแต่ละรายการ นั่นคือ สำหรับแต่ละรายการ

การส่งผลงานที่ดีของคุณไปยังฐานความรู้เป็นเรื่องง่าย ใช้แบบฟอร์มด้านล่าง

นักศึกษา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ ที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงาน จะรู้สึกขอบคุณเป็นอย่างยิ่ง

โพสต์บน http://www.allbest.ru/

กรมสามัญศึกษากรุงมอสโก

สถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐ

อาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษา

วิทยาลัยการก่อสร้าง ครั้งที่ 38

รายงานคณิตศาสตร์

ในหัวข้อ: “ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาตรีโกณมิติ”

กรอกโดยนักเรียน:

อูดาโลวา เยฟเจเนีย

กลุ่ม: 1-T-1

มอสโก 2012

คำว่าตรีโกณมิติปรากฏครั้งแรกในปี 1505 ในชื่อหนังสือของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Pitiscus

ตรีโกณมิติเป็นคำภาษากรีกและหมายถึงการวัดรูปสามเหลี่ยมอย่างแท้จริง (ตรีโกณมิติ - สามเหลี่ยม และเมตร - ฉันวัด)

ในกรณีนี้ การวัดรูปสามเหลี่ยมควรเข้าใจว่าเป็นวิธีการแก้ปัญหาของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ การกำหนดด้าน มุม และองค์ประกอบอื่นๆ ของรูปสามเหลี่ยม หากให้ไว้บางส่วน ปัญหาในทางปฏิบัติจำนวนมาก เช่นเดียวกับปัญหาของระนาบ สเตอริโอเมทรี ดาราศาสตร์ และอื่นๆ นำไปสู่ปัญหาในการแก้รูปสามเหลี่ยม

การเกิดขึ้นของวิชาตรีโกณมิติมีความเกี่ยวข้องกับการสำรวจที่ดิน ดาราศาสตร์ และการก่อสร้าง

แม้ว่าชื่อของวิทยาศาสตร์จะเกิดขึ้นเมื่อไม่นานมานี้ แต่แนวคิดและข้อเท็จจริงหลายอย่างซึ่งปัจจุบันจัดอยู่ในประเภทตรีโกณมิติเป็นที่รู้จักเมื่อสองพันปีก่อน

เป็นครั้งแรกที่นักดาราศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Hipparchus (ศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช) และคลอดิอุส ปโตเลมี (ศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช) ค้นพบวิธีการแก้สามเหลี่ยมโดยอาศัยความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม ต่อมาความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมกับมุมเริ่มเรียกว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

นักวิทยาศาสตร์ชาวอาหรับ Al-Batani (850-929) และ Abul-Wafa, Muhamed bin Muhamed (940-998) นักวิทยาศาสตร์ชาวอาหรับมีส่วนสำคัญในการพัฒนาตรีโกณมิติ ซึ่งรวบรวมตารางไซน์และแทนเจนต์โดยเพิ่มทีละ 10 นิ้วด้วยความแม่นยำ ของวันที่ 1/604 นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียชื่อ Bhaskara (เกิดปี ค.ศ. 1114 ไม่ทราบปีแห่งความตาย) และนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวอาเซอร์ไบจัน Nasireddin Tusi Muhamed (1201-1274) นอกจากนี้ Nasireddin Tusi ยังทำงานของเขาอีกด้วย “บทความเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน” นำเสนอระนาบและตรีโกณมิติทรงกลมเป็นอิสระ

แนวคิดเรื่องไซน์มีประวัติอันยาวนาน อันที่จริง อัตราส่วนต่างๆ ของส่วนของสามเหลี่ยมและวงกลม (และฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญ) มีอยู่แล้วในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช จ. ในผลงานของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่แห่งกรีกโบราณ - Euclid, Archimedes, Apollonius of Perga ในช่วงสมัยโรมัน เมเนลอส (คริสต์ศตวรรษที่ 1) ศึกษาความสัมพันธ์เหล่านี้อย่างเป็นระบบ แม้ว่าจะไม่ได้รับชื่อพิเศษก็ตาม ตัวอย่างเช่น ไซน์ a สมัยใหม่ ได้รับการศึกษาในรูปแบบครึ่งคอร์ดซึ่งมีมุมที่จุดศูนย์กลางของขนาดอยู่ หรือเป็นคอร์ดของส่วนโค้งคู่

ปรากฏแล้วในศตวรรษที่ 4-5 เงื่อนไขพิเศษในงานดาราศาสตร์ของ Aryabhata นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียผู้ยิ่งใหญ่ ซึ่งต่อมาได้ตั้งชื่อดาวเทียมดวงแรกของอินเดียบนโลก เขาเรียกกลุ่มนี้ว่า AM ardhajiva (ardha - half, jiva - สายธนูซึ่งมีลักษณะคล้ายคอร์ด) ต่อมาก็มีมากขึ้น ชื่อสั้นจีวา นักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับในศตวรรษที่ 9 แทนที่คำนี้ด้วย คำภาษาอาหรับจิ๊บ (โป่ง) เมื่อแปลข้อความทางคณิตศาสตร์ภาษาอาหรับในศตวรรษนั้นถูกแทนที่ด้วยไซน์ละติน (ไซนัส - โค้งงอ, ความโค้ง)

แทนเจนต์เกิดขึ้นจากการแก้ปัญหาการกำหนดความยาวของเงา แทนเจนต์ (เช่นเดียวกับโคแทนเจนต์) ได้รับการแนะนำในศตวรรษที่ 10 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับ Abu-l-Wafa ซึ่งเป็นผู้รวบรวมตารางแรกสำหรับการค้นหาแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ อย่างไรก็ตาม การค้นพบเหล่านี้ยังไม่เป็นที่รู้จักของนักวิทยาศาสตร์ชาวยุโรปมาเป็นเวลานาน และแทนเจนต์ถูกค้นพบอีกครั้งในศตวรรษที่ 14 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน เรจิมอนตัน (1467) เขาพิสูจน์ทฤษฎีบทแทนเจนต์ Regiomontanus ยังรวบรวมตารางตรีโกณมิติโดยละเอียด ต้องขอบคุณผลงานของเขา ตรีโกณมิติระนาบและทรงกลมจึงกลายเป็นวินัยอิสระในยุโรป

ชื่อ "แทนเจนต์" มาจากภาษาลาตินแทนเจอร์ (สัมผัส) ปรากฏในปี 1583 แทนเจนแปลว่า "แทนเจนต์" (เส้นแทนเจนต์สัมผัสกับวงกลมหน่วย)

ตรีโกณมิติได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมในผลงานของนักดาราศาสตร์ที่โดดเด่น Nicolaus Copernicus (1473-1543) - ผู้สร้างระบบเฮลิโอเซนทริกของโลก, Tycho Brahe (1546-1601) และ Johannes Kepler (1571-1630) เช่นเดียวกับในงาน ของนักคณิตศาสตร์ Francois Vieta (1540-1603) ซึ่งแก้ไขปัญหาการกำหนดองค์ประกอบทั้งหมดของสามเหลี่ยมแบนหรือทรงกลมจากข้อมูลสามอย่างได้อย่างสมบูรณ์

เป็นเวลานานแล้วที่ตรีโกณมิติมีลักษณะเป็นเรขาคณิตล้วนๆ กล่าวคือ ข้อเท็จจริงที่เรากำหนดในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นได้รับการกำหนดและพิสูจน์โดยใช้แนวคิดและข้อความทางเรขาคณิต นี่เป็นวิธีที่ย้อนกลับไปในยุคกลาง แม้ว่าบางครั้งมันก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน วิธีการวิเคราะห์โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลังจากการถือกำเนิดของลอการิทึม บางทีแรงจูงใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในการพัฒนาตรีโกณมิติอาจเกิดขึ้นจากการแก้ปัญหาทางดาราศาสตร์ซึ่งมีความสนใจในทางปฏิบัติอย่างมาก (ตัวอย่างเช่นสำหรับการแก้ปัญหาในการระบุตำแหน่งของเรือ การทำนายความมืด ฯลฯ ) นักดาราศาสตร์สนใจความสัมพันธ์ระหว่างด้านข้างกับมุมของรูปสามเหลี่ยมทรงกลม และควรสังเกตว่านักคณิตศาสตร์สมัยโบราณสามารถรับมือกับงานที่ได้รับมอบหมายได้สำเร็จ

เริ่มตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 17 ฟังก์ชันตรีโกณมิติเริ่มถูกนำมาใช้ในการแก้สมการ ปัญหาทางกลศาสตร์ ทัศนศาสตร์ ไฟฟ้า วิศวกรรมวิทยุ อธิบายกระบวนการออสซิลเลชัน การแพร่กระจายของคลื่น การเคลื่อนที่ของกลไกต่างๆ ศึกษากระแสไฟฟ้าสลับ เป็นต้น ดังนั้น ฟังก์ชันตรีโกณมิติได้รับการศึกษาอย่างครอบคลุมและได้รับการศึกษาอย่างลึกซึ้งและกลายมามีความสำคัญสำหรับคณิตศาสตร์ทุกประเภท

ทฤษฎีการวิเคราะห์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติส่วนใหญ่สร้างขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงแห่งศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ค.ศ. 1707-1783) ซึ่งเป็นสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก มรดกทางวิทยาศาสตร์อันมหาศาลของออยเลอร์รวมถึงผลลัพธ์อันยอดเยี่ยมที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิต ทฤษฎีจำนวน กลศาสตร์ และการประยุกต์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ออยเลอร์เป็นคนแรกที่แนะนำคำจำกัดความที่รู้จักกันดีของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เริ่มพิจารณาฟังก์ชันของมุมที่ต้องการ และรับสูตรการลดลง หลังจากออยเลอร์ ตรีโกณมิติก็อยู่ในรูปแบบของแคลคูลัส ข้อเท็จจริงต่างๆ เริ่มได้รับการพิสูจน์โดยการใช้สูตรตรีโกณมิติอย่างเป็นทางการ การพิสูจน์จึงมีขนาดกะทัดรัดและง่ายขึ้นมาก

ดังนั้นตรีโกณมิติซึ่งมีต้นกำเนิดมาจากศาสตร์แห่งการแก้รูปสามเหลี่ยม จึงพัฒนาเป็นศาสตร์แห่งฟังก์ชันตรีโกณมิติในที่สุด

ต่อมาส่วนหนึ่งของตรีโกณมิติซึ่งศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและการพึ่งพาระหว่างกันเริ่มถูกเรียกว่า goniometry (แปลเป็นศาสตร์แห่งการวัดมุมจากภาษากรีก gwnia - มุม, metrew - ฉันวัด) คำว่า โกนิโอเมทรีใน เมื่อเร็วๆ นี้ไม่ได้ใช้จริง

พิทิสคัสทางคณิตศาสตร์ตรีโกณมิติ

โพสต์บน Allbest.ru

...

เอกสารที่คล้ายกัน

แนวคิดเรื่องตรีโกณมิติ สาระสำคัญและคุณลักษณะ ประวัติความเป็นมาและการพัฒนา โครงสร้างของตรีโกณมิติ องค์ประกอบ และคุณลักษณะ การสร้างและพัฒนาทฤษฎีวิเคราะห์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งเป็นบทบาทของนักวิชาการ Leonhard Euler

งานสร้างสรรค์เพิ่มเมื่อ 15/02/2552


ทำความคุ้นเคยกับลักษณะเฉพาะของการเกิดขึ้นของตรีโกณมิติการพิจารณาขั้นตอนของการพัฒนา การวิเคราะห์วิธีการแก้รูปสามเหลี่ยมโดยอาศัยการขึ้นต่อกันระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม ลักษณะของทฤษฎีวิเคราะห์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 24/06/2014


คณิตศาสตร์ของจีนโบราณและยุคกลาง กฎของสองตำแหน่งเท็จ ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่ามากมาย ระยะเริ่มแรกของการพัฒนาตรีโกณมิติ การสร้างเลขฐานสิบตำแหน่ง เลขคณิตของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วน

วิทยานิพนธ์เพิ่มเมื่อ 22/12/2555


พัฒนาการของการคิดเชิงวิเคราะห์ ตรรกะ และเชิงสร้างสรรค์ของนักเรียน และการสร้างความระมัดระวังทางคณิตศาสตร์ ศึกษาวิชาตรีโกณมิติในวิชาเรขาคณิตขั้นพื้นฐานของโรงเรียน วิธีแก้ไขปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานจากรายวิชาชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 และจากตำราทางเลือก

งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 03/01/2014


คณิตศาสตร์ยุโรปแห่งยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา การสร้างแคลคูลัสตัวอักษรโดย François Viète และวิธีการแก้สมการ การปรับปรุงด้านคอมพิวเตอร์ในช่วงปลายศตวรรษที่ 16 และต้นศตวรรษที่ 17: ทศนิยม, ลอการิทึม การสร้างความเชื่อมโยงระหว่างตรีโกณมิติและพีชคณิต

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 20/09/2015


แนวคิดเกี่ยวกับเรขาคณิตทรงกลม ความสอดคล้องกันระหว่างเรขาคณิตทรงกลมและระนาบ การประยุกต์ตรีโกณมิติทรงกลมในการเดินเรือ มุมของรูปหลายเหลี่ยมทรงกลม การวิเคราะห์สัจพจน์ระนาบ ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยมทรงกลม

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 12/06/2011


ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาตรีโกณมิติลักษณะของแนวคิดและสูตรพื้นฐาน คำถามทั่วไป วัตถุประสงค์การเรียนรู้ และวิธีการกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติของการโต้แย้งเชิงตัวเลขในหลักสูตรของโรงเรียน ข้อแนะนำและวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 10/19/2011


การปรับโครงสร้างและเนื้อหาใหม่ หลักสูตรการฝึกอบรมนักคณิตศาสตร์ที่อยู่ในกระบวนการปฏิรูป การศึกษาคณิตศาสตร์- คำจำกัดความของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ของมุมแหลม สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน แนวคิดและคุณสมบัติพื้นฐานของเวกเตอร์

วิทยานิพนธ์เพิ่มเมื่อวันที่ 11/01/2554


คุณสมบัติของคาบทางคณิตศาสตร์ที่มีปริมาณคงที่ การสร้างเลขคณิต พีชคณิต เรขาคณิต และตรีโกณมิติ ลักษณะทั่วไปวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณ โรงเรียนพีทาโกรัส การค้นพบความไม่สมดุล ตารางพีทาโกรัส “ธาตุ” ของยุคลิด

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 20/09/2015


ประวัติความเป็นมาและการพัฒนา เลขอารบิก, คุณสมบัติการเขียน, สะดวกกว่าระบบอื่น ทำความรู้จักกับตัวเลข ชาติต่างๆ: ระบบเลขของโรมโบราณ จีน เทวนาครี และพัฒนาการตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงปัจจุบัน

ตรีโกณมิติ (จากภาษากรีก ตรีโกณมิติ-สามเหลี่ยม และ เมตรมิติ) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติและการประยุกต์กับเรขาคณิต มันเกิดขึ้นและพัฒนาในสมัยโบราณในฐานะหนึ่งในสาขาดาราศาสตร์ เป็นเครื่องมือคอมพิวเตอร์ที่สนองความต้องการในทางปฏิบัติของมนุษย์ ด้วยความช่วยเหลือคุณสามารถกำหนดระยะทางไปยังวัตถุที่ไม่สามารถเข้าถึงได้และโดยทั่วไปทำให้กระบวนการสำรวจทางภูมิศาสตร์ของพื้นที่ง่ายขึ้นอย่างมากสำหรับการวาดแผนที่ทางภูมิศาสตร์ แนวคิดที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปเกี่ยวกับตรีโกณมิติ ตลอดจนสัญกรณ์และคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ถูกสร้างขึ้นในกระบวนการที่ยาวนาน การพัฒนาทางประวัติศาสตร์- ตรีโกณมิติ (จากภาษากรีก ตรีโกณมิติ-สามเหลี่ยม และ เมตรมิติ) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติและการประยุกต์กับเรขาคณิต มันเกิดขึ้นและพัฒนาในสมัยโบราณในฐานะหนึ่งในสาขาดาราศาสตร์ เป็นเครื่องมือคอมพิวเตอร์ที่สนองความต้องการในทางปฏิบัติของมนุษย์ ด้วยความช่วยเหลือคุณสามารถกำหนดระยะทางไปยังวัตถุที่ไม่สามารถเข้าถึงได้และโดยทั่วไปทำให้กระบวนการสำรวจทางภูมิศาสตร์ของพื้นที่ง่ายขึ้นอย่างมากสำหรับการวาดแผนที่ทางภูมิศาสตร์ แนวคิดที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปเกี่ยวกับตรีโกณมิติตลอดจนสัญกรณ์และคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นถูกสร้างขึ้นในกระบวนการของการพัฒนาทางประวัติศาสตร์อันยาวนาน ข้อมูลตรีโกณมิติเป็นที่รู้จักของคนสมัยก่อน คำถามจากวิชาตรีโกณมิติที่เกี่ยวข้องกับดาราศาสตร์ อย่างไรก็ตาม พวกเขาไม่ได้คำนึงถึงเส้นของไซน์ โคไซน์ ฯลฯ แต่เป็นคอร์ด บทบาทของเส้นไซน์ของมุม a เล่นโดยคอร์ดที่รองรับส่วนโค้งเท่ากับ 2a ข้อมูลตรีโกณมิติเป็นที่รู้จักของชาวบาบิโลนและชาวอียิปต์โบราณ แต่รากฐานของวิทยาศาสตร์นี้วางอยู่ในกรีกโบราณ ย้อนหลังไปถึงศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช ในงานของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ - Euclid, Archimedes, Apollonius of Perga. นักดาราศาสตร์ชาวกรีกโบราณสามารถแก้ปัญหาบางอย่างจากตรีโกณมิติที่เกี่ยวข้องกับดาราศาสตร์ได้สำเร็จ อย่างไรก็ตาม พวกเขาไม่ได้คำนึงถึงเส้นของไซน์ โคไซน์ ฯลฯ แต่เป็นคอร์ด บทบาทของเส้นไซน์ของมุม a เล่นโดยคอร์ดที่รองรับส่วนโค้งเท่ากับ 2a

ในศตวรรษที่ 4-5 มีศัพท์พิเศษปรากฏในผลงานดาราศาสตร์ของ Aryabhata นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียผู้ยิ่งใหญ่ เขาเรียกกลุ่มนี้ว่า CB ardhajiva (ardha - half, jiva - bowstring ซึ่งมีลักษณะคล้ายคอร์ด) ต่อมาชื่อสั้นกว่า จิวา ก็ปรากฏขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับในศตวรรษที่ 9 คำนี้ถูกแทนที่ด้วยคำภาษาอาหรับ jaib (นูน) เมื่อแปลข้อความทางคณิตศาสตร์ภาษาอาหรับในศตวรรษนั้นถูกแทนที่ด้วยไซน์ละติน (ไซนัส - โค้งงอ, ความโค้ง) มูฮัมหมัด บิน มูซา อัล-โคเรซมี (ศตวรรษที่ 9) ผู้โด่งดังได้รวบรวมตารางไซน์และโคแทนเจนต์ ตารางคำนวณ Al-Habash สำหรับแทนเจนต์, โคแทนเจนต์และโคซีแคนต์ คำว่าโคไซน์นั้นอายุน้อยกว่ามาก โคไซน์เป็นตัวย่อของสำนวนภาษาละติน ไซนัสที่สมบูรณ์ เช่น ไซน์เพิ่มเติม (หรืออย่างอื่น ไซน์ของส่วนโค้งเพิ่มเติม)

ชื่อ "แทนเจนต์" มาจากภาษาละตินแทนเจอร์ (สัมผัส) ปรากฏในปี 1583 แทนเจนแปลว่า "สัมผัส" (เส้นแทนเจนต์สัมผัสกับวงกลมหน่วย) แทนเจนต์เกิดขึ้นจากการแก้ปัญหาการกำหนดความยาวของเงา แทนเจนต์ (เช่นเดียวกับโคแทนเจนต์) ได้รับการแนะนำในศตวรรษที่ 10 โดย Al-Batani () และ Abu-l-Wefa Muhammad bin Muhammad () ผู้รวบรวมตารางของไซน์และแทนเจนต์ใน 10 ด้วยความแม่นยำ 1/604 ชื่อ "แทนเจนต์" มาจากภาษาละตินแทนเจอร์ (สัมผัส) ปรากฏในปี 1583 แทนเจนแปลว่า "สัมผัส" (เส้นแทนเจนต์สัมผัสกับวงกลมหน่วย) แทนเจนต์เกิดขึ้นจากการแก้ปัญหาการกำหนดความยาวของเงา แทนเจนต์ (เช่นเดียวกับโคแทนเจนต์) ได้รับการแนะนำในศตวรรษที่ 10 โดย Al-Batani () และ Abu-l-Wefa Muhammad bin Muhammad () ผู้รวบรวมตารางของไซน์และแทนเจนต์ใน 10 ด้วยความแม่นยำ 1/604 อย่างไรก็ตาม การค้นพบเหล่านี้ยังไม่เป็นที่รู้จักของนักวิทยาศาสตร์ชาวยุโรปมาเป็นเวลานาน และแทนเจนต์ถูกค้นพบอีกครั้งในศตวรรษที่ 14 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน Regiomontanus (1467) อย่างไรก็ตาม การค้นพบเหล่านี้ยังไม่เป็นที่รู้จักของนักวิทยาศาสตร์ชาวยุโรปมาเป็นเวลานาน และแทนเจนต์ถูกค้นพบอีกครั้งในศตวรรษที่ 14 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน Regiomontanus (1467)

Regiomontanus เป็นผู้ที่พิสูจน์ทฤษฎีบทแทนเจนต์ (ชื่อละตินของนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Johann Muller) นอกจากนี้ Regiomontanus ยังรวบรวมตารางตรีโกณมิติโดยละเอียดอีกด้วย ผลงานของเขาทำให้ Regiomontanus ทรงกลมกลายเป็นระเบียบวินัยที่เป็นอิสระมากที่สุด ตัวแทนชาวยุโรปในยุคนี้ในสาขาตรีโกณมิติ ตารางไซน์ที่กว้างขวางของเขาตั้งแต่ 1 ถึงเลขนัยสำคัญที่ 7 และงานตรีโกณมิติที่นำเสนออย่างเชี่ยวชาญของเขา "หนังสือห้าเล่มเกี่ยวกับสามเหลี่ยมทุกประเภท" มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการพัฒนาตรีโกณมิติต่อไปใน ศตวรรษที่ 16 ศตวรรษที่ XVII- Regiomontanus เป็นผู้ที่พิสูจน์ทฤษฎีบทแทนเจนต์ (ชื่อละตินของนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Johann Muller) นอกจากนี้ Regiomontanus ยังรวบรวมตารางตรีโกณมิติโดยละเอียดอีกด้วย ผลงานของเขาทำให้ Regiomontanus ทรงกลมกลายเป็นระเบียบวินัยที่เป็นอิสระมากที่สุด ตัวแทนชาวยุโรปในยุคนี้ในสาขาตรีโกณมิติ ตารางไซน์ที่กว้างขวางของเขาตั้งแต่ 1 ถึงเลขนัยสำคัญที่ 7 และงานตรีโกณมิติที่นำเสนออย่างเชี่ยวชาญของเขา "หนังสือห้าเล่มเกี่ยวกับสามเหลี่ยมทุกชนิด" มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการพัฒนาตรีโกณมิติต่อไปใน คริสต์ศตวรรษที่ 16-17

ตรีโกณมิติ: 1) ระนาบ - ศึกษาเฉพาะสามเหลี่ยมระนาบ 2) ทรงกลม - ศึกษาเฉพาะสามเหลี่ยมทรงกลม 3) เส้นตรง - ไม่รวมใน หลักสูตรของโรงเรียน- ตรีโกณมิติระนาบเริ่มพัฒนาช้ากว่าตรีโกณมิติทรงกลม แม้ว่าทฤษฎีบทบางข้อจะถูกพบก่อนหน้านี้ เช่น ทฤษฎีบทที่ 12 และ 13 ของหนังสือเล่มที่สองขององค์ประกอบของยุคลิด (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) แสดงถึงทฤษฎีบทของโคไซน์โดยพื้นฐานแล้ว ตรีโกณมิติระนาบได้รับการพัฒนาโดย al-Battani (ครึ่งหลังของศตวรรษที่ 9 - ต้นศตวรรษที่ 10), Abu al-Wef, Bhskal และ Nasireddin Tusi ซึ่งรู้ทฤษฎีบทของไซน์อยู่แล้ว ตรีโกณมิติที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมทรงกลมเรียกว่าทรงกลม และยังพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างด้านกับมุมของสามเหลี่ยมบนทรงกลมที่เกิดจากส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ด้วย ในงานของนักคณิตศาสตร์ François Vieta () ซึ่งแก้ไขปัญหาการกำหนดองค์ประกอบทั้งหมดของสามเหลี่ยมแบนหรือทรงกลมจากข้อมูลสามแบบได้อย่างสมบูรณ์

ความสำเร็จสูงสุดของวิชาตรีโกณมิติของกรีกเป็นหนี้ของนักดาราศาสตร์ปโตเลมี (คริสต์ศตวรรษที่ 2) ผู้สร้างระบบจุดศูนย์กลางของโลกซึ่งมีชัยจนถึงโคเปอร์นิคัส นักดาราศาสตร์ชาวกรีกไม่รู้จักไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ แทนที่จะใช้ตารางปริมาณเหล่านี้ พวกเขาใช้ตาราง: ปล่อยให้เราค้นหาคอร์ดของวงกลมตามแนวส่วนโค้งที่ถูกย่อไว้ ส่วนโค้งวัดเป็นองศาและนาที คอร์ดยังวัดเป็นองศา (หนึ่งองศาคือส่วนที่หกสิบของรัศมี) นาทีและวินาที ชาวกรีกยืมการแบ่งแยกเพศนี้มาจากชาวบาบิโลน ในช่วงคริสตศักราชสหัสวรรษแรกวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์เกิดขึ้นอย่างรวดเร็วในประเทศของหัวหน้าศาสนาอิสลามอาหรับดังนั้นการค้นพบตรีโกณมิติที่สำคัญจึงเป็นของนักวิทยาศาสตร์ในประเทศเหล่านี้ นักวิทยาศาสตร์ชาวเติร์กเมนิสถาน อัล-มาราซวี เป็นคนแรกที่แนะนำแนวคิดของ tg และ ctg ว่าเป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากกับตารางที่คอมไพล์ sin, tg และ ctg ความสำเร็จหลักของนักวิทยาศาสตร์ชาวอาหรับคือพวกเขาแยกตรีโกณมิติออกจากดาราศาสตร์

ตรีโกณมิติยังขึ้นถึงจุดสูงสุดที่สำคัญในหมู่นักดาราศาสตร์ยุคกลางของอินเดียอีกด้วย ความสำเร็จหลักของนักดาราศาสตร์ชาวอินเดียคือการแทนที่คอร์ดด้วยไซน์ซึ่งทำให้สามารถแนะนำฟังก์ชันต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับด้านข้างและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉากได้ ดังนั้นในอินเดีย จึงมีการวางจุดเริ่มต้นของวิชาตรีโกณมิติเพื่อศึกษาปริมาณตรีโกณมิติ นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียใช้ความสัมพันธ์ตรีโกณมิติต่างๆ ซึ่งรวมถึงความสัมพันธ์ในรูปแบบสมัยใหม่ซึ่งแสดงเป็น: sin 2 a + cos 2 a = 1, sin a = cos (90 - a) sin (a + b) = sin a · cos b + cos บาปข

การศึกษาปริมาณตรีโกณมิติที่พัฒนาขึ้นในศตวรรษที่ 8-15 ในประเทศแถบตะวันออกกลาง ดังนั้นในศตวรรษที่ 9 ในกรุงแบกแดด อัล-คอวาริซมีจึงได้รวบรวมตารางไซน์ชุดแรก อัลบุซจานีในศตวรรษที่ 10 กำหนดทฤษฎีบทไซน์และสร้างตารางไซน์ด้วยช่วงเวลา 15 ซึ่งค่าของไซน์จะได้รับด้วยความแม่นยำของทศนิยมตำแหน่งที่ 8 อะหมัด อัล-เบรูนี ในศตวรรษที่ 11 แทนที่จะแบ่งรัศมีออกเป็นส่วน ๆ เมื่อกำหนดค่าของไซน์และโคไซน์ซึ่งปโตเลมีทำไว้ต่อหน้าเขาเขาเริ่มใช้รัศมีหน่วยเป็นวงกลม ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 15 al-Kashi สร้างตารางตรีโกณมิติโดยเพิ่มทีละ 1 ซึ่งในอีก 250 ปีข้างหน้าก็มีความแม่นยำที่ไม่มีใครเทียบได้ หลังจากที่บทความภาษาอาหรับได้รับการแปลเป็นภาษาละติน แนวคิดมากมายของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียก็กลายเป็นสมบัติของวิทยาศาสตร์ยุโรปและวิทยาศาสตร์โลกในเวลาต่อมา มันเป็นเช่นนี้ย้อนกลับไปในยุคกลาง แม้ว่าบางครั้งจะใช้วิธีการวิเคราะห์ด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลังจากการถือกำเนิดของลอการิทึม ตรีโกณมิติค่อยๆ เข้าสู่การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ กลศาสตร์ ฟิสิกส์ และสาขาวิชาเทคนิคอย่างค่อยเป็นค่อยไป