มนุษย์ใช้ลูกเต๋ามานับพันปีแล้ว

ในศตวรรษที่ 21 เทคโนโลยีใหม่ทำให้สามารถโยนลูกเต๋าได้ทุกเวลาที่สะดวก และหากคุณมีอินเทอร์เน็ต ก็อยู่ในสถานที่ที่สะดวก ลูกเต๋าจะอยู่กับคุณเสมอที่บ้านหรือบนท้องถนน

เครื่องกำเนิดลูกเต๋าช่วยให้คุณหมุนออนไลน์ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 4 ลูกเต๋า

ทอยลูกเต๋าออนไลน์อย่างตรงไปตรงมา

เมื่อใช้ลูกเต๋าจริง สามารถใช้มืออันว่องไวหรือลูกเต๋าที่ทำขึ้นเป็นพิเศษโดยได้เปรียบด้านเดียว ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหมุนลูกบาศก์ไปตามแกนแกนใดแกนหนึ่ง จากนั้นการกระจายความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไป คุณสมบัติพิเศษของคิวบ์เสมือนของเราคือการใช้ตัวสร้างซอฟต์แวร์หลอก ตัวเลขสุ่ม- สิ่งนี้ทำให้เรามั่นใจได้อย่างแน่นอนว่า ตัวเลือกแบบสุ่มการสูญเสียสิ่งนี้หรือผลลัพธ์นั้น

และหากคุณบุ๊กมาร์กหน้านี้ไว้ ลูกเต๋าออนไลน์ของคุณจะไม่หายไปไหนและจะพร้อมเสมอในเวลาที่เหมาะสม!

บางคนได้ปรับตัวเข้ากับการใช้ลูกเต๋าออนไลน์เพื่อทำนายดวงชะตาหรือทำนายดวงชะตา

มีอารมณ์ร่าเริง ขอให้เป็นวันที่ดีและขอให้โชคดี!

เขียนโดยนักออกแบบ Tyler Sigman บน Gamasutra ฉันเรียกมันว่าบทความ "ขนในรูจมูกของออร์ค" อย่างสนิทสนม แต่มันก็ค่อนข้างดีในการวางรากฐานของความน่าจะเป็นในเกม

หัวข้อประจำสัปดาห์นี้

จนถึงตอนนี้ เกือบทุกสิ่งที่เราได้พูดถึงนั้นถูกกำหนดไว้แล้ว และสัปดาห์ที่แล้วเราได้พิจารณากลศาสตร์สกรรมกริยาอย่างใกล้ชิด และแยกย่อยมันให้มากที่สุดเท่าที่ฉันจะอธิบายได้ แต่จนถึงตอนนี้ เรายังไม่ได้ให้ความสนใจกับแง่มุมใหญ่ของเกมหลายๆ เกม กล่าวคือ แง่มุมที่ไม่สามารถกำหนดได้ หรืออีกนัยหนึ่งก็คือ - ความสุ่ม การทำความเข้าใจธรรมชาติของการสุ่มเป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับนักออกแบบเกม เนื่องจากเราสร้างระบบที่ส่งผลต่อประสบการณ์ของผู้เล่นในเกมนั้นๆ ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องรู้ว่าระบบเหล่านั้นทำงานอย่างไร หากมีการสุ่มในระบบต้องเข้าใจ ธรรมชาติการสุ่มนี้และวิธีการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ

ลูกเต๋า

มาเริ่มกันด้วยสิ่งง่ายๆ: การทอยลูกเต๋า เมื่อคนส่วนใหญ่นึกถึงลูกเต๋า พวกเขานึกถึงลูกเต๋าหกด้านที่เรียกว่า d6 แต่นักเล่นเกมส่วนใหญ่เคยเห็นลูกเต๋าอื่นๆ มากมาย: สี่ด้าน (d4), แปดเหลี่ยม (d8), สิบสองด้าน (d12), ยี่สิบด้าน (d20) ... และถ้าคุณ จริงเกินบรรยาย คุณอาจมีลูกเต๋า 30 ด้านหรือ 100 ด้านอยู่ที่ไหนสักแห่ง หากคุณไม่คุ้นเคยกับคำศัพท์นี้ “d” ย่อมาจากคำว่า die และตัวเลขที่อยู่ข้างหลังคือจำนวนด้านที่มี ถ้า ก่อน“d” เป็นตัวเลขก็หมายความว่า ปริมาณลูกเต๋าเมื่อขว้าง ตัวอย่างเช่น ในเกม Monopoly คุณหมุน 2d6

ดังนั้นในกรณีนี้ คำว่า "ลูกเต๋า" ก็คือ เครื่องหมาย- มีเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มอื่นๆ จำนวนมากที่ไม่ได้มีรูปร่างเหมือนก้อนพลาสติก แต่ทำหน้าที่เดียวกันในการสร้างตัวเลขสุ่มตั้งแต่ 1 ถึง n เหรียญธรรมดาสามารถมองได้ว่าเป็นลูกเต๋าไดฮีดรัล d2 ฉันเห็นลูกเต๋าเจ็ดหน้าสองแบบ หนึ่งในนั้นดูเหมือน ลูกเต๋าและอย่างที่สองก็เหมือนดินสอไม้เจ็ดด้านมากกว่า จัตุรมุขเดรเดล (หรือที่รู้จักในชื่อไทโทตัม) มีลักษณะคล้ายกับกระดูกจัตุรมุข สนามแข่งขันลูกศรหมุนในเกม "Chutes & Ladders" ซึ่งผลลัพธ์ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 สอดคล้องกับลูกเต๋าหกด้าน เครื่องสร้างตัวเลขสุ่มในคอมพิวเตอร์สามารถสร้างตัวเลขใดก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 19 หากผู้ออกแบบระบุคำสั่งดังกล่าวแม้ว่าคอมพิวเตอร์จะไม่มีลูกเต๋า 19 หน้าก็ตาม (โดยทั่วไปฉันจะพูดถึงความน่าจะเป็นของตัวเลขที่ปรากฏบน คอมพิวเตอร์เข้า ต่อไปสัปดาห์). แม้ว่าไอเท็มเหล่านี้จะดูแตกต่างออกไป แต่จริงๆ แล้วพวกมันเหมือนกัน: คุณมีโอกาสเท่ากันที่จะได้ผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งจากหลาย ๆ อย่าง

ลูกเต๋ามีคุณสมบัติที่น่าสนใจที่เราต้องรู้ ประการแรก ความน่าจะเป็นที่จะกลิ้งหน้าใดหน้าหนึ่งจะเท่ากัน (ฉันคิดว่าคุณกำลังกลิ้งลูกเต๋าธรรมดา ไม่ใช่อันที่มีรูปทรงเรขาคณิตผิดปกติ) ดังนั้นหากท่านต้องการทราบ ค่าเฉลี่ยโยน (หรือที่ผู้สนใจในหัวข้อความน่าจะเป็นเรียกว่า “ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์”) บวกค่าของทุกด้านแล้วหารผลรวมนี้ด้วย ปริมาณใบหน้า ค่าเฉลี่ยของการทอยลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานคือ 1+2+3+4+5+6 = 21 หารด้วยจำนวนด้าน (6) และค่าเฉลี่ยคือ 21/6 = 3.5 นี่เป็นกรณีพิเศษเนื่องจากเราถือว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่าเทียมกัน

ถ้าคุณมีลูกเต๋าพิเศษล่ะ? เช่น ฉันเห็นเกมที่มีรูปหกเหลี่ยม ลูกเต๋ามีสติกเกอร์พิเศษอยู่ด้านข้าง 1, 1, 1, 2, 2, 3 จึงมีพฤติกรรมเหมือนลูกเต๋า 3 หน้าแปลกๆ ที่มีโอกาสม้วน 1 มากกว่า 2 และ 2 มากกว่า 3 ม้วนเฉลี่ยอยู่ที่เท่าไร กระดูกนี้เหรอ? ดังนั้น 1+1+1+2+2+3 = 10 หารด้วย 6 เท่ากับ 5/3 หรือประมาณ 1.66 ดังนั้น หากคุณมีลูกเต๋าพิเศษนี้ และผู้เล่นทอยลูกเต๋าสามลูกแล้วบวกผลลัพธ์ คุณจะรู้ว่าผลรวมของการทอยสนามเบสบอลของพวกเขาจะอยู่ที่ประมาณ 5 และคุณสามารถปรับสมดุลเกมตามสมมติฐานนั้นได้

ลูกเต๋าและความเป็นอิสระ

ดังที่ผมได้กล่าวไปแล้ว เราดำเนินการตามสมมติฐานที่ว่าแต่ละฝ่ายมีแนวโน้มที่จะหลุดออกไปเท่าๆ กัน นี่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนลูกเต๋าที่คุณทอย ทุกครั้งที่โยนลูกเต๋า โดยไม่คำนึงถึงซึ่งหมายความว่าการม้วนครั้งก่อนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการม้วนครั้งถัดไป ด้วยการทดสอบที่เพียงพอ คุณจะทำได้อย่างแน่นอน สังเกต“ชุด” ของตัวเลข เช่น การทอยตัวเลขสูงหรือต่ำเป็นส่วนใหญ่ หรือคุณสมบัติอื่นๆ และเราจะพูดถึงเรื่องนั้นในภายหลัง แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าลูกเต๋าจะ “ร้อน” หรือ “เย็น” หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานและได้เลข 6 สองครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นที่ทอยครั้งต่อไปจะส่งผลให้ได้ 6 ก็คือ 1/6 เช่นกัน ความน่าจะเป็นไม่เพิ่มขึ้นเนื่องจากลูกบาศก์ "ร้อนขึ้น" ความน่าจะเป็นไม่ลดลงเพราะเลข 6 ขึ้นมาแล้ว 2 ครั้งติดต่อกัน แสดงว่าตอนนี้มีอีกฝ่ายขึ้นมาแล้ว (แน่นอนว่า หากคุณทอยลูกเต๋ายี่สิบครั้งและได้ 6 แต้มในแต่ละครั้ง โอกาสที่ยี่สิบครั้งแรกที่คุณทอยลูกเต๋าได้ 6 นั้นค่อนข้างสูง... เพราะนั่นอาจหมายความว่าคุณมีลูกเต๋าผิด!) แต่ถ้าคุณทอยลูกเต๋าผิด มีลูกเต๋าถูก ความน่าจะเป็นที่แต่ละฝ่ายจะหลุดออกจะเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงผลการโยนครั้งอื่น นอกจากนี้คุณยังสามารถจินตนาการว่าเราเปลี่ยนลูกเต๋าในแต่ละครั้ง ดังนั้นหากทอยหมายเลข 6 สองครั้งติดต่อกัน ให้เอาลูกเต๋าร้อนออกจากเกมแล้วแทนที่ด้วยลูกเต๋าหกด้านใหม่ ฉันขออภัยหากคุณทราบเรื่องนี้แล้ว แต่เราจำเป็นต้องชี้แจงให้ชัดเจนก่อนที่จะดำเนินการต่อ

วิธีทำให้ลูกเต๋าทอยสุ่มมากหรือน้อย

เรามาพูดถึงวิธีการได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันบนลูกเต๋าที่แตกต่างกัน ไม่ว่าคุณจะทอยลูกเต๋าเพียงครั้งเดียวหรือหลายครั้ง เกมจะรู้สึกสุ่มมากขึ้นหากลูกเต๋ามีด้านมากกว่า ยิ่งคุณทอยลูกเต๋าได้มากเท่าไร หรือยิ่งทอยลูกเต๋ามากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะเคลื่อนไปสู่ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากคุณทอย 1d6+4 (เช่น ลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานหนึ่งครั้งและเพิ่ม 4 เข้ากับผลลัพธ์) ค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 ถึง 10 หากคุณทอย 5d2 ค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 และ 10 แต่เมื่อทอยลูกเต๋า 6 หน้า ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5, 8 หรือ 10 ก็เท่าเดิม ผลลัพธ์ของการทอย 5d2 จะเป็นตัวเลข 7 และ 8 เป็นหลัก ซึ่งน้อยกว่าค่าอื่นๆ ชุดเดียวกันแม้ค่าเฉลี่ยเท่ากัน (7.5 ในทั้งสองกรณี) แต่ลักษณะของการสุ่มจะแตกต่างกัน

รอสักครู่. ฉันไม่ได้บอกว่าลูกเต๋าไม่ร้อนขึ้นหรือเย็นลงใช่ไหม ตอนนี้ฉันกำลังบอกว่าถ้าคุณทอยลูกเต๋าเยอะผลลัพธ์ของการทอยก็มักจะใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยมากกว่าเหรอ? ทำไม

ให้ฉันอธิบาย. ถ้าคุณเลิก หนึ่งลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่แต่ละด้านจะหลุดออกมาจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าหากคุณทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมาก เมื่อเวลาผ่านไปแต่ละด้านจะปรากฏเป็นจำนวนเท่าๆ กันโดยประมาณ ยิ่งคุณทอยลูกเต๋ามากเท่าไร ผลลัพธ์รวมก็จะยิ่งเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ไม่ใช่เพราะว่าหมายเลขที่ออก “บังคับ” หมายเลขอื่นให้ออกที่ยังไม่ได้ออก แต่เนื่องจากชุดหมายเลข 6 (หรือ 20 หรือหมายเลขอื่น) ชุดเล็ก ๆ จะไม่มีในท้ายที่สุด มีความสำคัญอย่างยิ่ง, ถ้าคุณทอยลูกเต๋าอีกหมื่นครั้ง และตัวเลขส่วนใหญ่ขึ้นมาคือค่าเฉลี่ย... บางทีคุณอาจได้เลขสูงสองสามตัวในตอนนี้ แต่บางทีต่อมาเลขต่ำสองสามตัว และเมื่อเวลาผ่านไป พวกมันจะเข้าใกล้มากขึ้น เฉลี่ย. ไม่ใช่เพราะการทอยครั้งก่อนส่งผลต่อลูกเต๋า (เอาจริงๆ ลูกเต๋าทำมาจาก พลาสติกเธอไม่มีสมองที่จะคิดว่า "โอ้ ฉันทอยได้ 2 มานานแล้ว") แต่เพราะนั่นคือสิ่งที่มักจะเกิดขึ้นเมื่อคุณทอยลูกเต๋าจำนวนมาก ตัวเลขซ้ำๆ ชุดเล็กๆ แทบจะมองไม่เห็นในผลลัพธ์จำนวนมาก

ดังนั้นการคำนวณการสุ่มทอยลูกเต๋าหนึ่งครั้งจึงค่อนข้างตรงไปตรงมา อย่างน้อยก็เท่าที่การคำนวณค่าเฉลี่ยของทอยที่เกี่ยวข้อง นอกจากนี้ยังมีวิธีคำนวณบางสิ่งที่ "สุ่ม" วิธีที่จะบอกว่าผลลัพธ์ของการหมุน 1d6+4 จะ "สุ่มมากกว่า" มากกว่า 5d2 สำหรับ 5d2 การกระจายของม้วนจะเท่ากันมากกว่า โดยปกติแล้วคุณจะคำนวณสิ่งนี้ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน และยิ่งค่ามากขึ้น ผลลัพธ์ก็จะยิ่งสุ่มมากขึ้นเท่านั้น แต่ต้องใช้การคำนวณมากกว่าที่ฉันต้องการให้ในวันนี้ (ฉันจะอธิบายหัวข้อนี้ในภายหลัง) สิ่งเดียวที่ฉันขอให้คุณรู้ก็คือ ตามกฎทั่วไป ยิ่งลูกเต๋าที่ทอยได้น้อยลง ความสุ่มก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น อีกหนึ่งสิ่งที่เพิ่มเติมในหัวข้อนี้: ยิ่งลูกเต๋ามีด้านมากเท่าใด การสุ่มก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เนื่องจากคุณมีตัวเลือกมากขึ้น

วิธีการคำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้การนับ

คุณอาจสงสัยว่า: เราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนของการได้ผลลัพธ์ที่แน่นอนได้อย่างไร นี่เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับหลายๆ เกม เพราะถ้าคุณทอยลูกเต๋า ก็มีแนวโน้มที่จะให้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดในตอนแรก คำตอบคือเราต้องนับสองค่า ขั้นแรก ให้นับจำนวนผลลัพธ์สูงสุดเมื่อขว้างลูกเต๋า (ไม่ว่าผลลัพธ์จะเป็นอย่างไร) แล้วนับจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ การหารค่าที่สองด้วยค่าแรกจะทำให้คุณได้ความน่าจะเป็นที่ต้องการ หากต้องการหาเปอร์เซ็นต์ ให้คูณผลลัพธ์ด้วย 100

ตัวอย่าง:

นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ คุณต้องการให้หมายเลข 4 ขึ้นไปหมุนและทอยลูกเต๋าหกด้านหนึ่งครั้ง จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) ในจำนวนนี้มี 3 ผลลัพธ์ (4, 5, 6) ที่เป็นที่น่าพอใจ ซึ่งหมายความว่าในการคำนวณความน่าจะเป็น เราจะหาร 3 ด้วย 6 แล้วได้ 0.5 หรือ 50%

นี่เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย คุณต้องการเลขคู่เมื่อหมุน 2d6 จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 36 (6 สำหรับการตายแต่ละครั้ง และเนื่องจากหนึ่งการตายไม่ส่งผลกระทบต่ออีกผลลัพธ์ เราจึงคูณ 6 ผลลัพธ์ด้วย 6 และรับ 36) ความยากของคำถามประเภทนี้คือนับสองครั้งได้ง่าย ตัวอย่างเช่น จริงๆ แล้วมีสองตัวเลือกสำหรับ 3 บนทอย 2d6: 1+2 และ 2+1 มีลักษณะเหมือนกัน แต่ความแตกต่างคือหมายเลขใดที่แสดงบนลูกเต๋าตัวแรกและหมายเลขใดที่แสดงบนลูกเต๋าที่สอง คุณยังสามารถจินตนาการได้ว่าลูกเต๋ามีสีต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้ ลูกเต๋าลูกหนึ่งเป็นสีแดงและอีกลูกเป็นสีน้ำเงิน จากนั้นนับจำนวนตัวเลือกในการทอยเลขคู่: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6) ปรากฎว่ามี 18 ตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ที่ดีจาก 36 ตัวเลือก ดังเช่นในกรณีก่อนหน้านี้ ความน่าจะเป็นจะเท่ากับ 0.5 หรือ 50% อาจจะไม่คาดคิดแต่ค่อนข้างแม่นยำ

การจำลองมอนติคาร์โล

ถ้าคุณมีลูกเต๋ามากเกินไปสำหรับการคำนวณนี้ล่ะ? ตัวอย่างเช่น คุณต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มรวม 15 หรือมากกว่าเมื่อทอย 8d6 เป็นเท่าใด มีผลลัพธ์ที่แตกต่างกันมากมายสำหรับลูกเต๋าแปดลูก และการนับลูกเต๋าด้วยมืออาจใช้เวลานานมาก ถึงแม้เราจะพบบ้างก็ตาม การตัดสินใจที่ดีเพื่อที่จะจัดกลุ่มการทอยลูกเต๋าหลายชุด การนับยังคงใช้เวลานานมาก ในกรณีนี้มากที่สุด ด้วยวิธีง่ายๆการคำนวณความน่าจะเป็นไม่ได้ทำด้วยมือ แต่ใช้คอมพิวเตอร์ มีสองวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นบนคอมพิวเตอร์

วิธีแรกสามารถให้คำตอบที่ถูกต้องแก่คุณได้ แต่ต้องใช้การเขียนโปรแกรมหรือการเขียนสคริปต์เล็กน้อย โดยพื้นฐานแล้ว คอมพิวเตอร์จะพิจารณาความเป็นไปได้แต่ละรายการ ประเมินและนับจำนวนการวนซ้ำทั้งหมด และจำนวนการวนซ้ำที่ตรงกับผลลัพธ์ที่ต้องการ จากนั้นจึงให้คำตอบ รหัสของคุณอาจมีลักษณะดังนี้:

int wincount=0, จำนวนรวม=0;

สำหรับ (int i=1; i<=6; i++) {

สำหรับ (int j=1; j<=6; j++) {

สำหรับ (int k=1; k<=6; k++) {

... // แทรกลูปเพิ่มเติมที่นี่

ถ้า (i+j+k+… >= 15) (

ความน่าจะเป็นแบบลอยตัว = wincount/totalcount;

หากคุณไม่มีความรู้เกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมมากนัก และเพียงต้องการคำตอบโดยประมาณมากกว่าคำตอบที่แน่นอน คุณสามารถจำลองสถานการณ์นี้ใน Excel โดยที่คุณหมุน 8d6 สักสองสามพันครั้งและรับคำตอบ หากต้องการหมุน 1d6 ใน Excel ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

พื้น(แรนด์()*6)+1

มีชื่อของสถานการณ์เมื่อคุณไม่ทราบคำตอบและลองหลายครั้ง - การจำลองมอนติคาร์โลและนี่เป็นวิธีแก้ปัญหาที่ดีหากคุณพยายามคำนวณความน่าจะเป็นแต่มันซับซ้อนเกินไป สิ่งที่ยอดเยี่ยมคือในกรณีนี้ เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจว่าคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไร และเรารู้ว่าคำตอบจะ "ค่อนข้างดี" เพราะอย่างที่เรารู้อยู่แล้ว ยิ่งหมุนมากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะเข้าใกล้มากขึ้นเท่านั้น เฉลี่ย.

วิธีรวมการทดลองอิสระ

หากคุณถามเกี่ยวกับการทดลองซ้ำหลายครั้งแต่เป็นอิสระ ผลลัพธ์ของการทอยหนึ่งจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการทอยอื่นๆ มีคำอธิบายที่ง่ายกว่านี้อีกประการหนึ่งสำหรับสถานการณ์นี้

จะแยกแยะระหว่างสิ่งที่ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระได้อย่างไร? โดยพื้นฐานแล้ว หากคุณสามารถแยกการโยนลูกเต๋าแต่ละครั้ง (หรือต่อเนื่องกันของการโยน) เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกัน มันก็จะเป็นอิสระจากกัน ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการผลรวม 15 เมื่อทอย 8d6 กรณีนี้ไม่สามารถแบ่งออกเป็นทอยลูกเต๋าอิสระหลายๆ อันได้ เนื่องจากคุณนับผลรวมของค่าของลูกเต๋าทั้งหมดสำหรับผลลัพธ์ ผลลัพธ์ที่ได้มาในการลูกเต๋าหนึ่งลูกจะส่งผลต่อผลลัพธ์ที่ควรจะเกิดขึ้นกับลูกเต๋าอีกลูกหนึ่งด้วย เพราะคุณเพียงบวกค่าทั้งหมดเข้าด้วยกันเท่านั้น รับผลลัพธ์ที่ต้องการ

นี่คือตัวอย่างของการทอยลูกเต๋าแบบอิสระ: คุณกำลังเล่นเกมลูกเต๋า และคุณกำลังทอยลูกเต๋าหกด้านหลายครั้ง หากต้องการอยู่ในเกม คุณต้องทอยหมายเลข 2 หรือสูงกว่าในการทอยครั้งแรก สำหรับม้วนที่สอง - 3 หรือสูงกว่า อันที่ 3 ต้องได้ 4 หรือสูงกว่า อันที่ 4 ต้องได้ 5 หรือสูงกว่า และอันที่ 5 ต้องได้ 6 หากทอยทั้งห้าสำเร็จ คุณจะชนะ ในกรณีนี้ การโยนทั้งหมดจะเป็นอิสระจากกัน ใช่ หากการโยนครั้งใดล้มเหลว จะส่งผลต่อผลลัพธ์ของเกมทั้งหมด แต่การโยนครั้งเดียวจะไม่ส่งผลต่อการโยนครั้งต่อไป ตัวอย่างเช่น หากการทอยลูกเต๋าครั้งที่สองของคุณประสบความสำเร็จอย่างมาก สิ่งนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อความเป็นไปได้ที่การทอยลูกเต๋าครั้งถัดไปจะประสบความสำเร็จเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าแต่ละลูกแยกกัน

หากคุณมีความน่าจะเป็นที่แยกจากกันและเป็นอิสระ และต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นนั้นคืออะไร ทั้งหมดเหตุการณ์ต่างๆ จะเกิดขึ้น คุณเป็นผู้กำหนดความน่าจะเป็นของแต่ละคนและคูณมันอีกวิธีหนึ่ง: หากคุณใช้คำเชื่อม “และ” เพื่ออธิบายเงื่อนไขต่างๆ (เช่น ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์สุ่มจะเกิดขึ้นเป็นเท่าใด และเหตุการณ์สุ่มอิสระอื่น ๆ บ้างไหม) คำนวณความน่าจะเป็นแต่ละรายการแล้วคูณมัน

มันไม่สำคัญว่าคุณคิดอย่างไร ไม่เคยอย่าบวกความน่าจะเป็นแบบอิสระ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไป เพื่อให้เข้าใจว่าเหตุใดสิ่งนี้จึงผิด ลองจินตนาการถึงสถานการณ์ที่คุณโยนเหรียญ 50/50 และต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกันเป็นเท่าใด แต่ละฝ่ายมีโอกาส 50% ที่จะตก ดังนั้นหากคุณบวกความน่าจะเป็นทั้งสองเข้าด้วยกัน คุณจะมีโอกาส 100% ที่จะได้หัว แต่เรารู้ว่ามันไม่จริงเพราะมันอาจออกก้อยสองครั้งติดต่อกัน หากคุณคูณความน่าจะเป็นทั้งสองแทน คุณจะได้ 50%*50% = 25% ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้องสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกัน

ตัวอย่าง

กลับไปที่เกมลูกเต๋าหกด้านกัน โดยอันดับแรกคุณต้องหมุนตัวเลขที่สูงกว่า 2 แล้วสูงกว่า 3 เป็นต้น 6. อะไรคือโอกาสที่ในการโยนผลลัพธ์ทั้งหมด 5 ครั้งติดต่อกันจะเป็นที่น่าพอใจ?

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น สิ่งเหล่านี้เป็นการทดลองอิสระ ดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละทอยแล้วคูณพวกมัน ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการทอยครั้งแรกจะออกมาดีคือ 5/6 วินาที - 4/6 ที่สาม - 3/6 ที่สี่ - 2/6 ที่ห้า - 1/6 คูณผลลัพธ์ทั้งหมดนี้แล้วคุณจะได้ประมาณ 1.5%... ดังนั้น การชนะในเกมนี้จึงค่อนข้างหายาก ดังนั้นหากคุณเพิ่มองค์ประกอบนี้ลงในเกม คุณจะต้องมีแจ็คพอตที่ค่อนข้างใหญ่

การปฏิเสธ

เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์อีกข้อหนึ่งคือ บางครั้งการคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นนั้นทำได้ยาก แต่จะง่ายกว่าในการระบุโอกาสที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น จะไม่มา.

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีอีกเกมหนึ่งและคุณหมุนได้ 6d6 และถ้า อย่างน้อยหนึ่งครั้งหากคุณทอยได้ 6 คุณจะชนะ ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

ในกรณีนี้คุณต้องพิจารณาหลายทางเลือก บางทีอาจมีตัวเลขหนึ่งปรากฏขึ้น 6 เช่น ลูกเต๋าลูกหนึ่งจะแสดงเลข 6 และอีกลูกจะแสดงเลข 1 ถึง 5 และมีความเป็นไปได้ 6 อย่างที่ลูกเต๋าจะแสดงเลข 6 จากนั้นคุณจะได้เลข 6 จากลูกเต๋าสองลูกหรือสามลูก หรือมากกว่านั้น และแต่ละครั้งเราต้องคำนวณแยกกัน จึงอาจสับสนได้ง่าย

แต่มีวิธีอื่นในการแก้ปัญหานี้ ลองดูจากอีกด้านหนึ่ง คุณ คุณจะสูญเสียถ้า ไม่ได้อยู่ที่ใด ๆลูกเต๋าจะไม่ทอยเลข 6 ในกรณีนี้ เรามีการทดลองอิสระ 6 ครั้ง ความน่าจะเป็นของการทดสอบแต่ละครั้งคือ 5/6 (ลูกเต๋าสามารถทอยเลขอื่นใดก็ได้ยกเว้น 6) คูณพวกมันแล้วคุณจะได้ประมาณ 33% ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะแพ้คือ 1 ใน 3

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% (หรือ 2 ต่อ 3)

จากตัวอย่างนี้จะเห็นได้ชัดเจนว่า หากคุณคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น คุณจะต้องลบผลลัพธ์ออกจาก 100%หากความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% แสดงว่าความน่าจะเป็น สูญเสีย — 100% ลบ 67% หรือ 33% และในทางกลับกัน หากการคำนวณความน่าจะเป็นหนึ่งอย่างยาก แต่คำนวณสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ง่าย ให้คำนวณสิ่งที่ตรงกันข้ามแล้วลบออกจาก 100%

เรารวมเงื่อนไขสำหรับการทดสอบอิสระหนึ่งครั้ง

ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นว่าคุณไม่ควรเพิ่มความน่าจะเป็นในการทดลองอิสระ มีกรณีใดบ้างเมื่อ สามารถสรุปความน่าจะเป็น? - ใช่ ในสถานการณ์พิเศษอย่างหนึ่ง

หากคุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจหลายรายการในการทดลองครั้งเดียว ให้บวกความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจแต่ละรายการ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 4, 5 หรือ 6 บน 1d6 คือจำนวน ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 4 ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5 และความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 6 คุณสามารถจินตนาการสถานการณ์นี้ได้ดังนี้: ถ้าคุณใช้สันธาน "หรือ" ในคำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็น (เช่น ความน่าจะเป็นนั้นคืออะไรหรือ

ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันของเหตุการณ์สุ่มเหตุการณ์หนึ่ง) คำนวณความน่าจะเป็นแต่ละรายการและสรุปผล โปรดทราบว่าเมื่อคุณรวมผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

เกม ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดจะต้องเท่ากับ 100% หากผลรวมไม่เท่ากับ 100% แสดงว่าการคำนวณของคุณไม่ถูกต้อง นี่เป็นวิธีที่ดีในการตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง ตัวอย่างเช่น คุณวิเคราะห์ความน่าจะเป็นที่จะได้ชุดค่าผสมทั้งหมดในโป๊กเกอร์ หากคุณรวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับ คุณควรได้รับ 100% อย่างแน่นอน (หรืออย่างน้อยก็มีค่าค่อนข้างใกล้กับ 100% หากคุณใช้เครื่องคิดเลข คุณอาจมี ข้อผิดพลาดในการปัดเศษเล็กน้อย แต่ถ้าคุณบวกตัวเลขที่แน่นอนด้วยตนเอง ทุกอย่างควรจะรวมกัน) หากผลรวมไม่มาบรรจบกัน เป็นไปได้มากว่าคุณไม่ได้คำนึงถึงชุดค่าผสมบางชุด หรือคุณคำนวณความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมบางชุดไม่ถูกต้อง จากนั้นคุณจะต้องตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง

จนถึงขณะนี้ เราสันนิษฐานว่าแต่ละด้านของแม่พิมพ์ถูกรีดด้วยความถี่เดียวกัน เพราะนั่นคือวิธีการทำงานของแม่พิมพ์ แต่บางครั้งคุณกำลังเผชิญกับสถานการณ์ที่อาจได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันออกไป แตกต่างลดโอกาส ตัวอย่างเช่นในหนึ่งในส่วนขยายของเกมไพ่ "Nuclear War" มีสนามเด็กเล่นที่มีลูกศรซึ่งขึ้นอยู่กับผลของการปล่อยจรวด: โดยพื้นฐานแล้วจะสร้างความเสียหายตามปกติแข็งแกร่งขึ้นหรืออ่อนแอลง แต่บางครั้งความเสียหายก็คือ เพิ่มเป็นสองเท่าหรือสามเท่า หรือจรวดระเบิดบนแท่นปล่อยจรวดและทำให้คุณบาดเจ็บ หรือมีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น ต่างจากกระดานลูกศรใน "Chutes & Ladders" หรือ "A Game of Life" กระดานเกมใน "Nuclear War" มีผลลัพธ์ที่ไม่เท่ากัน สนามเด็กเล่นบางส่วนมีขนาดใหญ่กว่าและลูกศรจะหยุดที่พวกมันบ่อยกว่ามาก ในขณะที่ส่วนอื่นๆ มีขนาดเล็กมากและลูกศรจะหยุดที่พวกมันน้อยมาก

เมื่อมองแวบแรก กระดูกจะมีลักษณะดังนี้: 1, 1, 1, 2, 2, 3; เราได้คุยกันไปแล้ว มันเหมือนกับ 1d3 ถ่วงน้ำหนัก ดังนั้นเราต้องแบ่งส่วนเหล่านี้ออกเป็นส่วนๆ เท่าๆ กัน หาหน่วยการวัดที่เล็กที่สุดที่ทุกอย่างเป็นผลคูณของ แล้วแทนสถานการณ์เป็น d522 (หรืออย่างอื่น ) โดยที่หน้าลูกเต๋าหลายหน้าจะเป็นตัวแทนของสถานการณ์เดียวกัน แต่มีผลลัพธ์มากกว่า และนี่เป็นวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหา และเป็นไปได้ในทางเทคนิค แต่ก็มีวิธีที่ง่ายกว่า

กลับไปที่ลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานของเรากัน เราบอกว่าในการคำนวณค่าเฉลี่ยของการหมุนของแม่พิมพ์ปกติคุณต้องรวมค่าของหน้าทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนหน้า แต่อย่างไร อย่างแน่นอนมีการคำนวณเกิดขึ้นไหม? มีวิธีอื่นในการแสดงออกนี้ สำหรับการทอยลูกเต๋าหกด้าน ความน่าจะเป็นที่แต่ละด้านจะถูกทอยคือ 1/6 พอดี ตอนนี้เราคูณ อพยพแต่ละหน้าอยู่ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นี้ (ในกรณีนี้คือ 1/6 สำหรับแต่ละด้าน) จากนั้นเราจะสรุปค่าผลลัพธ์ ดังนั้น ผลรวม (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ) เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน (3.5) เช่นเดียวกับการคำนวณด้านบน อันที่จริง เรานับแบบนี้ทุกครั้ง: เราคูณผลลัพธ์แต่ละอย่างด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นั้น

เราสามารถคำนวณลูกศรบนสนามเด็กเล่นในเกม “Nuclear War” ได้หรือไม่? แน่นอนเราทำได้ และถ้าเรารวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่พบ เราก็จะได้ค่าเฉลี่ย สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการสำหรับลูกศรบนกระดานเกมแล้วคูณด้วยผลลัพธ์

อีกตัวอย่างหนึ่ง

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยโดยการคูณแต่ละผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็นของแต่ละคนก็เหมาะสมเช่นกันหากผลลัพธ์มีแนวโน้มเท่ากันแต่มีข้อดีต่างกัน เช่น หากคุณทอยลูกเต๋าและชนะในบางด้านมากกว่าด้านอื่น ตัวอย่างเช่น ลองเล่นเกมเหมือนในคาสิโน: คุณวางเดิมพันและทอย 2d6 หากคุณตีหมายเลขที่มีมูลค่าต่ำสามตัว (2, 3, 4) หรือตัวเลขที่มีมูลค่าสูงสี่ตัว (9, 10, 11, 12) คุณจะชนะจำนวนเงินที่เท่ากับการเดิมพันของคุณ ตัวเลขที่มีค่าต่ำสุดและสูงสุดเป็นตัวเลขพิเศษ หากคุณทอย 2 หรือ 12 คุณจะชนะ สองเท่ากว่าการเสนอราคาของคุณ หากทอยหมายเลขอื่น (5, 6, 7, 8) คุณจะเสียเงินเดิมพัน นี้เป็นเกมที่ค่อนข้างง่าย แต่ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

เริ่มต้นด้วยการนับจำนวนครั้งที่คุณสามารถชนะได้:

• จำนวนผลลัพธ์สูงสุดเมื่อทอย 2d6 คือ 36 จำนวนผลลัพธ์ที่ดีคือเท่าไร?
• มี 1 ตัวเลือกสำหรับการทอยสอง และ 1 ตัวเลือกสำหรับการทอยสิบสอง
• มี 2 ​​ตัวเลือกสำหรับการกลิ้งสามและสิบเอ็ด
• มี 3 ตัวเลือกสำหรับการทอยสี่และ 3 ตัวเลือกสำหรับการทอยสิบ
• มี 4 ตัวเลือกสำหรับการทอยเก้า
• เมื่อสรุปตัวเลือกทั้งหมดแล้ว เราจะได้ผลลัพธ์ที่น่าพอใจจำนวน 16 จาก 36 รายการ

ดังนั้นภายใต้สภาวะปกติ คุณจะชนะ 16 ครั้งจากทั้งหมด 36 ครั้งที่เป็นไปได้... ความน่าจะเป็นที่จะชนะจะน้อยกว่า 50% เล็กน้อย

แต่ในสองกรณีจาก 16 กรณีนี้ คุณจะชนะมากเป็นสองเท่า กล่าวคือ เหมือนชนะสองครั้ง! หากคุณเล่นเกมนี้ 36 ครั้ง เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง และผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละรายการเกิดขึ้นครั้งเดียว คุณจะชนะรางวัลรวม 18 ดอลลาร์ (จริง ๆ แล้วคุณจะชนะ 16 ครั้ง แต่สองครั้งจะนับเป็นสองครั้งที่ชนะ) หากคุณเล่น 36 ครั้งและชนะรางวัล $18 นั่นไม่ได้หมายความว่ามีโอกาสเท่ากันใช่หรือไม่

ใช้เวลาของคุณ หากคุณนับจำนวนครั้งที่คุณสามารถแพ้ได้ คุณจะได้รับ 20 ไม่ใช่ 18 หากคุณเล่น 36 ครั้ง เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง คุณจะชนะรางวัลรวม 18 ดอลลาร์ หากคุณทายถูกตัวเลือกที่ชนะทั้งหมด... แต่ คุณจะสูญเสียเงินทั้งหมด $20 หากผลลัพธ์ที่ไม่พึงประสงค์ทั้ง 20 รายการเกิดขึ้น! ผลก็คือ คุณจะตามหลังเล็กน้อย: คุณเสียเงินสุทธิเฉลี่ย 2 ดอลลาร์สำหรับทุก ๆ 36 เกม (คุณยังสามารถพูดได้ว่าคุณเสียเงินเฉลี่ย 1/18 ต่อวัน) ตอนนี้คุณคงเห็นแล้วว่าการทำผิดพลาดในกรณีนี้และคำนวณความน่าจะเป็นไม่ถูกต้องนั้นง่ายเพียงใด!

การจัดเรียงใหม่

จนถึงตอนนี้เราได้สันนิษฐานว่าลำดับของตัวเลขเมื่อโยนลูกเต๋าไม่สำคัญ การทอย 2+4 เหมือนกับการทอย 4+2 ในกรณีส่วนใหญ่ เราจะนับจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจด้วยตนเอง แต่บางครั้งวิธีนี้ใช้ไม่ได้ผลและควรใช้สูตรทางคณิตศาสตร์จะดีกว่า

ตัวอย่างของสถานการณ์นี้มาจากเกมลูกเต๋า “Farkle” ในแต่ละรอบใหม่ คุณจะหมุน 6d6 หากคุณโชคดีและได้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 1-2-3-4-5-6 (“ตรง”) คุณจะได้รับโบนัสก้อนใหญ่ โอกาสที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นคืออะไร? ในกรณีนี้ มีตัวเลือกมากมายในการรับชุดค่าผสมนี้!

วิธีแก้ไขมีดังนี้ ลูกเต๋าหนึ่งลูก (และมีเพียงลูกเต๋าเดียวเท่านั้น) ต้องมีหมายเลข 1! เลข 1 สามารถทอยเลข 1 ได้กี่วิธี? หกเนื่องจากมีลูกเต๋า 6 ลูกและหนึ่งในนั้นสามารถลงหมายเลข 1 ได้ ดังนั้นให้หยิบลูกเต๋าหนึ่งลูกแล้ววางไว้ข้างๆ ตอนนี้หนึ่งในลูกเต๋าที่เหลือควรหมุนหมายเลข 2 มีห้าตัวเลือกสำหรับสิ่งนี้ เอาแม่พิมพ์อีกอันมาวางไว้ข้างๆ จากนั้นลูกเต๋าที่เหลือสี่ลูกอาจลง 3 ลูกเต๋าที่เหลือสามลูกอาจลง 4 สองอาจลง 5 และคุณจบลงด้วยการตายหนึ่งแต้มที่ควรลง 6 (ในกรณีหลังมีเพียงลูกเต๋าเดียวเท่านั้นและ ไม่มีทางเลือก) ในการคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจสำหรับการตีเส้นตรง เราจะคูณตัวเลือกอิสระที่แตกต่างกันทั้งหมด: 6x5x4x3x2x1 = 720 - ดูเหมือนว่ามีหลายวิธีที่ชุดค่าผสมนี้จะเกิดขึ้น

ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้เส้นตรง เราต้องหาร 720 ด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการกลิ้ง 6d6 จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือเท่าไร? ลูกเต๋าแต่ละลูกสามารถมีได้ 6 ด้าน เราจึงคูณ 6x6x6x6x6x6 = 46656 (ตัวเลขสูงกว่ามาก!) หาร 720/46656 แล้วได้ความน่าจะเป็นประมาณ 1.5% หากคุณกำลังออกแบบเกมนี้ ข้อมูลนี้จะเป็นประโยชน์เพื่อให้คุณสามารถสร้างระบบการให้คะแนนตามนั้นได้ ตอนนี้เราเข้าใจแล้วว่าทำไมใน Farkle คุณจะได้รับโบนัสก้อนใหญ่หากคุณทำตรง เพราะสถานการณ์นี้ค่อนข้างหายาก!

ผลลัพธ์ก็น่าสนใจเช่นกันด้วยเหตุผลอื่น ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าในความเป็นจริงแล้วผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นจะเกิดขึ้นในช่วงเวลาสั้นๆ น้อยมากเพียงใด แน่นอนว่าถ้าเราทอยลูกเต๋าหลายพันลูกเต๋า ด้านต่างๆ ของลูกเต๋าก็จะเกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย แต่เมื่อเราทอยลูกเต๋าได้เพียงหกลูกเต๋าก็เกือบจะแล้ว ไม่เคยมันไม่เกิดขึ้นเลยที่แต่ละหน้าจะหลุดออกมา! จากนี้จึงชัดเจนว่าเป็นเรื่องโง่ที่คาดหวังว่าจะมีหน้าอื่นปรากฏขึ้นซึ่งยังไม่ตก “เพราะเราไม่ได้ทอยเลข 6 มาเป็นเวลานานซึ่งหมายความว่าจะตกแล้ว”

ฟังนะ เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย...

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความเข้าใจผิดทั่วไปเกี่ยวกับความน่าจะเป็น: การสันนิษฐานว่าผลลัพธ์ทั้งหมดเกิดขึ้นที่ความถี่เดียวกัน ในช่วงเวลาอันสั้นซึ่งจริงๆ แล้วไม่เป็นเช่นนั้น ถ้าเราโยนลูกเต๋าหลาย ๆ ครั้ง ความถี่ที่แต่ละด้านจะหลุดออกจะไม่เท่ากัน

หากคุณเคยเล่นเกมออนไลน์โดยใช้โปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มใดๆ มาก่อน คุณน่าจะประสบกับสถานการณ์ที่ผู้เล่นเขียนถึงฝ่ายสนับสนุนทางเทคนิคเพื่อแจ้งว่าโปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มของคุณใช้งานไม่ได้และไม่แสดงตัวเลขสุ่ม และเขาได้ข้อสรุปนี้เพราะเขาเพิ่งฆ่ามอนสเตอร์ 4 ตัวติดต่อกันและได้รับรางวัลที่เหมือนกันทั้งหมด 4 รางวัล และรางวัลเหล่านี้ควรปรากฏเพียง 10% ของเวลาเท่านั้น ดังนั้นนี้ แทบจะไม่เคยเลยไม่ควร เกิดขึ้นซึ่งหมายความว่าสิ่งนี้ อย่างชัดเจนว่าเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย

คุณกำลังทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ 1/10*1/10*1/10*1/10 เท่ากับ 1 ใน 10,000 ซึ่งถือว่าค่อนข้างหายาก และนั่นคือสิ่งที่ผู้เล่นพยายามจะบอกคุณ ในกรณีนี้จะมีปัญหาหรือไม่?

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ขณะนี้มีผู้เล่นกี่คนบนเซิร์ฟเวอร์ของคุณ? สมมติว่าคุณมีเกมที่ได้รับความนิยมและมีผู้เล่น 100,000 คนทุกวัน ผู้เล่นสามารถฆ่ามอนสเตอร์สี่ตัวติดต่อกันได้กี่คน? อะไรก็เป็นไปได้ หลายๆ ครั้งต่อวัน แต่สมมุติว่าครึ่งหนึ่งเป็นเพียงการแลกเปลี่ยนไอเท็มต่างๆ ในการประมูลหรือแชทบนเซิร์ฟเวอร์ RP หรือทำกิจกรรมอื่นๆ ในเกม ดังนั้นมีเพียงครึ่งเดียวเท่านั้นที่ล่ามอนสเตอร์จริงๆ ความน่าจะเป็นนั้นคืออะไร ถึงใครบางคนรางวัลเดียวกันนี้จะปรากฏหรือไม่? ในสถานการณ์เช่นนี้ คุณสามารถคาดหวังได้ว่ารางวัลเดียวกันจะปรากฏหลายครั้งต่อวันเป็นอย่างน้อย!

อย่างไรก็ตาม นั่นเป็นสาเหตุที่ดูเหมือนว่าทุกๆ สองสามสัปดาห์เป็นอย่างน้อย บางคนถูกลอตเตอรี่ถึงแม้จะเป็นใครก็ตาม ไม่เคยไม่ใช่คุณหรือเพื่อนของคุณ ถ้ามีคนเล่นมากพอทุกสัปดาห์ โอกาสก็มีเป็นอย่างน้อย หนึ่งโชคดี...แต่ถ้า. คุณหากคุณเล่นลอตเตอรี่ โอกาสที่คุณจะถูกรางวัลจะน้อยกว่าโอกาสที่คุณจะได้รับเชิญให้มาทำงานที่ Infinity Ward

การ์ดและการเสพติด

เราได้พูดคุยถึงเหตุการณ์อิสระ เช่น การทอยลูกเต๋า และตอนนี้ก็ได้ทราบเครื่องมืออันทรงพลังมากมายสำหรับการวิเคราะห์การสุ่มในเกมต่างๆ การคำนวณความน่าจะเป็นจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเมื่อพูดถึงการจั่วไพ่จากสำรับ เนื่องจากไพ่แต่ละใบที่เราจั่วจะส่งผลต่อไพ่ที่เหลืออยู่ในสำรับ หากคุณมีสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบและคุณนำไพ่ออกมา เช่น 10 ดวง และต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบต่อไปจะเป็นดอกเดียวกัน ความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปเนื่องจากคุณได้ถอดไพ่ออกจากชุดหนึ่งใบแล้ว ของหัวใจจากดาดฟ้า การ์ดแต่ละใบที่คุณนำออกจะเปลี่ยนความน่าจะเป็นของการ์ดใบถัดไปในสำรับ เนื่องจากในกรณีนี้ เหตุการณ์ก่อนหน้านี้มีอิทธิพลต่อเหตุการณ์ถัดไป เราจึงเรียกความน่าจะเป็นนี้ ขึ้นอยู่กับ.

โปรดทราบว่าเมื่อฉันพูดว่า "การ์ด" ฉันหมายถึง ใดๆกลไกของเกมที่มีชุดของวัตถุและคุณลบวัตถุหนึ่งชิ้นออกโดยไม่ต้องเปลี่ยนมัน "สำรับไพ่" ในกรณีนี้จะคล้ายคลึงกับถุงชิปที่คุณเอาชิปออกหนึ่งตัวและอย่าเปลี่ยนมัน หรือ โกศที่คุณวาดหินอ่อนสี (จริงๆ แล้วฉันไม่เคยเห็นเกมที่มีโกศที่มีหินอ่อนสีดึงมาจากมัน แต่ดูเหมือนว่าครูน่าจะชอบตัวอย่างนี้ด้วยเหตุผลบางประการ)

คุณสมบัติการพึ่งพา

ฉันอยากจะชี้แจงว่าเมื่อพูดถึงการ์ด ฉันคิดว่าคุณจั่วการ์ด ดูการ์ด และนำการ์ดออกจากสำรับ การกระทำแต่ละอย่างเหล่านี้เป็นทรัพย์สินที่สำคัญ

ถ้าฉันมีสำรับไพ่หกใบที่มีหมายเลข 1 ถึง 6 และฉันสับไพ่แล้วหยิบไพ่ออกมาหนึ่งใบแล้วสับไพ่ทั้งหกใบอีกครั้ง มันจะคล้ายกับการโยนลูกเต๋าหกด้าน ผลลัพธ์หนึ่งจะไม่ส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์ที่ตามมา เฉพาะในกรณีที่ฉันจั่วไพ่แล้วไม่เปลี่ยน ผลการจั่วไพ่หมายเลข 1 จะเพิ่มความน่าจะเป็นที่ครั้งต่อไปที่ฉันจั่วไพ่หมายเลข 6 (ความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นจนในที่สุดฉันจะจั่วไพ่ใบนั้นหรือ จนกว่าฉันจะสับไพ่)

ความจริงที่ว่าเรา ดูบนการ์ดก็มีความสำคัญเช่นกัน หากฉันนำการ์ดออกจากสำรับและไม่ดู ฉันไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมและความน่าจะเป็นจะไม่เปลี่ยนแปลงจริงๆ นี่อาจฟังดูขัดกับสัญชาตญาณ การพลิกไพ่สามารถเปลี่ยนโอกาสได้อย่างน่าอัศจรรย์ได้อย่างไร? แต่มันเป็นไปได้เพราะว่าคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับรายการที่ไม่รู้จักโดยพิจารณาจากสิ่งที่คุณทำ คุณรู้- ตัวอย่างเช่น หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐานและเปิดเผยไพ่ 51 ใบ แต่ไม่มีไพ่ใดที่เป็นราชินีแห่งไพ่ คุณจะรู้ได้อย่างมั่นใจ 100% ว่าไพ่ที่เหลือคือไพ่ราชินีแห่งไพ่ หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐานและจั่วไพ่ 51 ใบ ถึงอย่างไรก็ตามสำหรับพวกเขาแล้วความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่เหลือเป็นราชินีแห่งไม้กอล์ฟจะยังคงเป็น 1/52 เมื่อคุณเปิดการ์ดแต่ละใบ คุณจะได้รับข้อมูลเพิ่มเติม

การคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับหลักการเดียวกันกับเหตุการณ์อิสระ ยกเว้นว่าจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเนื่องจากความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไปเมื่อคุณเปิดเผยไพ่ ดังนั้นคุณต้องคูณค่าต่างๆ หลายๆ ค่าแทนที่จะคูณค่าเดียวกัน ความหมายจริงๆ ก็คือเราจำเป็นต้องรวมการคำนวณทั้งหมดที่เราทำเข้าด้วยกันเป็นชุดเดียว

ตัวอย่าง

คุณสับไพ่สำรับมาตรฐาน 52 ใบแล้วจั่วไพ่สองใบ ความน่าจะเป็นที่คุณจะวาดคู่เป็นเท่าใด? มีหลายวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นนี้ แต่วิธีที่ง่ายที่สุดมีดังนี้ ความน่าจะเป็นที่ถ้าคุณหยิบไพ่ออกมาหนึ่งใบ คุณจะไม่สามารถหยิบไพ่ออกมาเป็นคู่ได้เป็นเท่าไหร่? ความน่าจะเป็นนี้เป็นศูนย์ ดังนั้นไม่สำคัญว่าคุณจะจั่วไพ่ใบแรกใบไหน ตราบใดที่มันตรงกับใบที่สอง ไม่ว่าเราจะจั่วไพ่ใบไหนก่อนก็ยังมีโอกาสจั่วไพ่คู่ได้ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จั่วไพ่ใบแรกได้จะเป็น 100%

ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองตรงกับใบแรกเป็นเท่าใด? มีไพ่เหลือ 51 ใบในสำรับและ 3 ใบตรงกับไพ่ใบแรก (จริงๆ แล้วจะมี 4 ใบจาก 52 ใบ แต่คุณได้เอาไพ่ที่ตรงกันออกแล้วเมื่อคุณจั่วไพ่ใบแรก!) ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 1/ 17. (ดังนั้น ครั้งถัดไปที่ผู้ชายที่นั่งตรงข้ามโต๊ะกับคุณเล่น Texas Hold'em พูดว่า "เจ๋ง อีกคู่หนึ่ง วันนี้ฉันรู้สึกโชคดี" คุณจะรู้ว่ามีโอกาสค่อนข้างดีที่เขาจะบลัฟ)

จะเป็นอย่างไรถ้าเราเพิ่มโจ๊กเกอร์สองตัวและตอนนี้เรามีไพ่ 54 ใบในสำรับและเราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่คู่คืออะไร? ไพ่ใบแรกอาจเป็นโจ๊กเกอร์แล้วสำรับก็จะมีเพียง หนึ่งไพ่ไม่ใช่สามซึ่งจะจับคู่ จะหาความน่าจะเป็นในกรณีนี้ได้อย่างไร? เราจะหารความน่าจะเป็นและคูณความเป็นไปได้แต่ละรายการ

ไพ่ใบแรกของเราอาจเป็นไพ่โจ๊กเกอร์หรือไพ่ใบอื่น ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่โจ๊กเกอร์คือ 2/54 ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ใบอื่นคือ 52/54

ถ้าไพ่ใบแรกเป็นโจ๊กเกอร์ (2/54) ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองจะตรงกับใบแรกคือ 1/53 การคูณค่า (เราสามารถคูณได้เพราะสิ่งเหล่านี้เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันและเราต้องการ ทั้งคู่เหตุการณ์เกิดขึ้น) และเราได้รับ 1/1431 - น้อยกว่าหนึ่งในสิบของเปอร์เซ็นต์

หากคุณจั่วไพ่ใบอื่นก่อน (52/54) ความน่าจะเป็นที่จะจับคู่ไพ่ใบที่สองคือ 3/53 เราคูณค่าแล้วได้ 78/1431 (มากกว่า 5.5%) เล็กน้อย

เราจะทำอย่างไรกับผลลัพธ์ทั้งสองนี้? พวกมันไม่ตัดกัน และเราอยากทราบความน่าจะเป็น ทุกคนดังนั้นเราจึงรวมค่าต่างๆ เข้าด้วยกัน! เราได้ผลลัพธ์สุดท้ายที่ 79/1431 (ยังคงประมาณ 5.5%)

หากเราต้องการแน่ใจในความถูกต้องของคำตอบ เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อื่นๆ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เช่น จั่วไพ่โจ๊กเกอร์แต่ไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง หรือจั่วไพ่ใบอื่นแต่ไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง แล้วบวกเข้าไป บวกกับความน่าจะเป็นที่จะชนะ เราจะได้ 100% พอดี ฉันจะไม่บอกคณิตศาสตร์ตรงนี้ แต่คุณสามารถลองคณิตศาสตร์เพื่อตรวจสอบอีกครั้งได้

มอนตี้ ฮอลล์ พาราด็อกซ์

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่ค่อนข้างโด่งดังซึ่งมักสร้างความสับสนให้กับผู้คนจำนวนมาก นั่นก็คือ Monty Hall Paradox ความขัดแย้งนี้ตั้งชื่อตามพิธีกรรายการทีวี “Let’s Make a Deal” มอนตี้ ฮอลล์ หากคุณไม่เคยเห็นรายการนี้ รายการนี้ตรงกันข้ามกับรายการทีวี "The Price Is Right" ใน “The Price Is Right” พิธีกร (Bob Barker เคยเป็นเจ้าภาพ ตอนนี้เป็น... Drew Carey ยังไงก็ตาม...) คือเพื่อนของคุณ เขา ต้องการเพื่อให้คุณสามารถชนะเงินหรือของรางวัลสุดเจ๋ง มันพยายามให้ทุกโอกาสแก่คุณในการชนะ ตราบใดที่คุณสามารถเดาได้ว่าสินค้าที่ผู้สนับสนุนซื้อนั้นมีมูลค่าเท่าไร

มอนตี้ ฮอลล์มีพฤติกรรมแตกต่างออกไป เขาเป็นเหมือนฝาแฝดที่ชั่วร้ายของ Bob Barker เป้าหมายของเขาคือการทำให้คุณดูเป็นคนงี่เง่าในโทรทัศน์ระดับชาติ หากคุณอยู่ในรายการ เขาเป็นคู่ต่อสู้ของคุณ คุณเล่นกับเขา และโอกาสก็เข้าข้างเขา บางทีฉันอาจจะรุนแรงเกินไป แต่เมื่อโอกาสได้รับเลือกให้เป็นผู้เข้าแข่งขันดูเหมือนจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการที่คุณใส่สูทไร้สาระ ฉันก็ได้ข้อสรุปแบบนี้

แต่หนึ่งในมีมที่โด่งดังที่สุดของรายการก็คือ: มีประตูสามบานอยู่ตรงหน้าคุณ และเรียกว่าประตูหมายเลข 1 ประตูหมายเลข 2 และประตูหมายเลข 3 คุณสามารถเลือกหนึ่งประตู... ฟรี! หลังประตูบานใดบานหนึ่งมีรางวัลอันงดงาม เช่น รถยนต์คันใหม่ ไม่มีรางวัลหลังประตูอีกบาน สองประตูนี้ไม่มีค่า เป้าหมายของพวกเขาคือการทำให้คุณขายหน้า และไม่ใช่ว่าไม่มีอะไรอยู่ข้างหลังพวกเขาเลย มีบางอย่างข้างหลังพวกเขาที่ดูงี่เง่า เหมือนมีแพะอยู่ข้างหลังพวกเขา หรือยาสีฟันหลอดใหญ่ หรืออะไรสักอย่าง... อะไรบางอย่าง อะไรกันแน่ เกิดขึ้น ไม่รถยนต์นั่งส่วนบุคคลใหม่

คุณกำลังเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง และมอนตี้กำลังจะเปิดประตูเพื่อแจ้งให้คุณทราบว่าคุณชนะหรือไม่... แต่เดี๋ยวก่อน ก่อนที่เราจะรู้ลองดูที่หนึ่งในนั้น เหล่านั้นประตูคุณ ไม่ได้ถูกเลือก- เนื่องจากมอนตี้รู้ว่ารางวัลอยู่ข้างหลังประตูไหนและมีเพียงรางวัลเดียวเท่านั้นและ สองประตูที่คุณไม่ได้เลือก ไม่ว่ายังไงเขาก็สามารถเปิดประตูที่ไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลังได้เสมอ “คุณกำลังเลือกประตูหมายเลข 3 หรือไม่? งั้นเปิดประตูหมายเลข 1 แสดงว่าไม่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง” และตอนนี้ ด้วยความเอื้ออาทร เขาเสนอโอกาสให้คุณแลกเปลี่ยนประตูหมายเลข 3 ที่คุณเลือกกับสิ่งที่อยู่ด้านหลังประตูหมายเลข 2 เมื่อถึงจุดนี้เองที่คำถามของความน่าจะเป็นเกิดขึ้น: การสามารถเลือกประตูอื่นเพิ่มความน่าจะเป็นของ ชนะหรือลดลงหรือยังคงอยู่เหมือนเดิม? คุณคิดอย่างไร?

คำตอบที่ถูกต้อง: ความสามารถในการเลือกประตูอื่น เพิ่มขึ้นความน่าจะเป็นที่จะชนะจาก 1/3 ถึง 2/3 นี่เป็นเรื่องไร้เหตุผล หากคุณไม่เคยพบกับความขัดแย้งนี้มาก่อน คุณอาจจะคิดว่า เดี๋ยวก่อน เราเปลี่ยนความน่าจะเป็นด้วยการเปิดประตูบานเดียวได้อย่างน่าอัศจรรย์หรือเปล่า? แต่อย่างที่เราได้เห็นในตัวอย่างกับการ์ดด้านบนนี้แล้ว อย่างแน่นอนจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราได้รับข้อมูลเพิ่มเติม เห็นได้ชัดว่าความน่าจะเป็นที่จะชนะเมื่อคุณเลือกครั้งแรกคือ 1/3 และฉันเชื่อว่าทุกคนจะเห็นด้วยกับสิ่งนี้ เมื่อประตูบานหนึ่งหลุดออกไปก็ไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นที่จะชนะตัวเลือกแรกแต่อย่างใดความน่าจะเป็นยังคงอยู่ที่ 1/3 แต่นั่นหมายความว่าความน่าจะเป็นที่ อื่นประตูตอนนี้ถูกต้อง 2/3

ลองดูตัวอย่างนี้จากมุมมองที่ต่างออกไป คุณเลือกประตู ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 ฉันขอแนะนำให้คุณเปลี่ยน สองประตูอื่นๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่มอนตี้ ฮอลล์เสนอให้ทำจริงๆ แน่นอนว่าเขาเปิดประตูบานหนึ่งเพื่อแสดงว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง แต่เขา เสมอสามารถทำได้จึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรจริงๆ แน่นอนว่าคุณจะต้องเลือกประตูอื่น!

หากคุณไม่ค่อยชัดเจนเกี่ยวกับปัญหานี้และต้องการคำอธิบายที่น่าเชื่อถือกว่านี้ ให้คลิกที่ลิงก์นี้เพื่อไปที่แอปพลิเคชัน Flash ตัวเล็ก ๆ ที่จะช่วยให้คุณสามารถสำรวจความขัดแย้งนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น คุณสามารถเล่นโดยเริ่มจากประตูประมาณ 10 ประตูแล้วค่อยๆ เลื่อนขึ้นไปสู่เกมที่มีสามประตู นอกจากนี้ยังมีเครื่องจำลองที่คุณสามารถเลือกจำนวนประตูได้ตั้งแต่ 3 ถึง 50 ประตู และเล่นหรือรันการจำลองหลายพันแบบ และดูว่าคุณจะชนะกี่ครั้งหากคุณเล่น

คำพูดจากครูคณิตศาสตร์ระดับสูงและผู้เชี่ยวชาญด้านความสมดุลของเกม Maxim Soldatov ซึ่งแน่นอนว่า Schreiber ไม่มี แต่ถ้าไม่มีก็ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจการเปลี่ยนแปลงมหัศจรรย์นี้:

คุณเลือกประตู หนึ่งในสาม ความน่าจะเป็นที่จะ “ชนะ” คือ 1/3 ตอนนี้คุณมี 2 กลยุทธ์: เปลี่ยนหลังจากเปิดประตูผิด ว่าจะเลือกหรือไม่ หากคุณไม่เปลี่ยนตัวเลือก ความน่าจะเป็นจะยังคงอยู่ที่ 1/3 เนื่องจากตัวเลือกจะเกิดขึ้นในช่วงแรกเท่านั้นและคุณต้องเดาทันที แต่ถ้าคุณเปลี่ยน คุณก็สามารถชนะได้หากคุณเลือกผิดก่อน ประตู (แล้วเขาเปิดอีกอันผิดจะคงความซื่อสัตย์คุณเปลี่ยนใจแล้วพาเธอไป)
ความน่าจะเป็นในการเลือกประตูผิดตั้งแต่ต้นคือ 2/3 ดังนั้นปรากฎว่าการเปลี่ยนการตัดสินใจจะทำให้คุณมีโอกาสชนะมากขึ้น 2 เท่า

และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของ Monty Hall

ในส่วนของการแสดงนั้น Monty Hall รู้เรื่องนี้ดี เพราะแม้ว่าคู่แข่งของเขาจะไม่เก่งคณิตศาสตร์ก็ตาม เขาเข้าใจมันดี นี่คือสิ่งที่เขาทำเพื่อเปลี่ยนแปลงเกมเล็กน้อย หากคุณเลือกประตูด้านหลังที่มีรางวัล ความน่าจะเป็นคือ 1/3 ก็คือรางวัลนั้น เสมอเปิดโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่น ท้ายที่สุด คุณเลือกรถโดยสารแล้วคุณจะแลกมันกับแพะ และคุณจะดูงี่เง่ามาก ซึ่งตรงกับที่เขาต้องการเพราะเขาเป็นคนประเภทที่ชั่วร้าย แต่หากเลือกประตูหลังอันไหน จะไม่มีรางวัล, เท่านั้น ครึ่งหนึ่งในกรณีเช่นนี้ เขาจะแจ้งให้คุณเลือกประตูอื่น และในกรณีอื่นๆ เขาจะแสดงแพะตัวใหม่ให้คุณดู แล้วคุณจะออกจากที่เกิดเหตุ มาวิเคราะห์เกมใหม่ที่ Monty Hall สามารถทำได้ เลือกให้คุณมีโอกาสเลือกประตูอื่นหรือไม่

สมมติว่าเขาทำตามอัลกอริทึมนี้: หากคุณเลือกประตูที่มีรางวัล เขาจะเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นเสมอ ไม่เช่นนั้นจะมีโอกาส 50/50 ที่เขาจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่นหรือให้แพะแก่คุณ ความน่าจะเป็นของคุณที่จะชนะคืออะไร?

ในหนึ่งในสามตัวเลือก คุณจะเลือกประตูที่อยู่ด้านหลังรางวัลทันที และผู้นำเสนอขอเชิญให้คุณเลือกประตูอื่น

จากสองตัวเลือกที่เหลือจากสามตัวเลือก (ในตอนแรกคุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัล) ในครึ่งหนึ่งของผู้นำเสนอจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่นและในอีกครึ่งหนึ่งของกรณี - ไม่ใช่ ครึ่งหนึ่งของ 2/3 คือ 1/3 เช่น ในกรณีหนึ่งในสามคุณจะได้แพะ ในกรณีหนึ่งในสามคุณเลือกประตูผิด และเจ้าของบ้านจะขอให้คุณเลือกอีกประตูหนึ่ง และในกรณีหนึ่งในสามที่คุณเลือก ประตูด้านขวาและเขาจะขอให้คุณเลือกประตูอื่น

ถ้าผู้นำเสนอเสนอให้เลือกประตูอื่น เราก็รู้แล้วว่า 1 ใน 3 กรณีที่เขาให้แพะเราแล้วเราออกไปนั้นไม่เกิดขึ้น นี่เป็นข้อมูลที่เป็นประโยชน์เพราะนั่นหมายความว่าโอกาสในการชนะของเราเปลี่ยนไป ในสองกรณีจากสามกรณี เมื่อเรามีโอกาสเลือก กรณีหนึ่งหมายความว่าเราทายถูก และอีกกรณีหนึ่งเราทายผิด ดังนั้นหากเราได้รับโอกาสในการเลือกเลย หมายความว่า ความน่าจะเป็นที่เราจะชนะคือ 50/50 และไม่มีเลย ทางคณิตศาสตร์ผลประโยชน์ ให้คุณเลือกหรือเลือกประตูอื่น

เช่นเดียวกับโป๊กเกอร์ ตอนนี้มันเป็นเกมแนวจิตวิทยา ไม่ใช่เกมทางคณิตศาสตร์ มอนตี้ให้ทางเลือกแก่คุณ เพราะเขาคิดว่าคุณมันงี่เง่าที่ไม่รู้ว่าการเลือกประตูอีกบานเป็นการตัดสินใจที่ "ถูกต้อง" และคุณจะยึดมั่นในตัวเลือกของคุณอย่างดื้อรั้น เพราะในทางจิตวิทยา สถานการณ์คือเมื่อคุณเลือก รถแล้วหายหนักขึ้น? หรือเขาคิดว่าคุณฉลาดและเลือกประตูอื่น และเขาเสนอโอกาสนี้ให้คุณเพราะเขารู้ว่าคุณเดาถูกตั้งแต่แรก และคุณจะติดกับดัก? หรือบางทีเขาอาจจะใจดีกับตัวเองอย่างไม่เคยเป็นมาก่อนและกดดันให้คุณทำบางอย่างเพื่อประโยชน์ส่วนตัวของคุณเพราะเขาไม่ได้แจกรถมาสักพักแล้วและโปรดิวเซอร์ของเขาบอกเขาว่าผู้ชมเริ่มเบื่อแล้วและเขาควรจะแจกรถให้ รางวัลใหญ่เร็วๆ นี้เรตติ้งไม่ตกเหรอ?

ด้วยวิธีนี้ มอนตี้สามารถเสนอทางเลือกต่างๆ (ในบางครั้ง) และยังคงรักษาความน่าจะเป็นโดยรวมที่จะชนะที่ 1/3 โปรดจำไว้ว่าความน่าจะเป็นที่คุณจะสูญเสียทันทีคือ 1/3 ความน่าจะเป็นที่คุณจะทายถูกทันทีคือ 1/3 และ 50% ของครั้งนั้นคุณจะชนะ (1/3 x 1/2 = 1/6) โอกาสที่คุณจะทายผิดในตอนแรกแต่ต่อมามีโอกาสเลือกประตูอื่นคือ 1/3 และ 50% ของครั้งนั้นคุณจะชนะ (เช่น 1/6) เพิ่มความเป็นไปได้ในการชนะโดยอิสระสองรายการ และคุณจะได้รับความน่าจะเป็น 1/3 ดังนั้นไม่ว่าคุณจะเลือกประตูต่อไปหรือเลือกประตูอื่น ความน่าจะเป็นโดยรวมในการชนะตลอดทั้งเกมคือ 1/3... ความน่าจะเป็นจะไม่มากขึ้น กว่าในสถานการณ์ที่คุณจะเดาประตูและผู้นำเสนอจะให้คุณดูสิ่งที่อยู่หลังประตูนี้โดยไม่มีโอกาสเลือกประตูอื่น! ดังนั้นประเด็นของการเสนอตัวเลือกในการเลือกประตูอื่นไม่ใช่เพื่อเปลี่ยนความน่าจะเป็น แต่เพื่อทำให้กระบวนการตัดสินใจดูสนุกสนานยิ่งขึ้นในการรับชมทางโทรทัศน์

อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเหตุผลหนึ่งว่าทำไมโป๊กเกอร์จึงน่าสนใจมาก: ในรูปแบบส่วนใหญ่ ระหว่างรอบที่มีการวางเดิมพัน (เช่น ฟล็อป เทิร์น และริเวอร์ใน Texas Hold'em) ไพ่จะค่อยๆ เผยออกมา และหากตอนเริ่มเกมคุณมีโอกาสชนะหนึ่งรายการ หลังจากแต่ละรอบของการเดิมพัน เมื่อมีการเปิดเผยไพ่มากขึ้น ความน่าจะเป็นนี้จะเปลี่ยนไป

ความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงอีกประการหนึ่งที่มักจะทำให้ทุกคนงง - ความขัดแย้งระหว่างเด็กชายและเด็กหญิง สิ่งเดียวที่ฉันเขียนเกี่ยวกับวันนี้ซึ่งไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับเกม (แม้ว่าฉันเดาว่านั่นหมายถึงฉันควรสนับสนุนให้คุณสร้างกลไกเกมที่เกี่ยวข้อง) มันเป็นปริศนามากกว่า แต่เป็นปริศนาที่น่าสนใจ และเพื่อที่จะแก้ไขมัน คุณต้องเข้าใจความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ซึ่งเราได้พูดถึงไปแล้วข้างต้น

ปัญหา: ฉันมีเพื่อนที่มีลูกสองคน อย่างน้อยหนึ่งรายการเด็กเป็นเด็กผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นเท่าใด เดียวกันสาว? สมมติว่าในครอบครัวใดก็ตาม มีโอกาส 50/50 ที่จะมีเด็กหญิงหรือเด็กชาย และนี่เป็นเรื่องจริงสำหรับเด็กแต่ละคน (อันที่จริง ผู้ชายบางคนมีสเปิร์มที่มีโครโมโซม X หรือโครโมโซม Y มากกว่า ความน่าจะเป็นจึงเปลี่ยนไป สักนิดถ้ารู้ว่าลูกคนหนึ่งเป็นเด็กผู้หญิงความน่าจะเป็นที่จะมีลูกสาวจะสูงกว่านี้เล็กน้อยแถมยังมีเงื่อนไขอื่น ๆ อีก เช่น ภาวะกระเทย แต่เพื่อแก้ปัญหานี้เราจะไม่คำนึงถึงเรื่องนี้และถือว่า การเกิดของเด็กเป็นเหตุการณ์อิสระและความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายหรือเด็กหญิงจะเท่ากัน)

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงโอกาส 1/2 โดยสัญชาตญาณแล้ว เราคาดว่าคำตอบน่าจะเป็น 1/2 หรือ 1/4 หรือจำนวนรอบอื่นๆ ที่เป็นจำนวนเท่าของสอง แต่คำตอบคือ: 1/3 - รอทำไม?

ปัญหาที่นี่คือข้อมูลที่เรามีลดจำนวนความเป็นไปได้ สมมติว่าพ่อแม่เป็นแฟนพันธุ์แท้ของ Sesame Street และไม่ว่าเด็กจะเกิดมาเป็นเด็กชายหรือเด็กหญิงก็ตาม ให้ตั้งชื่อลูกว่า A และ B ภายใต้สภาวะปกติ มีความเป็นไปได้ที่เป็นไปได้สี่ประการที่เท่าเทียมกัน: A และ B เป็นเด็กชายสองคน A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคน A เป็นเด็กผู้ชาย และ B เป็นเด็กผู้หญิง A เป็นเด็กผู้หญิง และ B เป็นเด็กผู้ชาย เนื่องจากเรารู้แล้วว่า อย่างน้อยหนึ่งรายการเด็กเป็นเด็กผู้หญิง เราสามารถขจัดความเป็นไปได้ที่ A และ B จะเป็นเด็กชายสองคนได้ ดังนั้นเราจึงเหลือความเป็นไปได้สามอย่าง (ยังคงมีโอกาสเท่าๆ กัน) ถ้าความเป็นไปได้ทั้งหมดมีโอกาสเท่ากันและมีสามอัน เรารู้ว่าความน่าจะเป็นของแต่ละอันคือ 1/3 มีเพียงหนึ่งในสามตัวเลือกเท่านั้นที่เป็นทั้งเด็กผู้หญิง ดังนั้นคำตอบคือ 1/3

และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

การแก้ปัญหาก็ยิ่งไร้เหตุผลมากขึ้นไปอีก ลองนึกภาพว่าฉันบอกคุณว่าเพื่อนของฉันมีลูกสองคนและลูกหนึ่งคน - เด็กหญิงที่เกิดวันอังคาร- สมมติว่าภายใต้สภาวะปกติ ความน่าจะเป็นที่เด็กจะเกิดในวันใดวันหนึ่งในเจ็ดวันของสัปดาห์จะเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กผู้หญิงเป็นเท่าไร? คุณอาจคิดว่าคำตอบยังคงเป็น 1/3; วันอังคารมีความสำคัญอย่างไร? แต่ในกรณีนี้ สัญชาตญาณก็ทำให้เราล้มเหลว คำตอบ: 13/27 ซึ่งไม่เพียงแต่ไม่เป็นไปตามสัญชาตญาณเท่านั้น แต่ยังแปลกมากอีกด้วย เกิดอะไรขึ้น ในกรณีนี้?

อันที่จริง วันอังคารเปลี่ยนความน่าจะเป็นเพราะเราไม่รู้ ที่ทารกเกิดวันอังคารหรืออาจจะ เด็กสองคนเกิดวันอังคาร. ในกรณีนี้ เราใช้ตรรกะเดียวกันกับข้างต้น เราจะนับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อมีเด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคารอย่างน้อยหนึ่งคน เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ สมมติว่ารายการย่อยชื่อ A และ B ชุดค่าผสมจะมีลักษณะดังนี้:

• A คือเด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร B เป็นเด็กผู้ชาย (ในสถานการณ์นี้มีความเป็นไปได้ 7 ประการ โดยหนึ่งอย่างสำหรับแต่ละวันในสัปดาห์ที่เด็กผู้ชายจะเกิดได้)
• B เป็นเด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร A เป็นเด็กผู้ชาย (เป็นไปได้ 7 ประการด้วย)
• กเป็นผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร บีเป็นผู้หญิงที่เกิดวันที่ อื่นวันในสัปดาห์ (6 ความเป็นไปได้)
• B คือเด็กหญิงที่เกิดวันอังคาร A คือเด็กหญิงที่ไม่ได้เกิดวันอังคาร (มีความน่าจะเป็น 6 ประการด้วย)
• A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคนที่เกิดวันอังคาร (มีความเป็นไปได้ 1 ข้อ คุณต้องใส่ใจเรื่องนี้เพื่อไม่ให้นับซ้ำ)

เรารวมแล้วได้ 27 รายการที่เป็นไปได้เท่าๆ กันสำหรับการเกิดของเด็กและวัน โดยความเป็นไปได้ที่เด็กหญิงจะเกิดในวันอังคารอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ในจำนวนนี้มีความเป็นไปได้ 13 ประการเมื่อเด็กหญิงสองคนเกิดมา มันยังดูไร้เหตุผลเลย และดูเหมือนว่างานนี้ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อทำให้ปวดหัวเท่านั้น หากคุณยังคงรู้สึกสับสนกับตัวอย่างนี้ นักทฤษฎีเกม Jesper Juhl มีคำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับปัญหานี้บนเว็บไซต์ของเขา

หากคุณกำลังเล่นเกมอยู่...

หากมีการสุ่มในเกมที่คุณกำลังออกแบบ นี่เป็นเวลาที่ดีในการวิเคราะห์มัน เลือกองค์ประกอบบางอย่างที่คุณต้องการวิเคราะห์ ขั้นแรกให้ถามตัวเองว่าความน่าจะเป็นสำหรับองค์ประกอบที่กำหนดนั้นเป็นไปตามความคาดหวังของคุณ คุณคิดว่าควรเป็นอย่างไรในบริบทของเกม ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังสร้างเกม RPG และคุณสงสัยว่าความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะสามารถเอาชนะสัตว์ประหลาดในการต่อสู้ควรเป็นเท่าใด ให้ถามตัวเองว่าเปอร์เซ็นต์การชนะที่คุณรู้สึกถูกต้องคืออะไร โดยทั่วไปเมื่อเล่นเกมคอนโซล RPG ผู้เล่นจะรู้สึกเสียใจมากเมื่อแพ้ ดังนั้นจะดีที่สุดหากไม่แพ้บ่อย... อาจจะ 10% ของเวลาหรือน้อยกว่านั้น? หากคุณเป็นนักออกแบบเกม RPG คุณคงรู้ดีกว่าฉัน แต่คุณต้องมีแนวคิดพื้นฐานว่าความน่าจะเป็นควรเป็นเช่นไร

แล้วถามตัวเองว่านี่คืออะไร ขึ้นอยู่กับ(เช่นการ์ด) หรือ เป็นอิสระ(เหมือนลูกเต๋า) วิเคราะห์ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็นทั้งหมด ตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ 100% และสุดท้าย แน่นอน เปรียบเทียบผลลัพธ์ของคุณกับผลลัพธ์ที่คุณคาดหวังไว้ การทอยลูกเต๋าหรือการจั่วไพ่เกิดขึ้นตามที่คุณต้องการหรือคุณเห็นว่าจำเป็นต้องปรับค่า และแน่นอนว่าถ้าคุณ คุณจะพบสิ่งที่ต้องปรับเปลี่ยน คุณสามารถใช้การคำนวณเดียวกันเพื่อกำหนดว่าต้องปรับเปลี่ยนอะไรบ้าง!

การบ้านที่ได้รับมอบหมาย

“การบ้าน” ของคุณในสัปดาห์นี้จะช่วยให้คุณฝึกฝนทักษะความน่าจะเป็นได้ นี่คือเกมลูกเต๋าสองเกมและเกมไพ่หนึ่งเกมที่คุณจะวิเคราะห์โดยใช้ความน่าจะเป็น เช่นเดียวกับกลไกเกมแปลก ๆ ที่ฉันเคยพัฒนาซึ่งจะทดสอบวิธีมอนติคาร์โล

เกม #1 - กระดูกมังกร

นี่คือเกมลูกเต๋าที่เพื่อนร่วมงานของฉันและฉันเคยคิดขึ้นมา (ต้องขอบคุณ Jeb Havens และ Jesse King!) ซึ่งทำให้ผู้คนต้องตะลึงกับความน่าจะเป็นโดยเฉพาะ เป็นเกมคาสิโนง่ายๆ ที่เรียกว่า “Dragon Dice” และเป็นการแข่งขันลูกเต๋าการพนันระหว่างผู้เล่นและเจ้ามือ คุณจะได้รับตาย 1d6 ปกติ เป้าหมายของเกมคือการทอยตัวเลขให้สูงกว่าบ้าน ทอมได้รับ 1d6 ที่ไม่ได้มาตรฐาน - เช่นเดียวกับของคุณ แต่แทนที่จะเป็น 1 ในด้านหนึ่งจะมีรูปมังกร (ดังนั้นคาสิโนจึงมีลูกเต๋ามังกร - 2-3-4-5-6) หากบ้านได้รับมังกร มันจะชนะโดยอัตโนมัติและคุณจะแพ้ หากคุณทั้งคู่ได้หมายเลขเท่ากัน ถือว่าเสมอกัน และคุณทอยลูกเต๋าอีกครั้ง ผู้ที่หมุนหมายเลขสูงสุดจะเป็นผู้ชนะ

แน่นอนว่าทุกสิ่งไม่ได้เป็นที่โปรดปรานของผู้เล่นเลย เพราะคาสิโนมีข้อได้เปรียบในรูปแบบของ Dragon’s Edge แต่นี่เป็นเรื่องจริงเหรอ? คุณต้องคำนวณสิ่งนี้ แต่ก่อนอื่นให้ตรวจสอบสัญชาตญาณของคุณ สมมติว่าการชนะคือ 2 ต่อ 1 ดังนั้นหากคุณชนะ คุณจะเก็บเงินเดิมพันไว้และได้รับเงินเดิมพันเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น หากคุณเดิมพัน 1 ดอลลาร์และชนะ คุณจะเก็บเงินดอลลาร์นั้นไว้และได้เพิ่มอีก 2 ดอลลาร์รวมเป็นเงิน 3 ดอลลาร์ หากคุณแพ้ คุณจะเสียเงินเดิมพันเท่านั้น คุณจะเล่นไหม? ดังนั้น คุณรู้สึกโดยสัญชาตญาณหรือไม่ว่าความน่าจะเป็นนั้นมากกว่า 2 ต่อ 1 หรือคุณยังคิดว่ามันน้อยกว่าหรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดยเฉลี่ยมากกว่า 3 เกม คุณคาดหวังที่จะชนะมากกว่าหนึ่งครั้ง หรือน้อยกว่า หรือหนึ่งครั้ง?

เมื่อคุณจัดการสัญชาตญาณได้แล้ว ให้ใช้คณิตศาสตร์ ลูกเต๋าทั้งสองมีตำแหน่งที่เป็นไปได้เพียง 36 ตำแหน่ง ดังนั้นคุณจึงสามารถนับทั้งหมดได้โดยไม่มีปัญหาใดๆ หากคุณไม่แน่ใจเกี่ยวกับข้อเสนอ 2 ต่อ 1 ให้ลองพิจารณาสิ่งนี้: สมมติว่าคุณเล่นเกม 36 ครั้ง (เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง) ทุกครั้งที่ชนะ คุณจะได้รับ 2 ดอลลาร์ ทุกครั้งที่แพ้ คุณจะเสีย 1 ดอลลาร์ และการเสมอกันจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย คำนวณการชนะและการสูญเสียที่เป็นไปได้ทั้งหมดของคุณ และตัดสินใจว่าคุณจะสูญเสียหรือได้รับเงินดอลลาร์หรือไม่ แล้วถามตัวเองว่าสัญชาตญาณของคุณถูกต้องแค่ไหน แล้วจะรู้ว่าฉันเป็นคนร้ายขนาดไหน

และใช่ หากคุณคิดเกี่ยวกับคำถามนี้แล้ว ฉันตั้งใจทำให้คุณสับสนโดยบิดเบือนกลไกที่แท้จริงของเกมลูกเต๋า แต่ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถเอาชนะอุปสรรคนี้ได้ด้วยความคิดเพียงเล็กน้อย พยายามแก้ไขปัญหานี้ด้วยตัวเอง ฉันจะโพสต์คำตอบทั้งหมดที่นี่ในสัปดาห์หน้า

เกมที่ 2 - เสี่ยงโชค

นี่คือเกมการพนันลูกเต๋าที่เรียกว่า "Roll for Luck" (หรือ "กรงนก" เพราะบางครั้งลูกเต๋าจะไม่ถูกโยน แต่วางไว้ในกรงลวดขนาดใหญ่ชวนให้นึกถึงกรงจาก "บิงโก") มันเป็นเกมง่ายๆ ที่โดยพื้นฐานแล้วมีดังต่อไปนี้: เดิมพัน เช่น 1 ดอลลาร์จากตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 จากนั้นคุณทอย 3d6 สำหรับการตายแต่ละครั้งที่ได้หมายเลขของคุณ คุณจะได้รับ 1 ดอลลาร์ (และคงเงินเดิมพันเดิมไว้) หากหมายเลขของคุณไม่ปรากฏบนลูกเต๋าใดๆ คาสิโนจะได้รับเงินดอลลาร์ของคุณและคุณจะไม่ได้อะไรเลย ดังนั้น หากคุณเดิมพัน 1 และคุณได้ 1 จากด้านข้างสามครั้ง คุณจะได้รับ 3 ดอลลาร์

โดยสัญชาตญาณดูเหมือนว่าเกมนี้มีโอกาสเท่ากัน การตายแต่ละครั้งมีโอกาสชนะ 1 ใน 6 ดังนั้นเมื่อคุณรวมทั้งสามลูกเข้าด้วยกัน โอกาสในการชนะคือ 3 ใน 6 อย่างไรก็ตาม จำไว้ว่าคุณกำลังเพิ่มลูกเต๋าสามลูกแยกจากกัน และคุณได้รับอนุญาตให้เพิ่มได้เท่านั้น หากเรากำลังพูดถึงการรวมกันที่ชนะของลูกเต๋าเดียวกัน สิ่งที่คุณจะต้องคูณ

เมื่อคุณคำนวณผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (อาจจะทำได้ง่ายกว่าใน Excel มากกว่าด้วยมือ เนื่องจากมี 216 ผลลัพธ์) เกมยังคงดูแปลกแม้จะมองแวบแรกก็ตาม แต่ในความเป็นจริง คาสิโนยังคงมีโอกาสชนะมากกว่านั้นอีกมากขนาดไหน? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณคาดหวังที่จะเสียเงินโดยเฉลี่ยเท่าใดในแต่ละรอบการเล่น? สิ่งที่คุณต้องทำคือบวกชัยชนะและการสูญเสียของผลลัพธ์ทั้งหมด 216 รายการแล้วหารด้วย 216 ซึ่งน่าจะค่อนข้างง่าย... แต่อย่างที่คุณเห็น มีกับดักบางอย่างที่คุณสามารถตกเข้าไปได้ และนั่นเป็นสาเหตุที่ฉัน กำลังบอกคุณว่า: หากคุณคิดว่าเกมนี้มีโอกาสที่จะชนะ แสดงว่าคุณคิดผิดไปหมดแล้ว

เกม #3 - โป๊กเกอร์สตั๊ดไพ่ 5 ใบ

หากคุณได้อุ่นเครื่องกับเกมก่อนหน้านี้แล้ว ลองตรวจสอบสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขโดยใช้เกมไพ่นี้เป็นตัวอย่าง โดยเฉพาะ ลองจินตนาการถึงเกมโป๊กเกอร์ที่มีสำรับไพ่ 52 ใบ ลองจินตนาการถึงไพ่สตั๊ด 5 ใบ โดยที่ผู้เล่นแต่ละคนจะได้รับไพ่เพียง 5 ใบเท่านั้น คุณไม่สามารถทิ้งการ์ดได้ คุณไม่สามารถจั่วการ์ดใหม่ได้ ไม่มีสำรับที่ใช้ร่วมกัน คุณจะได้รับการ์ดเพียง 5 ใบเท่านั้น

รอยัลฟลัชคือ 10-J-Q-K-A ในมือข้างหนึ่ง มีทั้งหมดสี่วิธี จึงมีสี่วิธีที่เป็นไปได้ในการได้รอยัลฟลัช คำนวณความน่าจะเป็นที่คุณจะได้ชุดค่าผสมดังกล่าว

ฉันต้องเตือนคุณถึงสิ่งหนึ่ง: จำไว้ว่าคุณสามารถจั่วไพ่ห้าใบนี้ในลำดับใดก็ได้ นั่นคือก่อนอื่นคุณสามารถจั่วเอซหรือสิบได้ไม่สำคัญ ดังนั้น เมื่อคำนวณสิ่งนี้ โปรดจำไว้ว่าจริงๆ แล้วมีมากกว่าสี่วิธีในการได้รับรอยัลฟลัช โดยสมมติว่าไพ่ถูกแจกตามลำดับ!

เกมที่ 4 - ลอตเตอรี IMF

ปัญหาที่สี่ไม่สามารถแก้ไขได้ง่าย ๆ โดยใช้วิธีที่เราพูดถึงในวันนี้ แต่คุณสามารถจำลองสถานการณ์ได้อย่างง่ายดายโดยใช้การเขียนโปรแกรมหรือ Excel เป็นตัวอย่างของปัญหานี้ที่คุณสามารถหาวิธีมอนติคาร์โลได้

ฉันพูดถึงเกม "Chron X" ก่อนหน้านี้ซึ่งฉันเคยทำและมีการ์ดที่น่าสนใจใบหนึ่งนั่นคือลอตเตอรี IMF นี่คือวิธีการทำงาน: คุณใช้มันในเกม หลังจากจบรอบ การ์ดจะถูกแจกจ่ายซ้ำ และมีโอกาส 10% ที่การ์ดจะออกจากการเล่น และผู้เล่นแบบสุ่มจะได้รับทรัพยากรแต่ละประเภท 5 หน่วยซึ่งมีโทเค็นอยู่บนการ์ดนั้น ไพ่ถูกเข้าสู่การเล่นโดยไม่มีชิปตัวเดียว แต่ทุกครั้งที่มันยังคงอยู่ในการเล่นเมื่อเริ่มรอบถัดไป จะได้รับหนึ่งชิป ดังนั้นจึงมีโอกาส 10% ที่ถ้าคุณใส่มันลงเล่น รอบจะจบลง การ์ดจะออกจากเกม และจะไม่มีใครได้อะไรเลย หากสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น (โอกาส 90%) ก็มีโอกาส 10% (จริง ๆ แล้ว 9% เนื่องจากเป็น 10% ของ 90%) ที่ในรอบต่อไปเธอจะออกจากเกมและบางคนจะได้รับทรัพยากร 5 หน่วย หากการ์ดออกจากเกมหลังจากหนึ่งรอบ (10% ของ 81% ที่มีอยู่ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 8.1%) บางคนจะได้รับ 10 หน่วย อีกรอบ - 15 อีกครั้ง - 20 และอื่น ๆ คำถาม: ค่าคาดหวังโดยทั่วไปของจำนวนทรัพยากรที่คุณจะได้รับจากการ์ดใบนี้เมื่อออกจากเกมในที่สุดคือเท่าไร?

โดยปกติเราจะพยายามแก้ไขปัญหานี้โดยหาความเป็นไปได้ของแต่ละผลลัพธ์แล้วคูณด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด จึงมีโอกาส 10% ที่คุณจะได้ 0 (0.1*0 = 0) 9% ที่คุณจะได้รับทรัพยากร 5 หน่วย (9%*5 = 0.45 ทรัพยากร) 8.1% ของสิ่งที่คุณได้รับคือ 10 (8.1%*10 = ทรัพยากรทั้งหมด 0.81 รายการ มูลค่าที่คาดหวัง) และอื่นๆ แล้วเราจะสรุปทั้งหมดให้ฟัง

และตอนนี้ปัญหาก็ชัดเจนสำหรับคุณ: มีโอกาสเสมอที่ไพ่ ไม่จะออกจากเกมเพื่อที่เธอจะได้อยู่ในเกมต่อไป ตลอดไปมีจำนวนรอบเป็นอนันต์จึงสามารถคำนวณได้ ทุกความเป็นไปได้ไม่มีอยู่จริง วิธีการที่เราได้เรียนรู้ในวันนี้ไม่อนุญาตให้เราคำนวณการเรียกซ้ำแบบไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นเราจะต้องสร้างมันขึ้นมาเอง

หากคุณเก่งพอในการเขียนโปรแกรม ให้เขียนโปรแกรมที่จะจำลองแผนที่นี้ คุณควรมีไทม์ลูปที่นำตัวแปรไปยังตำแหน่งเริ่มต้นเป็นศูนย์ แสดงตัวเลขสุ่ม และมีโอกาส 10% ที่ตัวแปรจะออกจากลูป มิฉะนั้นจะเพิ่ม 5 ให้กับตัวแปรและวนซ้ำ เมื่อออกจากลูปในที่สุด ให้เพิ่มจำนวนการทดลองใช้ทั้งหมดขึ้น 1 และจำนวนทรัพยากรทั้งหมด (ขึ้นอยู่กับว่าตัวแปรสิ้นสุดที่ใด) จากนั้นรีเซ็ตตัวแปรและเริ่มต้นใหม่อีกครั้ง รันโปรแกรมหลายพันครั้ง สุดท้าย หารจำนวนทรัพยากรทั้งหมดด้วยจำนวนการวิ่งทั้งหมด ซึ่งจะเป็นค่ามอนติคาร์โลที่คุณคาดหวัง รันโปรแกรมหลายๆ ครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นใกล้เคียงกัน หากการกระจายยังคงมีขนาดใหญ่ ให้เพิ่มจำนวนการทำซ้ำในลูปด้านนอกจนกว่าคุณจะเริ่มได้รับแมตช์ คุณสามารถมั่นใจได้ว่าตัวเลขใดก็ตามที่คุณลงท้ายด้วยจะถูกต้องโดยประมาณ

หากคุณไม่คุ้นเคยกับการเขียนโปรแกรม (และแม้ว่าคุณจะคุ้นเคยก็ตาม) ต่อไปนี้เป็นแบบฝึกหัดเล็กๆ น้อยๆ เพื่ออุ่นเครื่องทักษะ Excel ของคุณ หากคุณเป็นนักออกแบบเกม ทักษะ Excel ก็ไม่ใช่สิ่งที่ไม่ดี

ตอนนี้คุณจะพบว่าฟังก์ชัน IF และ RAND มีประโยชน์มาก RAND ไม่ต้องการค่า เพียงแต่แยกตัวเลขทศนิยมแบบสุ่มระหว่าง 0 ถึง 1 โดยทั่วไปเราจะรวมมันเข้ากับ FLOOR และข้อดีและข้อเสียเพื่อจำลองการทอยลูกเต๋า ซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้น อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เราเหลือเพียงโอกาส 10% ที่การ์ดจะออกจากเกม ดังนั้นเราจึงสามารถตรวจสอบได้ว่าค่า RAND น้อยกว่า 0.1 หรือไม่ และไม่ต้องกังวลกับมันอีกต่อไป

IF มี 3 ความหมาย ตามลำดับ: เงื่อนไขที่เป็นจริงหรือเท็จ จากนั้นค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นจริง และค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นเท็จ ดังนั้นฟังก์ชันต่อไปนี้จะส่งคืน 5% ของเวลา และ 0 ที่เหลือ 90% ของเวลา:
=ถ้า(แรนด์()<0.1,5,0)

มีหลายวิธีในการตั้งค่าคำสั่งนี้ แต่ฉันจะใช้สูตรนี้สำหรับเซลล์ที่แสดงถึงรอบแรก สมมติว่าเป็นเซลล์ A1:

ถ้า(แรนด์()<0.1,0,-1)

ในที่นี้ฉันใช้ตัวแปรลบเพื่อหมายถึง “การ์ดใบนี้ยังไม่ออกจากเกมและยังไม่หมดทรัพยากรใดๆ เลย” ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและไพ่ออกจากการเล่น A1 จะเป็น 0; มิฉะนั้นจะเป็น -1

สำหรับเซลล์ถัดไปที่เป็นตัวแทนของรอบที่สอง:

ถ้า(A1>-1, A1, ถ้า(แรนด์()<0.1,5,-1))

ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและไพ่ออกจากเกมทันที A1 จะเป็น 0 (จำนวนทรัพยากร) และเซลล์นี้จะคัดลอกค่านั้น มิฉะนั้น A1 จะเป็น -1 (การ์ดยังไม่ได้ออกจากเกม) และเซลล์นี้ยังคงเคลื่อนที่แบบสุ่ม: 10% ของเวลาที่มันจะคืนทรัพยากร 5 หน่วย เวลาที่เหลือมูลค่าของมันจะยังคงเท่ากับ -1. หากเราใช้สูตรนี้กับเซลล์เพิ่มเติม เราจะได้รอบเพิ่มเติม และเซลล์ใดก็ตามที่คุณอยู่ได้จะให้ผลลัพธ์สุดท้ายแก่คุณ (หรือ -1 หากการ์ดไม่เคยออกจากเกมหลังจากคุณเล่นทุกรอบแล้ว)

นำเซลล์แถวนั้นซึ่งแสดงถึงรอบเดียวที่มีการ์ดใบนั้น แล้วคัดลอกและวางแถวหลายร้อย (หรือพัน) แถว เราอาจทำไม่ได้ ไม่มีที่สิ้นสุดทดสอบ Excel (ในตารางมีจำนวนเซลล์จำกัด) แต่อย่างน้อยเราก็ครอบคลุมกรณีส่วนใหญ่ได้ จากนั้นเลือกเซลล์หนึ่งเซลล์ที่คุณจะวางค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ของทุกรอบ (Excel กรุณาเตรียมฟังก์ชัน AVERAGE() สำหรับสิ่งนี้)

บน Windows อย่างน้อยคุณก็สามารถกด F9 เพื่อคำนวณตัวเลขสุ่มทั้งหมดใหม่ได้ เช่นเคย ให้ทำเช่นนี้สองสามครั้งแล้วดูว่าค่าที่คุณได้รับเหมือนกันหรือไม่ หากสเปรดใหญ่เกินไป ให้เพิ่มจำนวนการวิ่งเป็นสองเท่าแล้วลองอีกครั้ง

ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข

หากคุณเพิ่งสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาในสาขาความน่าจะเป็นและปัญหาข้างต้นดูเหมือนง่ายเกินไป นี่คือปัญหาสองประการที่ฉันเกาหัวมาหลายปี แต่น่าเสียดาย ฉันไม่เก่งคณิตศาสตร์พอที่จะแก้ปัญหาเหล่านั้น หากคุณทราบวิธีแก้ปัญหา โปรดโพสต์ไว้ที่นี่ในความคิดเห็น ฉันยินดีที่จะอ่าน

ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข #1: ลอตเตอรีกองทุนการเงินระหว่างประเทศ

ปัญหาแรกที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขคือการบ้านที่มอบหมายก่อนหน้านี้ ฉันสามารถใช้วิธี Monte Carlo ได้อย่างง่ายดาย (โดยใช้ C ++ หรือ Excel) และมั่นใจในคำตอบของคำถาม "ผู้เล่นจะได้รับทรัพยากรจำนวนเท่าใด" แต่ฉันไม่รู้ว่าจะให้คำตอบที่พิสูจน์ได้อย่างแน่นอนในทางคณิตศาสตร์อย่างไร (คือ ซีรีส์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด) รู้คำตอบแล้วโพสต์ได้ที่นี่...หลังจากทดสอบกับมอนติคาร์โลแล้วแน่นอน

ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไข #2: ลำดับของตัวเลข

ปัญหานี้ (และอีกครั้งที่เกินขอบเขตของปัญหาที่แก้ไขในบล็อกนี้) มอบให้ฉันโดยเพื่อนนักเล่นเกมเมื่อ 10 กว่าปีที่แล้ว เขาสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจในขณะที่เล่นแบล็คแจ็คในเวกัส: เมื่อเขาดึงไพ่จากรองเท้า 8 สำรับ เขาก็มองเห็น สิบตัวเลขเรียงกัน (หนึ่งชิ้นหรือไพ่หน้า - 10, โจ๊กเกอร์, คิงหรือควีน ดังนั้นในสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบจึงมีทั้งหมด 16 ใบ ดังนั้นในสำรับไพ่ 416 ใบจึงมี 128 ใบ) ความน่าจะเป็นในรองเท้านี้คืออะไร อย่างน้อยหนึ่งลำดับของสิบ หรือมากกว่านั้นตัวเลข? สมมติว่าพวกมันถูกสับอย่างยุติธรรมโดยสุ่มลำดับ (หรือถ้าต้องการ ความน่าจะเป็นนั้นจะเป็นเท่าใด ไม่พบที่ไหนเลยลำดับของตัวเลขสิบตัวขึ้นไป?)

เราสามารถทำให้งานง่ายขึ้น นี่คือลำดับของ 416 ส่วน แต่ละส่วนเป็น 0 หรือ 1 มี 128 ตัวและศูนย์ 288 ตัวกระจายแบบสุ่มตลอดลำดับ มีกี่วิธีในการสุ่มสลับ 128 ตัวกับศูนย์ 288 ตัว และกี่ครั้งในลักษณะนี้ที่จะมีอย่างน้อยหนึ่งกลุ่มที่มีสิบกลุ่มขึ้นไป?

ทุกครั้งที่ฉันเริ่มแก้ไขปัญหานี้ มันดูเหมือนง่ายและชัดเจนสำหรับฉัน แต่ทันทีที่ฉันเจาะลึกรายละเอียด จู่ๆ ก็พังทลายลงและดูเหมือนเป็นไปไม่ได้เลยสำหรับฉัน ดังนั้นอย่ารีบโพล่งคำตอบ นั่งคิดให้ดี ศึกษาเงื่อนไขของปัญหา ลองบวกจำนวนจริง เพราะคนที่ผมคุยด้วยทั้งหมดเกี่ยวกับปัญหานี้ (รวมถึงนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาหลายคนที่ทำงานในสาขานี้ด้วย) ) โต้ตอบประมาณเดียวกัน: “มันชัดเจนมาก... โอ้ ไม่ เดี๋ยวก่อน มันไม่ชัดเจนเลย” นี่เป็นกรณีที่ฉันไม่มีวิธีการคำนวณตัวเลือกทั้งหมด แน่นอนว่าฉันสามารถบังคับปัญหาได้อย่างเดรัจฉานผ่านอัลกอริธึมคอมพิวเตอร์ แต่ฉันอยากรู้มากกว่ามากที่จะทราบวิธีทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหานี้

การแปล - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

กฎสามข้อของการสุ่มคืออะไร และเหตุใดความคาดเดาไม่ได้จึงเปิดโอกาสให้เราคาดการณ์ได้อย่างน่าเชื่อถือที่สุด

จิตใจของเราต่อต้านความคิดเรื่องโอกาสอย่างสุดกำลัง ตลอดระยะเวลาวิวัฒนาการของเราในฐานะสายพันธุ์ เราได้พัฒนาความสามารถในการมองหาความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผลในทุกสิ่ง นานก่อนการกำเนิดของวิทยาศาสตร์ เรารู้อยู่แล้วว่าพระอาทิตย์ตกสีแดงเข้มเป็นลางบอกเหตุถึงพายุที่อันตราย และการที่หน้าแดงเป็นไข้หมายความว่าแม่จะมีค่ำคืนที่ยากลำบาก จิตใจของเราจะพยายามจัดโครงสร้างข้อมูลที่เราได้รับโดยอัตโนมัติในลักษณะที่ช่วยให้เราได้ข้อสรุปจากการสังเกตของเรา และใช้ข้อสรุปเหล่านี้เพื่อทำความเข้าใจและทำนายเหตุการณ์ต่างๆ

ความคิดเรื่องการสุ่มเป็นเรื่องยากที่จะยอมรับเพราะมันขัดแย้งกับสัญชาตญาณพื้นฐานที่บังคับให้เรามองหารูปแบบที่มีเหตุผลในโลกรอบตัวเรา และอุบัติเหตุแสดงให้เราเห็นว่ารูปแบบดังกล่าวไม่มีอยู่จริง ซึ่งหมายความว่าการสุ่มจำกัดสัญชาตญาณของเราโดยพื้นฐาน เพราะมันพิสูจน์ว่ามีกระบวนการที่เราไม่สามารถคาดเดาเส้นทางได้อย่างเต็มที่ แนวคิดนี้ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะยอมรับแม้ว่าจะเป็นส่วนสำคัญของกลไกของจักรวาลก็ตาม หากไม่เข้าใจว่าความบังเอิญคืออะไร เราก็พบว่าตัวเองอยู่ในทางตันในโลกที่คาดเดาได้อย่างสมบูรณ์แบบซึ่งไม่มีอยู่นอกเหนือจินตนาการของเรา

ฉันจะบอกว่าเมื่อเราเข้าใจคำพังเพยสามข้อ - กฎแห่งโอกาสสามข้อเท่านั้น - เราจะสามารถปลดปล่อยตัวเองจากความปรารถนาดั้งเดิมในการคาดเดาได้และยอมรับจักรวาลตามที่เป็นอยู่ และไม่ใช่อย่างที่เราอยากให้เป็น

ความบังเอิญมีอยู่จริง

เราใช้กลไกทางจิตเพื่อหลีกเลี่ยงการเผชิญโอกาส เรากำลังพูดถึงกรรม ซึ่งเป็นอีควอไลเซอร์จักรวาลที่เชื่อมโยงสิ่งที่ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกัน เราเชื่อในลางดีและลางร้าย ในความจริงที่ว่า “พระเจ้าทรงรักตรีเอกานุภาพ” เราอ้างว่าเราได้รับอิทธิพลจากตำแหน่งของดวงดาว ระยะของดวงจันทร์ และการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ หากเราได้รับการวินิจฉัยว่าเป็นมะเร็ง เราจะพยายามตำหนิบางสิ่ง (หรือบางคน) โดยอัตโนมัติ

แต่เหตุการณ์หลายอย่างไม่สามารถทำนายหรืออธิบายได้ครบถ้วน ภัยพิบัติเกิดขึ้นอย่างคาดเดาไม่ได้ และทั้งคนดีและคนเลวก็ต้องทนทุกข์ รวมทั้งผู้ที่เกิดมา “ใต้ดวงดาว” หรือ “ภายใต้สัญลักษณ์อันเป็นมงคล” บางครั้งเราสามารถคาดการณ์บางสิ่งบางอย่างได้ แต่โอกาสก็สามารถหักล้างได้อย่างง่ายดายแม้กระทั่งการคาดการณ์ที่น่าเชื่อถือที่สุด อย่าแปลกใจถ้าเพื่อนบ้านนักปั่นจักรยานที่สูบบุหรี่จัดและอ้วนของคุณมีอายุยืนยาวกว่าคุณ

นอกจากนี้ เหตุการณ์สุ่มยังสามารถแสร้งทำเป็นว่าไม่สุ่มได้ แม้แต่นักวิทยาศาสตร์ที่ฉลาดที่สุดก็อาจแยกแยะระหว่างผลกระทบที่แท้จริงกับความผันผวนแบบสุ่มได้ยาก โอกาสสามารถเปลี่ยนยาหลอกให้เป็นยาวิเศษ และสารประกอบที่ไม่เป็นอันตรายให้กลายเป็นยาพิษร้ายแรง และยังสามารถสร้างอนุภาคย่อยของอะตอมจากความว่างเปล่าได้อีกด้วย

เหตุการณ์บางอย่างไม่สามารถคาดเดาได้

หากคุณเดินเข้าไปในคาสิโนใดๆ ในลาสเวกัส และชมฝูงชนที่โต๊ะเล่นเกม คุณอาจจะเห็นคนที่คิดว่าเขาโชคดีในวันนี้ เขาชนะมาหลายครั้งติดต่อกัน และสมองของเขารับรองว่าเขาจะชนะต่อไป ดังนั้นนักพนันจึงยังคงเดิมพันต่อไป คุณยังจะได้เห็นคนที่เพิ่งสูญเสียไป สมองของผู้แพ้ก็เหมือนกับสมองของผู้ชนะเช่นกัน แนะนำให้เขาเล่นเกมต่อ เนื่องจากคุณแพ้มาหลายครั้งติดต่อกัน หมายความว่าตอนนี้คุณคงเริ่มโชคดีแล้ว มันคงโง่มากถ้าจากไปตอนนี้และพลาดโอกาสนี้

แต่ไม่ว่าสมองของเราจะบอกอะไรก็ตาม ไม่มีพลังลึกลับใดที่สามารถทำให้เรามี “โชคต่อเนื่อง” หรือความยุติธรรมสากลที่จะทำให้แน่ใจว่าผู้แพ้จะเริ่มชนะในที่สุด จักรวาลไม่สนใจว่าคุณจะชนะหรือแพ้ สำหรับเธอ การทอยลูกเต๋าทั้งหมดจะเหมือนกัน

ไม่ว่าคุณจะใช้ความพยายามมากเพียงใดในการดูว่าลูกเต๋าถูกทอยอีกครั้งอย่างไร และไม่ว่าคุณจะมองดูผู้เล่นที่คิดว่าพวกเขาสามารถเสี่ยงโชคได้อย่างใกล้ชิดเพียงใด คุณจะไม่ได้รับข้อมูลเกี่ยวกับการทอยครั้งต่อไปอย่างแน่นอน ผลของการโยนแต่ละครั้งจะไม่ขึ้นอยู่กับประวัติของการโยนครั้งก่อนโดยสิ้นเชิง ดังนั้นความคาดหวังใด ๆ ที่ใคร ๆ ก็สามารถได้รับความได้เปรียบจากการดูเกมนั้นถึงวาระที่จะล้มเหลว เหตุการณ์ดังกล่าว - เป็นอิสระจากสิ่งใด ๆ และเป็นการสุ่มโดยสมบูรณ์ - ท้าทายความพยายามในการค้นหารูปแบบใด ๆ เนื่องจากรูปแบบเหล่านี้ไม่มีอยู่จริง

ความบังเอิญเป็นอุปสรรคต่อความเฉลียวฉลาดของมนุษย์ เพราะมันแสดงให้เห็นว่าตรรกะ วิทยาศาสตร์ และเหตุผลทั้งหมดของเราไม่สามารถทำนายพฤติกรรมของจักรวาลได้อย่างเต็มที่ ไม่ว่าคุณจะใช้วิธีการใดก็ตาม ไม่ว่าคุณจะคิดค้นทฤษฎีใดก็ตาม ไม่ว่าคุณจะใช้ตรรกะใดในการทำนายผลลัพธ์ของการทอยลูกเต๋า คุณจะสูญเสียห้าในหกครั้ง เสมอ.

เหตุการณ์สุ่มที่ซับซ้อนสามารถคาดเดาได้ แม้ว่าจะไม่ใช่เหตุการณ์เดี่ยวก็ตาม

ความบังเอิญเป็นสิ่งที่น่ากลัว มันจำกัดความน่าเชื่อถือของแม้แต่ทฤษฎีที่ซับซ้อนที่สุด และซ่อนองค์ประกอบบางอย่างของธรรมชาติจากเรา ไม่ว่าเราจะพยายามเจาะลึกแก่นแท้ของพวกมันอย่างไม่ลดละเพียงใด อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถโต้แย้งได้ว่าการสุ่มเป็นคำพ้องความหมายสำหรับผู้ที่ไม่รู้ สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงเลย

การสุ่มจะเป็นไปตามกฎของมันเอง และกฎเหล่านี้จะทำให้กระบวนการสุ่มสามารถเข้าใจและคาดเดาได้

กฎของตัวเลขจำนวนมากระบุว่าแม้ว่าเหตุการณ์สุ่มเหตุการณ์เดียวจะไม่สามารถคาดเดาได้อย่างสมบูรณ์ แต่เหตุการณ์ตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่เพียงพอก็สามารถคาดเดาได้ และยิ่งตัวอย่างมีขนาดใหญ่เท่าใด การทำนายก็จะแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังอีกอย่างหนึ่งคือทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง ยังแสดงให้เห็นว่าผลรวมของตัวแปรสุ่มจำนวนมากเพียงพอจะมีการกระจายตัวใกล้เคียงกับปกติ ด้วยเครื่องมือเหล่านี้ เราสามารถทำนายเหตุการณ์ได้ค่อนข้างแม่นยำในระยะยาว ไม่ว่าเหตุการณ์เหล่านั้นจะวุ่นวาย แปลกประหลาด และสุ่มเสี่ยงเพียงใดก็ตามในระยะสั้น

กฎแห่งโอกาสนั้นทรงพลังมากจนเป็นพื้นฐานของกฎทางฟิสิกส์ที่ไม่เปลี่ยนรูปและไม่เปลี่ยนรูปมากที่สุด แม้ว่าอะตอมในภาชนะบรรจุก๊าซจะเคลื่อนที่แบบสุ่ม แต่พฤติกรรมโดยรวมของพวกมันก็อธิบายได้ด้วยชุดสมการง่ายๆ แม้แต่กฎของอุณหพลศาสตร์ยังถือว่าเหตุการณ์สุ่มจำนวนมากสามารถคาดเดาได้ กฎเหล่านี้ไม่สั่นคลอนอย่างแน่นอนเพราะโอกาสเป็นสิ่งที่แน่นอนมาก

เป็นเรื่องน่าขันที่เหตุการณ์สุ่มไม่สามารถคาดเดาได้ซึ่งทำให้เรามีโอกาสทำนายที่น่าเชื่อถือที่สุด